XXVI OLIMPIADE DEI GIOCHI LOGICI LINGUISTICI MATEMATICI Fascia 17-18 (4°-5° secondaria secondo grado) Soluzione Test 1 – Una curva che ruota Detta d la lunghezza del lato del triangolo equilatero, e detto V un vertice del triangolo, d è la distanza di V da ogni punto dell’arco costruito sul lato opposto. La distanza tra V e un punto P interno all’arco costruito su uno dei lati adiacenti è invece minore di d, in quanto il segmento VP è una corda della circonferenza di raggio d corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza minore di 60°. Quindi d è la distanza massima tra un vertice ed un altro punto del perimetro del triangolo di Reuleaux. Il perimetro della figura è formato da tre archi delle circonferenze assegnate, ognuno dei quali corrisponde ad un angolo al centro di 60°. La sua lunghezza è dunque pari alla metà della lunghezza di ognuna di queste circonferenze. La bici da costruire avrà la stessa efficienza della bici con le ruote circolari, se, ad ogni giro completo del pedale, percorrerà la stessa distanza, ossia se il perimetro delle sue ruote sarà uguale a quello delle ruote circolari. Detto r il raggio delle ruote circolari, le ruote da costruire dovranno dunque essere triangoli di Reuleaux costruiti a partire da tre circonferenze di raggio 2r. Soluzione Test 2 – Unità campione dell'atomo La massa atomica assoluta di un elemento si ottiene sommando i prodotti ottenuti moltiplicando la massa relativa di ogni isotopo per la rispettiva percentuale. Queste sono dunque le masse assolute degli elementi elencati in tabella: Idrogeno: 1, 007825 ⋅ 0, 99985 + 2, 014102 ⋅ 0, 00015 = 1, 00797594155 Elio: 4,002604 Litio: 6, 015126 ⋅ 0, 0742 + 7, 01605 ⋅ 0,9258 = 6,9417814392 Boro: 10, 012194 ⋅ 0,196 + 11, 009305 ⋅ 0,804 = 10,813871244 Cloro: 34,96 ⋅ 0, 75 + 36,96 ⋅ 0, 25 = 35, 46 Rame: 62, 93 ⋅ 0, 6917 + 64,92 ⋅ 0,3083 = 63,543517 Carbonio: 12 ⋅ 0, 9899 + 13, 003354 ⋅ 0, 0111 = 12, 0231372294 Soluzione del Test 3 – Anagrammi e cammini Ogni anagramma si ottiene disponendo le otto lettere AAAABBBB in un certo ordine. Gli ordinamenti possibili sono 8!, ma ciascuno di essi è invariante rispetto alle 4! permutazioni delle lettere AAAA e alle 4! permutazioni delle lettere BBBB. Queste trasformazioni producono 4!⋅ 4! ordinamenti uguali a quello di partenza. Dunque, nel nostro calcolo iniziale, ogni anagramma è stato conteggiato 4!⋅ 4! volte. 8! Pertanto il numero degli anagrammi è = 70. 4!⋅ 4! Ora, per giungere dal punto A al punto B della griglia con un cammino del tipo indicato, occorre compiere complessivamente 4 volte il passaggio alla casella adiacente superiore (mossa S) e 4 volte il passaggio alla casella adiacente a destra (mossa D). Quindi tali cammini sono tanti quante le sequenze che si possono formare a partire dalle lettere SSSSDDDD, ossia, sono esattamente 70. Ad esempio, il percorso indicato nel test assegnato corrisponde all'anagramma DDSSDSDS.