Soluzione Test 1 – Una curva che ruota Detta d la lunghezza del

XXVI OLIMPIADE DEI GIOCHI LOGICI LINGUISTICI MATEMATICI
Fascia 17-18 (4°-5° secondaria secondo grado)
Soluzione Test 1 – Una curva che ruota
Detta d la lunghezza del lato del triangolo equilatero, e detto V un
vertice del triangolo, d è la distanza di V da ogni punto dell’arco
costruito sul lato opposto. La distanza tra V e un punto P interno
all’arco costruito su uno dei lati adiacenti è invece minore di d, in
quanto il segmento VP è una corda della circonferenza di raggio d
corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza minore di 60°.
Quindi d è la distanza massima tra un vertice ed un altro punto del
perimetro del triangolo di Reuleaux.
Il perimetro della figura è formato da tre archi delle circonferenze
assegnate, ognuno dei quali corrisponde ad un angolo al centro di 60°.
La sua lunghezza è dunque pari alla metà della lunghezza di ognuna di
queste circonferenze. La bici da costruire avrà la stessa efficienza
della bici con le ruote circolari, se, ad ogni giro completo del pedale,
percorrerà la stessa distanza, ossia se il perimetro delle sue ruote sarà
uguale a quello delle ruote circolari. Detto r il raggio delle ruote
circolari, le ruote da costruire dovranno dunque essere triangoli di
Reuleaux costruiti a partire da tre circonferenze di raggio 2r.
Soluzione Test 2 – Unità campione dell'atomo
La massa atomica assoluta di un elemento si ottiene sommando i
prodotti ottenuti moltiplicando la massa relativa di ogni isotopo per la
rispettiva percentuale. Queste sono dunque le masse assolute degli
elementi elencati in tabella:
Idrogeno: 1, 007825 ⋅ 0, 99985 + 2, 014102 ⋅ 0, 00015 = 1, 00797594155
Elio: 4,002604
Litio: 6, 015126 ⋅ 0, 0742 + 7, 01605 ⋅ 0,9258 = 6,9417814392
Boro: 10, 012194 ⋅ 0,196 + 11, 009305 ⋅ 0,804 = 10,813871244
Cloro: 34,96 ⋅ 0, 75 + 36,96 ⋅ 0, 25 = 35, 46
Rame: 62, 93 ⋅ 0, 6917 + 64,92 ⋅ 0,3083 = 63,543517
Carbonio: 12 ⋅ 0, 9899 + 13, 003354 ⋅ 0, 0111 = 12, 0231372294
Soluzione del Test 3 – Anagrammi e cammini
Ogni anagramma si ottiene disponendo le otto lettere AAAABBBB in
un certo ordine. Gli ordinamenti possibili sono 8!, ma ciascuno di essi
è invariante rispetto alle 4! permutazioni delle lettere AAAA e alle 4!
permutazioni delle lettere BBBB. Queste trasformazioni producono
4!⋅ 4! ordinamenti uguali a quello di partenza. Dunque, nel nostro
calcolo iniziale, ogni anagramma è stato conteggiato 4!⋅ 4! volte.
8!
Pertanto il numero degli anagrammi è
= 70.
4!⋅ 4!
Ora, per giungere dal punto A al punto B della griglia con un
cammino del tipo indicato, occorre compiere complessivamente 4
volte il passaggio alla casella adiacente superiore (mossa S) e 4 volte
il passaggio alla casella adiacente a destra (mossa D). Quindi tali
cammini sono tanti quante le sequenze che si possono formare a
partire dalle lettere SSSSDDDD, ossia, sono esattamente 70. Ad
esempio, il percorso indicato nel test assegnato corrisponde
all'anagramma DDSSDSDS.