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Appunti Prof. Luigi Cai
A.s. 2013 - 2014
LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA
Circonferenza rettificata: il segmento ad essa equivalente.
Postulato
C
A
Data una corda minore del diametro, sottesa da un arco di circonferenza,
l’arco AB è compreso tra la corda e la somma di AC + CB, cioè:
B
AB < arco AB < AC+CB
Teorema 1
La circonferenza rettificata è minore del perimetro di un poligono circoscritto e maggiore del
perimetro di un poligono inscritto.
2p inscritto < circonferenza < 2p circoscritto
All’aumentare del numero dei lati, i perimetri dei due poligoni tendono a diventare uguali alla
lunghezza della circonferenza.
Pertanto la circonferenza è l’elemento di separazione delle due classi contigue dei perimetri dei
poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza stessa(analogo al discorso sui numeri reali).
Teorema 2
Il rapporto tra ogni circonferenza rettificata e il suo diametro è costante; il rapporto misura π .
Indicando con C la lunghezza della circonferenza e d il suo diametro si ha:
Pertanto la lunghezza della circonferenza risulta:
C
=π
d
C = 2πr
AREA DEL CERCHIO
Teorema 3
L’area di un cerchio è minore dell’area di un poligono circoscritto e maggiore dell’area di un
poligono inscritto.
Area poligono inscritto < Area del cerchio < Area del poligono circoscritto
All’aumentare del numero dei lati, le aree dei due poligoni tendono a diventare uguali all’area del
cerchio.
Pertanto l’area del cerchio è l’elemento di separazione delle due classi contigue delle aree dei
due poligoni inscritti e circoscritti al cerchio stesso (analogo al discorso sui numeri reali).
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Teorema 4
Un cerchio è equivalente ad un triangolo avente per base la circonferenza rettificata del cerchio e
per altezza il suo raggio.
Area =
2π ⋅ r ⋅ r
= π ⋅r2
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Acerchio = π ⋅ r 2
LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA
Per calcolare la misura l di un arco corrispondente ad un dato angolo al centro di misura α, si
utilizza la proprietà che gli archi di una circonferenza sono direttamente proporzionali ai
corrispondenti angoli al centro, cioè: l : l’ = α : α’. Quindi considerando la circonferenza come un
particolare arco di lunghezza 2πr al quale corrisponde un angolo al centro di 360° , si ha:
l : 2πr = α 0 : 360 0
da cui si può ricavare:
l ⋅ 180 o
α0 =
π ⋅r
l
r
α o = ⋅ 57 o17'44"
oppure
l=
π ⋅ rα o
180 0
Teorema
In due circonferenze disuguali, gli archi rettificati che sottendono angoli al centro congruenti sono
direttamente proporzionali ai rispettivi raggi.
A’
Hp: AOˆ B = A' Oˆ B' = α
l’
O
r
α
A
l
r
α
O’
B’
Th: l : l ' = r : r '
B
Dimostrazione
Da quanto ottenuto dal calcolo della lunghezza di un arco, si ha: l =
facendo il rapporto tra le due uguaglianze si ottiene:
π ⋅r
180
o
α e l' =
π ⋅ r'
180 o
α e quindi
l r
=
l' r'
La proporzione del teorema precedente può essere riscritta nel modo seguente l : r = l ': r ' , cioè:
il rapporto tra l’arco l e il raggio r, a parità di angolo al centro α, è costante al variare della
l l'
circonferenza, cioè:
= = costante .
r r'
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AREA DI UN SETTORE CIRCOLARE
Si definisce settore circolare la parte di cerchio compresa tra due raggi; l’angolo al centro si dice
ampiezza del settore.
Per calcolare l’area di un settore si utilizza la proprietà che i settori di una stesso cerchio sono
direttamente proporzionali agli angoli al centro. Quindi considerando il cerchio un particolare
settore di ampiezza 360° , si ha:
π ⋅ r 2 ⋅α 0
Asettore : πr 2 = α 0 : 360 0
Asettore =
360 0
MISURA DEGLI ANGOLI
La misura di un angolo si può esprimere in diversi modi, a seconda dell’unità di misura che si
sceglie.
Sistema sessagesimale
Si assume come unità di misura degli angoli il grado (cioè u = 10), che è la 90-esima parte
dell’angolo retto.
I suoi sottomultipli sono il primo (1/60 di grado) e il secondo (1/60 di primo).
In tale unità si ha, ad esempio, che l’angolo piatto misura 180o e l’angolo retto 90o.
Dire che un angolo ha ampiezza 300 , significa dire che l’angolo è 30 volte l’angolo grado, cioè
α 0 = 30 ⋅ 10 = 30 0
Sistema radiale o circolare
Dato un angolo α e più circonferenze aventi il centro nel vertice dell’angolo, risulta che il rapporto
l l'
tra l’arco l e il raggio r è costante al variare della circonferenza, cioè: = = costante.
r r'
l
O
l’
α
r
r’
Proprio questa proprietà consente di assumere come misura dell’angolo α tale rapporto costante,
cioè:
l
misura di α = α r =
r
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e prendere come unità di misura l’angolo radiante (u = 1 rad) , cioè l’ampiezza di un angolo al
centro di una circonferenza il cui arco rettificato è uguale al raggio.
, cioè α r è la misura
AOˆ B
dell’angolo AOˆ B rispetto all’unità di misura u (= 1 rad) e si può anche scrivere: α r =
1rad
Pertanto un angolo AOˆ B espresso in radianti è :
AOˆ B = α r ⋅ 1rad
Esempio 1
Dire che un angolo α misura 3 rad, significa: α = 3 ⋅ 1rad = 3 rad oppure α r =
Esempio 2
- misura dell’angolo giro : α r =
α
1rad
=3
l circonferenza 2π ⋅ r
=
=
= 2π
r
r
r
- l’angolo piatto misura π .
Osservazioni
Come unità di misura conviene usare il sistema radiale, per i seguenti motivi:
• I radianti sono numeri reali (per esempio: π = 3,14.. , 2π = 6,28..), quindi possono essere messi
in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali, cioè ad ogni angolo espresso in
radianti corrisponde un numero reale (o un punto sulla retta) e viceversa.
Invece la misura in gradi esprime un valore che non è assimilabile ad alcun numero reale, ma a
“qualcosa” che è utile usare fino a quando non si parla di misura; infatti α° = 57° 17’ 44”
non è un numero reale e quindi non può essere messo in corrispondenza biunivoca con R, e
quindi non può essere rappresentato sugli assi cartesiani.
• Le formule dove intervengono misure in radianti, sono assai più semplici delle corrispondenti
formule in cui intervengono misure in gradi .
• Se α è espresso in radianti, la misura di un arco si calcola: l = α ⋅ r
Passaggio dai gradi ai radianti
Dato l’angolo  , sia α o la sua misura in gradi e α r la sua misura in radianti, prendendo come
riferimento l’angolo piatto P̂ , le cui misure sono 180° in gradi e π in radianti, risulta:
Aˆ : Pˆ = α o : 180 o
e
Aˆ : Pˆ = α r : π
α o : 180 o = α r : π
tale proporzione permette di passare dal sistema radiale al sistema sessagesimale e viceversa.
Per esempio, l’angolo di 1 radiante misura circa 57,32° ( = 57° 17’ 44” ), infatti:
α 0 : 180 0 = 1 : π
αo =
180 o ⋅ 1
π
= 57,32 0
