Programma svolto - Pietro d`Avenia

Programma del corso di Analisi Matematica
Classe C, Modulo A
Anno Accademico 2016/2017
Pietro d’Avenia
Numeri reali
Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi e razionali. L’insieme R dei numeri reali,
l’assioma di completezza. Proprietà dei sottoinsiemi di R: massimo, minimo, teorema di esistenza
dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore ed applicazioni. Il principio di induzione ed applicazioni.
Numeri complessi
Definizione dell’insieme dei numeri complessi, unità immaginaria. Operazioni con i numeri complessi. Complesso coniugato, modulo di un numero complesso, argomenti di un numero complesso.
Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formule di De Moivre. Radici di un numero complesso.
Funzioni reali
Funzioni reali di variabile reale: definizione e proprietà. Operazioni con le funzioni reali. Funzioni monotone, funzioni pari o dispari, funzioni periodiche. Le funzioni elementari dell’Analisi
Matematica. Successioni di numeri reali.
Limiti di funzioni reali
Limite di una successione: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Esempi ed applicazioni.
Teorema di unicità del limite. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno, teoremi di confronto e doppio confronto. Altre proprietà dei limiti di successioni.
Alcuni limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero e. Elementi di topologia in R. Limiti di
funzioni reali: definizione e proprietà. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limite
di una funzione composta, cambiamento di variabile nei limiti. Limiti notevoli. Applicazioni.
Funzioni continue
Funzioni continue: definizione e proprietà. Discontinuità. Teorema della permanenza del segno.
Teorema dell’esistenza degli zeri. Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di
Weierstrass. Secondo teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Derivabilità e continuità.
Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato
geometrico della derivata. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle,
Cauchy e Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti. Caratterizzazione delle funzioni costanti in
un intervallo. Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Il teorema di L?Hôpital.
Studio del grafico di una funzione. Polinomio di Taylor di una funzione derivabile. Formule di
Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Alcuni sviluppi di funzioni elementari.
1
2
Calcolo integrale
Integrale di Riemann e suo significato geometrico. Proprietà dell’integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Media integrale e teorema del valor medio. Teorema fondamentale del
calcolo integrale. Primitive di una funzione. Formula fondamentale del calcolo integrale. L’integrale
indefinito di una funzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione
per sostituzione. Applicazioni al calcolo di aree di domini del piano.
ELENCO TEOREMI DIMOSTRATI
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√
2∈
/ Q.
Unicità del massimo di un insieme.
Teorema di esistenza dell’estremo superiore.
Proprietà di Archimede.
Densità di Q in R.
Disuguaglianza di Bernoulli.
Formule di De Moivre.
Radice di un numero complesso.
Stetta monotonia e ingettività.
|x| ≤ r ⇐⇒ −r ≤ x ≤ r.
Disuguaglianza triangolare.
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
Unicità del limite per successioni di numeri reali.
Ogni successione convergente è limitata.
Teorema della permanenza del segno per successioni di numeri reali.
Corollari del teorema della permanenza del segno per successioni di numeri reali.
Teorema dei carabinieri per successioni di numeri reali.
Teoremi di confronto per i limiti infiniti.
an → 0 ⇐⇒ |an | → 0.
Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
Teorema sulle successioni monotone.
Teorema dell’esistenza degli zeri.
Primo teorema dei valori intermedi.
Secondo teorema dei valori intermedi.
Derivabilità implica continuità.
Teorema di Fermat.
Teorema di Rolle.
Teorema di Cauchy.
Teorema di Lagrange.
Criterio di monotonia.
Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo.
Teorema della media integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo.
Formula fondamentale del calcolo integrale.
Testi di riferimento
(1) P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori.
(2) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 1, pp. 1 e 2, Liguori.
Altri testi consigliati
(1) M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill.
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(2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
(3) M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica, volume 1, Apogeo.
(4) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli.