Soluzioni prove del 21-7-15

FISICA GENERALE I
A.A. 2014-2015
Cognome
Nome
Corso di Studi
Docente
Ritirato (barrare e firmare) :
Voto:
Esercizio n. 1 Con riferimento alla figura accanto, un corpo
puntiforme di massa m si muove con una velocità iniziale v0 diretta
lungo l’asse x. Da un certo istante agisce sul corpo un impulso J che
forma un angolo  con l’asse x. Calcolare: 1) la velocità v del corpo al
termine dell’azione dell’impulso; 2) il lavoro complessivamente svolto
dalla forza che genera l’impulso.
Eseguire i calcoli per vo= 1.34m/s, = 30°, m=0.5kg, J =5Ns
 t 
 
J   Fdt  m (v  v0 )
1)
0
 j x  J cos   m (v x  v0 )

 j y  J sen  m v y
La velocità finale ha modulo
e forma un angolo
Prova del 21 -7- 2015
matricola
CFU
8-9
10
12
v x  ( J cos / m)  v0  10m / s

v y  J sen / m  5m / s
v  v x2  v y2  11.2 m / s
  arctg (v y / v x )  26.6 con l’asse delle x
2 ) Il lavoro è pari alla variazione dell’energia cinetica
1
W  Ek  m (v 2  v02 )  30.9 J
2
Esercizio n. 2 In un piano verticale, un anello omogeneo di massa m e raggio R è
incernierato, senza attrito, ad un estremo O ed è sostenuto da una molla ideale di
costante elastica k nel punto A, diametralmente opposto ad O. Nella posizione di
equilibrio i punti O e A sono alla stessa quota (vedi figura). Si determini:
1) l’allungamento della molla nella posizione di equilibrio; 2) il periodo delle piccole
oscillazioni del sistema quando viene spostato dalla posizione di equilibrio. Si
considerino piccole rotazioni angolari  intorno ad O tali che cos()1. Eseguire i
calcoli per m = 300g, R= 50cm, k =150N/m.
Equazione dei momenti assiali rispetto all’asse passante per O nel verso entrante nel foglio
𝑚𝑔𝑅 − 𝑘𝑥𝑒𝑞 2𝑅 = 0 dove x è la deformazione della molla. Quindi
1) All’equilibrio
xeq= 9.8 mm
2) Quando il disco è spostato dalla posizione di equilibrio
(−𝑘𝑥2𝑅 + 𝑚𝑔𝑅)cos⁡(𝜃) = 2𝑚𝑅 2 𝜃̈
x=2R e cos() 1
ponendo
𝑚
𝑇 = 2𝜋√2𝑘 = 0.2⁡𝑠
si ottiene
2𝑘
𝑚𝑔
𝜃̈ + 𝑚 (𝜃 − 4𝑘𝑅) = 0. Pertanto
O
A
Esercizio n. 3 Un pendolo semplice inizialmente in quiete è costituito da
un filo di massa trascurabile e lunghezza L alla quale è appesa una massa
m2. Un proiettile di massa m1 incide orizzontalmente con velocità v1 sulla
massa m2 e, dopo averla attraversata, fuoriesce con velocità V1. Assumendo
che il filo rimanga sempre teso e che la sua tensione valga TB quando il
pendolo raggiunge la posizione orizzontale B (vedi figura), calcolare: 1) il
modulo V2 della velocità di m2 immediatamente dopo l’urto; 2) il lavoro
compiuto dalle forze dissipative durante l’urto. Eseguire i calcoli per
v1=100m/s, L=1m, TB=4.4N, m1=0.01kg, m2=0.1kg.
1) In B lungo la direzione del filo
TB  m2
V22,B
L
e per la conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto
1
1
m2V22  m2V22,B  m2 gL  V2 
2
2
TB / m2  2 g L  8m / s
2) Durante l’urto si conserva la quantità di moto
m1v1  m1V1  m2V2
 V1  v1 
m2
V2  20m / s
m1
Il lavoro delle forze dissipative durante l’urto è pari alla variazione dell’energia cinetica:
W  E k 
1
1
1
m1V12  m2V22  m1v12  44.8 J
2
2
2
Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono il ciclo riportato in
figura dove AB è un espansione libera, BC è una isocora ottenuta mettendo il gas in
contatto termico con una sorgente a temperatura TC mentre la trasformazione CA è
un’isobara reversibile. Calcolare durante il ciclo: 1) il lavoro compiuto dal gas; 2) la
variazione di entropia dell’universo. Dati: n=2, TC=400 K, PA=2PB.
p
A
C
B
V
1)
W  QBC  QCA  ncV TC  TB   nc p TA  TC 
Espansione libera:
PAVA  PBVB  PBVC ;
Trasformazione isobara:
TA TC
;

VA VC
[alternativamente: W  WCA  p A VA  VC   nRTA  TC  ]
VC  2VA
T
TA  TB  C
2
W  3RTC  TB   5RTA  TC   3.3 10 3 J
2)
Su  S SOR  
T 
ncV TC  TB 
 nc p ln  C   16.3J / K
TC
 TA 
[ W  2 RTA  TC   3.3  103 J ]
FISICA GENERALE I
A.A. 2014-2015
Prova del 21-7-2015
Cognome
Nome
matricola
Corso di Studi
Docente
CFU
8-9
10
12
Ritirato (barrare e firmare) :
Voto:
Esercizio n. 1 Due punti materiali, ciascuno di massa m, sono vincolati a scorrere
senza attrito su due binari orizzontali che formano tra di loro un angolo fisso 2. I
due punti materiali sono connessi da una molla di costante elastica K. Le due masse
si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei
due binari uguali tra loro.
Calcolare:
a) A) il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse sono spostate di l lungo il
binario rispetto alla posizione di equilibrio
b) B) il periodo del moto quando le masse vengono allontanate dalla posizione di equilibrio e quindi rilasciate
Utilizzare per i calcoli: K=10 N/m, l= 0.1 m,  = 0.1 kg
a) Indicata con x la distanza di cui ogni massa si sposta lungo il binario, rispetto alla posizione di
equilibrio, la molla risulta deformata corrispondentemente di 2xsinQuando lo spostamento delle
masse lungo i binari è pari ad l il modulo della forza esercitata dalla molla è: F = 2Kl sin J =0.52N
b) La componente della forza esercitata dalla molla parallelamente ai binari è:
Esercizio n. 2 Un cubo di lato 2a e massa M si muove con velocità iniziale v0
su un tavolo liscio. Quando il cubo raggiunge l’estremità O del tavolo il suo
spigolo rimane bloccato ed il cubo inizia a ruotare senza attrito.
Il momento di inerzia del cubo rispetto ad un asse orizzontale passante per il
centro di una delle facce è I=2/3Ma2
Calcolare:
a) a) la velocità angolare con cui il cubo inizia a ruotare;
b) b) la velocità iniziale massima v0MAX tale che il cubo non si ribalti.
Utilizzare per i calcoli: M=1 kg, a=0.3 m, v0=1 m/s
a) Nell’urto, per la conservazione del momento angolare rispetto all’asse di contatto tra spigolo del cubo e
bordo del tavolo, si ha (utilizzando il teorema di Huygens Steiner):
Mv0 a
3v

 0 1.25 rad/s
(1)
Mv0 a = (I + M 2a2 )w
2
( I  M 2a ) 8a
b) Dopo l’urto si ha la conservazione dell’energia meccanica.
La velocità iniziale massima è quella per cui il centro di massa arrivi con velocità nulla alla quota a 2
rispetto al tavolo.
Quindi la condizione limite è data da:
Dalle 1 e 2 si ottiene
1
2
( I  M 2a 2 )max  Mga ( 2  1)
2
2(I + M 2a 2 )g( 2 -1)
v £
= 2.55 m/s
Ma
max
0
(2)
Esercizio n. 3 Due blocchi di dimensioni trascurabili, ognuno di massa m, sono posti uno sopra l’altro, a
distanza R dal centro di rotazione di una piattaforma girevole. La piattaforma ruota a velocità angolare
costante  ed i due blocchi sono fermi rispetto alla piattaforma. Sia 1 il coefficiente di attrito statico tra
piattaforma e blocchi e 2 il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi, con 2<1.
Calcolare: a) la forza di attrito esercitata dalla piattaforma sul blocco inferiore e quella tra i due blocchi in
assenza di slittamento b) quale è la massima velocità angolare della piattaforma tale che nessuno dei due
blocchi si muova rispetto alla piattaforma? Utilizzare per i calcoli: m=0.5 kg, R=1 m, rad/s, 2=0.3
a) Diagrammi di corpo libero per i due blocchi
Npm = reazione vincolare tra blocco e piattaforma
f mm= forza di attrito tra i due blocchi
Per il blocco inferiore, in diretto contatto con la piattaforma lungo
l’asse radiale
fmm - f pm = -mRw 2
Per
il
blocco
f pm = 2mRw =2 N
2
superiore: - fmm = -mRw 2 da
cui
fmm = 1N
(1)
b) Il blocco superiore scivola se l’attrito statico cui è soggetto
2
raggiunge il valore massimo
f max
mm = m2 N mm = m2 mg = mRw sup_max
2
da cui la velocità angolare a cui il blocco superiore inizierà a scivolare w sup_max
=
N pm - N mm - mg = 0
inferiore
Per il blocco
quindi N pm = 2mg
Il blocco inferiore scivola quindi quando f pm = m1 N pm = 2m1mg e quindi da (1)
w 2inf_max =
m1g
R
m2 < m1
Quindi inizierà a scivolare prima il blocco superiore.
wsup_max < w inf_max
dato che:
La velocità
w max =
m2 g
R
angolare massima alla quale i due blocchi rimangono fermi rispetto alla piattaforma sarà quindi:
m2 g
=1.72 rad/s
R
Esercizio n.4 Un cilindro rigido adiabatico è diviso in due parti da una parete fissa adiabatica di superficie
S. Una parte, di volume V1, contiene n1 moli di gas ideale biatomico; l'altra parte, di volume V2 contiene n2
moli dello stesso gas. Inizialmente la pressione nelle due parti è p. La parete ad un certo istante viene resa
diatermica, si calcoli:
a) la temperatura finale di equilibrio, b) la forza che agisce sulla parete all’equilibrio, c) la variazione di
entropia del sistema.
Utilizzare per I calcoli: S = 0.001 m2, V1=3 l, n1=2, V2=1 l, n2=1, p=10 atm
T1 =
pV1
= 182.5 K
n1R
T2 =
pV2
= 121.7 K
n2 R
Quando la parete diventa diatermica, del calore �fluisce da una parte all'altra e viene raggiunta la temperatura
finale Tf. Durante la trasformazione: Q  Q1v  Q2 v  0  n1cv (T f  T1 )  n2 cv (T f  T2 )
a) Tf =
n1T1 + n2T2
=162.2 K
n1 + n2
n2 n1
- ) = 450 N
V2 V1
T
T
c) la variazione di entropia del sistema è: DS = DS1 + DS2 = n1cv ln f + n2 cv ln f =1.09 J/K
T1
T2
b) la forza esercitata sulla parete è:
F = S(p2 - p1 ) = SRTf (