Esercitazioni in aula parte I:
Esercizio 1)
Quale delle seguenti definizioni è una buona definizione di insieme?
L’insieme delle lettere dell’alfabeto
L’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano
L’insieme dei numeri reali che soddisfano il vincolo 2 x 9 16
L’insieme dei numeri naturali che soddisfano il vincolo 2 x 9 16
L’insieme dei bravi giocatori di tennis
Esercizio 2)
Dati i seguenti insiemi
è vera e quale è falsa:
N 1,2,3,4,.... A 2,3,4,6,8,10 B 1,3,6,7,8, dire quale delle seguenti affermazioni
2 A; 4 B; A N ; A N ; A n pari; B A; A; 0; 1
1 ; ;
Esercizio 3)
Utilizzando la rappresentazione mediante diagrammi di Venn scurire l’area che rappresenta i seguenti insiemi
A B ; A B; A B ; A B
Esercizio 4)
In una classe di 28 ragazzi ci sono 24 destri e 9 mancini. Quanti sono gli ambidestri?
Esercizio 5)
Gli abitanti di un paese leggono tre riviste A,B,C ed in percentuale i lettori sono ripartiti cosi:
il 10% legge A,B e C;
il 30% legge A e C;
il 20% legge B e C;
il 30% legge A e B;
il 60% legge A (ma non solo);
il 50% legge B;
il 50% legge C;
Quanti sono quelli che non leggono?
______________________________________________________________________________________
Esercizio 1)
Si lanciano 2 dadi non truccati. Qual è la probabilità condizionata che almeno uno dei due dia 6 sapendo che i dadi hanno
dato due numeri diversi?
Esercizio 2)
Si lanciano 2 dadi non truccati. Qual è la probabilità condizionata che il primo dia 6 sapendo che la somma dei dadi è i ?
calcolarla per i=2,3,4,..,12.
Esercizio 3)
Si considerino 3 urne. L'urna A contiene 2 palline bianche e 4 rosse; l'urna B contiene 8 palline bianche e 4 palline rosse;
l'urna C contiene 1 pallina bianca e 3 palline rosse. Scegliendo una pallina da ogni urna, qual è la probabilità che la pallina
estratta da A sia bianca ? Qual è la probabilità che la pallina estratta da A sia bianca sapendo di aver estratto esattamente
2 palline bianche?
Esercizio 4)
Uno studente ha intenzione di dare un esame universitario sostenendo 3 prove di accertamento intermedie. Se una di
queste prove non è superata lo studente non può effettuare la successiva. La probabilità che lo studente superi la prima
prova è 0.9. Se egli supera la prima, la probabilità condizionata che superi la seconda è 0.8, e se egli supera la prima e la
seconda prova, la probabilità condizionata che superi la terza è pari a 0.7. Qual è la probabilità che lo studente superi
l'esame? E cioè tutte e tre le prove? Sapendo che lo studente non ha superato l’esame con che probabilità ha fallito alla
seconda prova?
Esercizio 5)
Una compagnia di assicurazione suddivide le persone in due classi: quelle che sono propense a incidenti e quelle che non
lo sono. Le statistiche dell'assicurazione mostrano che le persone propense a incidenti hanno probabilità 0.4 di avere un
incidente in un anno, mentre questa probabilità scende a 0.2 per le altre persone. Supponendo che il 30% della
popolazione sia propensa agli incidenti, qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno
dall'acquisto della polizza?
Esercizio 6)
Usando I dati forniti nell'esercizio 4. Supponiamo che un signore, nuovo assicurato, abbia un incidente entro un anno
dall'acquisto della polizza. Qual è la probabilità che si tratti di una persona propensa agli incidenti?
Esercizio 7)
Una scatola contiene 15 palle da tennis, 9 delle quali non sono mai state usate. Si scelgono a caso 3 di queste palle, ci si
gioca, e si rimettono nella scatola. Dopo, si scelgono a caso altre 3 palle. Determinare la probabilità che nessuna di queste
sia mai stata usata.
Esercizio 8)
Degli studenti di una classe , 60% sono geni, 70% amano la cioccolata, e il 40% appartengono ad entrambe le categorie.
Determinare la probabilità che preso a caso uno studente egli non sia né un genio né un amante del cioccolato.
Esercizio 9)
Tu sei ammesso ad una gara dove la tua probabilità di vincere è 0.3 contro la metà dei possibili avversari (chiamali di tipo
1), è 0.4 contro un quarto dei possibili avversari (chiamali di tipo2) e 0.5 contro il restante quarto dei tuoi avversari (chiamali di tipo3 ). Tu fai una sola partita contro un giocatore scelto a caso tra i tuoi possibili avversari:.
(a) qual è la tua probabilità di vincita?
(b)Supponi di vincere. Qual è la probabilità che tu hai giocato contro un avversario di tipo 1?
Esercizio 10)
Il tiro al volo è una disciplina sportiva che consiste nel colpire un bersaglio, detto piattello, mediante un fucile. Supponiamo che il tiratore disponga di due fucili, uno bianco e uno nero, e scelga casualmente quello con cui sparare per tutta la
gara. Inoltre i due fucili non hanno la stessa capacità di tiro; per cui la probabilità di colpire il bersaglio, ad ogni tentativo,
con il fucile bianco è pari a 1/3 mentre con il fucile nero è 2/3 . Vengono effettuati 5 lanci consecutivi del piattello e per
ogni lancio il tiratore ha un solo tentativo a disposizione.
a) Determinare la probabilità che il tiratore colpisca 3 volte il piattello.
b) Determinare la probabilità che il tiratore colpisca ad ogni lancio il piattello.
c) Calcolare la probabilità che il tiratore abbia sparato con il fucile bianco, dato che il piattello è stato colpito ad ogni lancio.
Esercizio 11)
Un’urna contiene 20 palline di cui 8 rosse e 12 nere. Supponiamo di effettuare estrazioni dall’urna con reinserimento.
_ Qual è la probabilità di estrarre per la prima volta pallina rossa alla k-esima estrazione?
_ Qual è la probabilità di estrarre per la quarta volta una pallina rossa alla k-esima estrazione?
_ Sapendo che le prime due palline estratte sono nere, qual è la probabilità di estrarre per la terza volta una pallina rossa
alla decima estrazione?
Esercizio 12)
Una scatola contiene 5 palline blu e 5 palline rosse. Consideriamo un mazzo di 10 carte numerate da 1 a 10 e si estraggano
dal mazzo due carte senza ripetizione. Per ogni carta estratta, si osserva il relativo valore e se tale valore risulta minore o
uguale a 5, allora si aggiunge nella scatola una pallina blu, altrimenti si aggiunge nella scatola una pallina rossa.
Dopo aver effettuato questa operazione viene estratta una pallina dall’urna.
a) Qual è la probabilità di estrarre una pallina blu?
b) Sapendo di aver estratto una pallina blu, qual è la probabilità di aver inserito nella scatola due palline blu?
c) Se dalla scatola si estraggono due palline con ripetizione, qual è la probabilità che una sia blu?
Esercizio 13)
Due urne contengono rispettivamente b1 e b2 palline bianche e n1 e n2 palline nere. Supponiamo di estrarre due palline e
di vincere il gioco se entrambe le palline sono bianche. L’estrazione delle due palline avviene secondo una delle seguenti
procedure:
a) si sceglie a caso un’urna, si estrae una pallina, la si rimette dentro, si sceglie di nuovo a caso un’urna ed si estrae di nuovo;
b) si sceglie a caso un’urna, si estrae una pallina, la si rimette dentro e, sempre dalla stessa urna, si estrae di nuovo.
Quale dei due procedimenti sopra descritti è più vantaggioso per ottenere la vittoria?
Risposte agli esercizi del
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1/3
[0,0,0,0,0,0,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2,1]
1/3, 7/11
0.504
0.26
0.4615
0.0893
0.1
(a) 0.3750; (b) 0.4
