Prova scritta di Probabilità e Statistica
26 Gennaio 2007 – Compito A
NB: le soluzioni degli esercizi prive di adeguate motivazioni non saranno
prese in considerazione.
1. Qual è la probabilità di ottenere k volte testa in n lanci di una moneta supposta non truccata?
2. Fissiamo una carta da gioco in un mazzo da 40. Mischiamo bene l’intero mazzo. Quante
carte dobbiamo scoprire in media per ritrovare la suddetta carta?
3. Il diametro di un perno prodotto in serie è una variabile aleatoria gaussiana di media 12.50
mm e deviazione 0.020. Sono conformi i perni il cui diametro è compreso tra 12.46 e 12.54.
Si valuti la probabilità che un perno abbia un diametro minore di 12.52, essendo conforme.
4. I diabetici cronici devono dosare l’insulina da iniettarsi misurando il proprio livello ematico
di glicemia. La precisione degli apparecchi portatili di cui fanno uso costituisce un fattore
fondamentale per il proprio benessere. Su ciascun paziente, appartenente ad un campione di
40, è stato effettuata una misura di riferimento ri con uno strumento di laboratorio (R) e una
seconda misura ai con un apparecchio portatile (A) di una certa azienda che ha dichiarato la
variabilità massima della precisione pari a 0.028. Per giudicare la precisione dell’
apparecchio A sono state calcolate le differenze relative xi = (ai − ri ) / ri . Sapendo che la
varianza campionaria relativa a xi è risultata 0.0302, stabilire se la dichiarazione di
conformità della azienda è attendibile. Calcolare l’errore commesso nel test (nel caso di
errore di II tipo, formulare una opportuna ipotesi alternativa).
5. Effettuare un test di adattamento per stabilire se il seguente campione casuale ha legge di
Poisson.
Dati
0 1 2 3 => 4
Frequenze 10 12 9 5 3
- Correzione ed eventuale registrazione – giovedì 1 Febbraio aula 39 del Dipartimento di
Matematica e Informatica ore 10.00
Prova scritta di Probabilità e Statistica
26 Gennaio 2007 – Compito B
NB: le soluzioni degli esercizi prive di adeguate motivazioni non saranno
prese in considerazione.
1. Immaginiamo di lanciare 12 volte una moneta bilanciata. Quale dei due esiti è più
probabile? TTTTTTTTTTTT oppure TCCTTCCTCTCC? Motivare la risposta.
2. Un gioco è equo se vale 0 la media della vincita netta. Si valuti se sia equo o meno un gioco
che prevede una vincita lorda di 110 euro per un giocatore che estrae da un mazzo di 40
carte un asso o un tre di un colore prefissato, avendo depositato una posta di 10 euro.
3. Un indice di qualità X di un prodotto alimentare è assimilabile ad una v.a. Gaussiana. La
varianza σ 2 di detto indice costituisce un importante elemento di qualità da tenere sotto
controllo. Si decide pertanto di esaminare un gruppo di n esemplari del prodotto
rappresentativi della produzione in corso, per valutare tale varianza. Quanto grande deve
essere n affinché sia maggiore di 0.95 la probabilità che la varianza campionaria differisca
dal valore vero per meno di 1.5 σ 2 .
4. I diabetici cronici devono dosare l’insulina da iniettarsi misurando il proprio livello ematico
di glicemia. La precisione degli apparecchi portatili di cui fanno uso costituisce un fattore
fondamentale per il proprio benessere. Su ciascun paziente, appartenente ad un campione di
40, è stato effettuata una misura di riferimento ri con uno strumento di laboratorio (R) e una
seconda misura ai con un apparecchio portatile (A). Effettuare un test al livello di
significatività del 95% per stabilire se le due apparecchiature hanno diverse variabilità
sapendo che la varianza campionaria del campione ri è risultata 11568.3 mentre quella per il
campione ai è risultata 13178.3. Calcolare l’errore commesso nel test (nel caso di errore di
II tipo, formulare una opportuna ipotesi alternativa).
5. Effettuare un test di adattamento per stabilire se il seguente campione casuale ha legge
geometrica.
Dati
1 2 3 4 => 5
Frequenze 21 15 9 4 3
- Correzione ed eventuale registrazione – giovedì 1 Febbraio aula 39 del Dipartimento di
Matematica e Informatica ore 10.00
Soluzioni B
1. Sono equiprobabili, con probabilità 1
2. Probabilità di vincere 6
.
212
. Si tratta di calcolare la media della v.a. X tale che
40
P ( X = 110) = 6 / 40, P( X = −10) = 34 / 40 che viene diversa da zero, sicchè il gioco non è
equo.
3. P S 2 < 2.5σ 2 > 0.95 ⇒ P( χ n2−1 < 2.5(n − 1)) > 0.95 Bisogna determinare il valore di n
(
)
affinché 2.5(n − 1) > χ 02.05,n−1 il che avviene per n = 5.
4. L'ipotesi nulla non si rigetta. Si commette pertanto un errore di II tipo il cui valore dipende
dall'ipotesi alternativa formulata.
5. Il parametro p = 1 / X ≈ 0.48. L'ipotesi nulla non si rigetta.
Soluzioni A
n
1. / 2 n ;
k
2. 40
3. P ( X < 12.52 | 12.46 < X < 12.54 ) = 0.8576
H 0 : σ 2 = 0.028
4.
Non si rigetta l'ipotesi nulla. Si commette pertanto un errore di II tipo
H 1 : σ 2 > 0.028
il cui valore dipende dall'ipotesi alternativa formulata.
5. λ = X = 1.46 ⇒ L'ipotesi nulla non si rigetta.
- Correzione ed eventuale registrazione – giovedì 1 Febbraio aula 39 del Dipartimento di
Matematica e Informatica ore 10.00
