9) VERIFICA DI
IPOTESI
L’ipotesi statistica è una supposizione riguardante
caratteristiche ignote ignote di una v.c. X.
Es.: campionamento con ripetizione, valore
della media, varianza
Parametriche: inerenti i parametri
Ipotesi
Non Parametriche: forma funzionale V.c.
Verifica: modalità attraverso cui si giunge a
verificare la validità o meno di ipotesi stabilite.
Si affronta il caso delle ipotesi parametriche: si
abbia una f.r. 0 ( x) costruita secondo una forma
funzionale (Es.: Normale) ed ipotizzando un certo
valore dato dei parametri (Es.: media con varianza
nota).
Si costruisce un campione casuale che fornisce gli
n valori (x1, …, xn)
Da qui si ricava la v. statistica:
(x1 f1, …, xn fn)
caratterizzata da una funzione di ripartizione
*
empirica ( x) . Le deviazioni tra la funzione di
*
(
x
)
ripartizione 0
e ( x) possono :
dipendere dal caso
oppure essere l’espressione
di una ipotesi diversa da fare
sui parametri
Si deve costruire una norma d di tali deviazioni.
Quanto più d è piccolo, tanto più si può accettare
l’ipotesi.
Si deve costruire un valore critico di d oltre il
quale si rifiuta l’ipotesi:
P( D d0 H 0 )
Sopra d0 si rifiuta H0 con livello di probabilità
(di solito 0.05, 0.01, 0.001) fissato arbitrariamente.
Se si rifiuta H0 non è detto che questa sia falsa, ma
solo che non è suffragata dai fatti; se la si accetta
non è detto che H0 sia vera, ma solo che è
suffragata dai fatti ed H0 dà una interpretazione
ragionevole a riguardo del parametro ignoto.
= livello di significatività: oltre questo livello
l’ipotesi che H0 sia vera è così poco probabile che
l’ipotesi non è plausibile.
Verifica condotta sul test da ………………….
1 Test sulla Media
X N ( , 2 )
2 nota, ignota
campione :
( x1 , ..., xn )
1 n
media campionaria : X xi
n i 1
determinazione della v.c. X n
2
X ,
n
H0 : 0
( X ) determinazione della v.c. ( X n 0 )
normale con media nulla
d ( X 0 ) se è prossimo allo zero ipotesi
accettata altrimenti no.
Ci si riferisce a:
Z
(X 0)
2
n
che, impiegando la varianza di X n , è libera
dall’influenza della variabilità alta o bassa ed
è determinata dalla v.c. N(0,1).
H0
H1
Regione di
Reg.
Reg.
Accettazione
di Rifiuto
H1
Z**
di Rifiuto
Z*
Si scelgono Z* e Z** in modo simmetrico allo zero:
P Z
2
1
Z Z
2
2
P Z Z
2
2
Z
2
e
Z
1
z2
2
dz 1
2
P Z Z
2
Si fissa sulla tavola, si ricavano Z
2
e Z
2
A questo punto se:
Z
(X 0)
2
n
H0 viene accettata, altrimenti no.
Questo è un test con ipotesi bilaterale con due code
vale a dire con 2 segni di rifiuto.
Se invece 2 fosse ignoto si può utilizzare
il rapporto student.... :
t
(X 0)
S
2
dove S 2
n
1
n 1
2
x X
n
i 1
i
è la varianza campionaria co................
determinazione della v.c.
T
(Xn 0)
S2 n
continua.
Inserire immagine pg. 106 … di che libro ?
Simmetrica rispetto alla zero, media e momenti
……………………..anch’essi tabulati.
Perciò, costruito il rapporto:
t
(X 0)
S2 n
si ricava dalla tavola
P T t 2
2
Con (n-1) gradi di libertà (numero elementi
campione – 1), e per la simmetria:
t
Se t t
2
Per n>30: T
2
t t
2
H0 accettata, altrimenti rifiutata.
N(0,1)
Anche in questo caso abbiamo costruito un test
bilaterale. Se invece la regione di rifiuto fosse
unidirezionale
Regione di Accettazione
Si parlerebbe di test unilaterale con regione di
accettazione a probabilità all’estremo
inferiore/superiore dell’area.
9.1) Test per 2
campioni
Si voglia verificare l’ipotesi di uguaglianza di
due v.c. normali indipendenti X e Y con ugual
varianza:
H0:
a
1= 2
Si costruiscono 2 campioni
(x1, x2, …, xn) (y1, y2, …, yn)
Si calcolano le medie:
2
X N 1 ,
n1
2
Y N 2 ,
n2
Stime corrette di 1 e 2 ,determinazioni
delle v.c. media campionaria
1 n1
X xi
n1 i 1
1
Y
n2
n2
y
i 1
i
x x y determinazione della v.c. X X Y
2 2
N ( 1 2 )
n
n
1
2
1= 2
Se vale H0:
X X Y
2 2
N 0 ,
n2
n1
2
n1 n2
n
n
1
2
perciò :
X Y
Z
e, fissato ,
n1 n2
n1 n2
si accetta H 0 se :
2
Z
2
Z Z
2
si rifiuta se :
Z Z 2 Z Z
b Se
2 fosse
2
ignoto si ricorre alla stima S di 2
(n1 1) S1 (n2 1) S 2
n1 n2 2
2
S2
2
2
2
2
ottenuta con la stima di S1 e S 2 ponderate
con pesi pari a (n1 1) ed (n2 1).
Si dimostra che la quantità:
X Y
t
n1 n2
n1 n2
è una detrminazione della v.c. di Student
con n1 n2 2 gradi di libertà.
(n1 1) S1 (n2 1) S 2
n1 n2 2
2
2
Fissato :
t 2 in corrispond enza di n1 n2 2 g . d . l.
H 0 1
t
2
2
t t
si accetta se :
2
si rifiuta diversamente.
