9) verifica di ipotesi

9) VERIFICA DI
IPOTESI
L’ipotesi statistica è una supposizione riguardante
caratteristiche ignote ignote di una v.c. X.
Es.: campionamento con ripetizione, valore
della media, varianza
Parametriche: inerenti i parametri
Ipotesi
Non Parametriche: forma funzionale V.c.
Verifica: modalità attraverso cui si giunge a
verificare la validità o meno di ipotesi stabilite.
Si affronta il caso delle ipotesi parametriche: si
abbia una f.r.  0 ( x) costruita secondo una forma
funzionale (Es.: Normale) ed ipotizzando un certo
valore dato dei parametri (Es.: media con varianza
nota).
Si costruisce un campione casuale che fornisce gli
n valori (x1, …, xn)
Da qui si ricava la v. statistica:
(x1 f1, …, xn fn)
caratterizzata da una funzione di ripartizione
*
empirica  ( x) . Le deviazioni tra la funzione di
*

(
x
)
ripartizione 0
e  ( x) possono :
dipendere dal caso
oppure essere l’espressione
di una ipotesi diversa da fare
sui parametri
Si deve costruire una norma d di tali deviazioni.
Quanto più d è piccolo, tanto più si può accettare
l’ipotesi.
Si deve costruire un valore critico di d oltre il
quale si rifiuta l’ipotesi:
P( D  d0 H 0 )  
Sopra d0 si rifiuta H0 con  livello di probabilità
(di solito 0.05, 0.01, 0.001) fissato arbitrariamente.
Se si rifiuta H0 non è detto che questa sia falsa, ma
solo che non è suffragata dai fatti; se la si accetta
non è detto che H0 sia vera, ma solo che è
suffragata dai fatti ed H0 dà una interpretazione
ragionevole a riguardo del parametro ignoto.
= livello di significatività: oltre questo livello
l’ipotesi che H0 sia vera è così poco probabile che
l’ipotesi non è plausibile.
Verifica condotta sul test da ………………….
1 Test sulla Media
X  N ( , 2 )
 2 nota,  ignota
campione :
( x1 , ..., xn )
1 n
media campionaria : X   xi
n i 1
determinazione della v.c. X n

 2

X   ,
n 

H0 :    0
( X   ) determinazione della v.c. ( X n   0 )
normale con media nulla
d  ( X   0 ) se è prossimo allo zero ipotesi
accettata altrimenti no.
Ci si riferisce a:
Z
(X   0)

2
n
che, impiegando la varianza di X n , è libera
dall’influenza della variabilità alta o bassa ed
è determinata dalla v.c. N(0,1).
H0
H1
Regione di
Reg.
Reg.
Accettazione
di Rifiuto

H1
Z**
di Rifiuto
Z*

Si scelgono Z* e Z** in modo simmetrico allo zero:
P  Z
2

1

 Z  Z  
2
2



P Z   Z  
2

2
Z
2
e
 Z
1
 z2
2
dz  1  
2
P Z  Z 
2

Si fissa  sulla tavola, si ricavano Z
2
e  Z
2
A questo punto se:
Z
(X   0)

2
n
H0 viene accettata, altrimenti no.
Questo è un test con ipotesi bilaterale con due code
vale a dire con 2 segni di rifiuto.
Se invece  2 fosse ignoto si può utilizzare
il rapporto student.... :
t
(X   0)
S
2
dove S 2 
n
1
n 1
2
 x  X 
n
i 1
i
è la varianza campionaria co................
determinazione della v.c.
T
(Xn   0)
S2 n
continua.
Inserire immagine pg. 106 … di che libro ?
Simmetrica rispetto alla zero, media e momenti
……………………..anch’essi tabulati.
Perciò, costruito il rapporto:
t
(X   0)
S2 n
si ricava dalla tavola
P T  t 2  

2
Con (n-1) gradi di libertà (numero elementi
campione – 1), e per la simmetria:
 t
Se t  t
2
Per n>30: T
2
 t  t
2
H0 accettata, altrimenti rifiutata.
N(0,1)
Anche in questo caso abbiamo costruito un test
bilaterale. Se invece la regione di rifiuto fosse
unidirezionale
Regione di Accettazione

Si parlerebbe di test unilaterale con regione di
accettazione a probabilità all’estremo
inferiore/superiore dell’area.
9.1) Test per 2
campioni
Si voglia verificare l’ipotesi di uguaglianza di
due v.c. normali indipendenti X e Y con ugual
varianza:
H0:
a
1= 2
Si costruiscono 2 campioni
(x1, x2, …, xn) (y1, y2, …, yn)
Si calcolano le medie:

 2

X N   1 ,
n1 


 2

Y N   2 ,
n2 

Stime corrette di 1 e 2 ,determinazioni
delle v.c. media campionaria
1 n1
X   xi
n1 i 1
1
Y 
n2
n2
y
i 1
i
x  x  y determinazione della v.c. X  X  Y

 2  2
N (  1   2 )


n
n
1
2 

1= 2
Se vale H0:
X  X Y
  2  2
N  0 ,


n2
 n1
2
 n1  n2  

 

n
n
1
2


perciò :
X Y
Z
e, fissato  ,
 n1  n2 

 
 n1 n2 
si accetta H 0 se :
2
 Z
2
 Z  Z
2
si rifiuta se :
Z   Z 2 Z  Z
b Se
2 fosse
2
ignoto si ricorre alla stima S di 2
(n1  1) S1  (n2  1) S 2
n1  n2  2
2
S2 
2
2
2
2
ottenuta con la stima di S1 e S 2 ponderate
con pesi pari a (n1  1) ed (n2  1).
Si dimostra che la quantità:
X Y
t
 n1  n2 


 n1 n2 
è una detrminazione della v.c. di Student
con n1  n2  2 gradi di libertà.
(n1  1) S1  (n2  1) S 2
n1  n2  2
2
2
Fissato  :
t 2 in corrispond enza di n1  n2  2 g . d . l.
H 0  1 
 t
2
2
 t  t
si accetta se :
2
si rifiuta diversamente.