Prova scritta di Calcolo delle probabilità
15 Settembre 2014
1.
Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta truccata con trucco p=0.65. Sia X il numero
di volte in cui si verifica l’evento testa. Determinare:
a) la distribuzione di probabilità di X;
b) calcolare e disegnare la funzione di ripartizione;
c) calcolare la media e la varianza.
2.
In un test sulla velocità di stampa di una stampante di marca X si è registrato uno scarto
quadratico medio di 4 sec. Su 10 prove effettuate, il tempo medio di stampa di una mezza
pagina formato A4 è 23.48 sec. Verificare se è possibile ipotizzare che il tempo medio di
stampa è 23.5 sec al livello di significatività dell’1%. Ci sono ipotesi teoriche da fare per
applicare la procedura inferenziale? Quali?
3.
Nella risposta alla somministrazione di un vaccino, sono stati monitorati due fattori: il valore
dell’emoglobina e il numero di globuli bianchi. I pazienti sono stati etichettati con 0, 1 e 2
per l’emoglobina e 0,1 per il numero di globuli bianchi a seconda dell’appartenenza a certe
fasce prestabilite di valori. Stabilire con i dati in tabella se i due fattori sono indipendenti:
Emogl.\No.Globuli
0
1
4.
0
128
177
1
131
175
2
211
198
Sia X il numero di lettere imbucate in una cassetta postale in un’ora in città. Assumiamo che
= 3 e che
= 3. Determinare la probabilità che in un’ora vengano imbucate tra 0 e 6
lettere. Se si assume che X è una legge di Poisson, come varia questa probabilità?
SOLUZIONI
= 0.65 e
1. Si tratta di una distribuzione binomiale di parametro
consultando le tavole la distribuzione di probabilità risulta
0
( = ) 0.1225
1
0.455
= 2. Pertanto
2
0.4225
La funzione di ripartizione risulta essere
( )
0
1
0.1225 0.5725
2
1
=
ed è a tratti nei valori intermedi. La media è
= (1 − ) = 0.455.
= 1.3 mentre la varianza è
2. Per applicare un test sulla media con varianza nota, è necessario ipotizzare che il campione
sia gaussiano con deviazione standard teorica 4. In tal caso è possibile applicare uno Z-test.
±
La regione di accettazione del test risulta essere
/
"
√$
%. Poiché una stima puntuale
della media campionaria è ̅ = 23.48, la taglia del campione è 10, la deviazione standard è
4, il quantile 2.57 si ha che la regione di accettazione risulta (20.22, 26.73) e quindi l’ipotesi
nulla non si rigetta perché contiene il valore 23.5 dell’ipotesi nulla.
3. E’ necessario effettuare un test di indipendenza (chi-quadrato) sui fattori coinvolti nella
tabella di contingenza assegnata. Le frequenze teoriche calcolate assumendo i fattori
indipendenti sono:
Emogl.\No.Globuli
0
1
0
140.53
164.46
La statistica test calcolata con la formula ∑2,3
1
141
165
*+,- ./,- 0
/,-
2
188.46
220.53
1
vale 8.38. Il quantile corrispondente a
2 gradi di libertà e significatività del 5% è 5.99. Pertanto l’ipotesi di indipendenza si rigetta.
4. Non conoscendo la legge di distribuzione, è possibile usare la disuguaglianza di Tchebishev
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(| − | ≤ 6 ) ≥ 1 − 1 per stimare questa probabilità. Sostituendo
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che
(| − 3| ≤ 3) ≥ . Se si assume che
:
parametro 3 dalle tavole si ha (0 ≤
= 3,
= 3 si ha
è una variabile aleatoria di Poisson di
≤ 6) = (6) = 0.9665.
