Oltre i principi di Kirchhoff – verso una trattazione elettromagnetica

Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
• Kirchhoff prevederebbe che appena chiuso l’
interruttore scorresse istantaneamente una
corrente I=V/Rtot
• Inoltre, se si lavora con tensioni variabili nel
tempo si assume che la corrente sia in ogni istante
la stessa in tutta la maglia.
1 km
R1
R2
R3
• Kirchhoff prevederebbe che appena chiuso l’
interruttore scorresse istantaneamente una
corrente I=V/Rtot
• Inoltre, se si lavora con tensioni variabili nel
tempo si assume che la corrente sia in ogni istante
la stessa in tutta la maglia.
RL
Rn-1
Rn
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
L
R2
L=1 km
R3
Rn-1
Rn
RL
L
L=1 km
R3
Rn-1
Rn
Rn-1
RL
Rn
L
R1
R2
L=1 km
R3
Rn-1
RL
Rn
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
• Quindi possiamo trattare con l’ approssimazione
istantanea circuiti piccoli e con frequenze << 1
GHz.
• Altrimenti dovremo utilizzare le equazioni di
Maxwell.
R2
R3
• Se ipotiziamo che i segnali si propaghino a
velocita’ dell’ ordine di c, per L=30 cm abbiamo
un ritardo di circa 1 ns.
• Una corrente sinusoidale a f=1 GHz arrivera’ al
carico RL sfasata di circa 1 periodo.
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
R1
R2
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
• Evidentemente questo non puo’ essere, perche’
implicherebbe un trasferimento istantaneo dell’
informazione dall’ interruttore al carico.
• La corrente non puo’ arrivare alla RL prima di
to+L/c . Qui c e’ la velocita’ della luce: 30 cm/ns.
R1
1 km
R1
• Consideriamo ora il circuito elementare per
la trasmissione di segnali su lunghe
distanze, la cosiddetta “linea di
trasmissione”.
Linea di trasmissione
RL
ZG
0
x
ZC
L
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
Oltre i principi di Kirchhoff –
verso una trattazione
elettromagnetica
• In pratica questa puo’ essere una piattina bifilare,
o il cavo telefonico, o il cavo coassiale RG58
(BNC) che si usa in laboratorio o per le antenne,
una pista di rame su un circuito stampato ….
Linea di trasmissione
ZG
Linea di trasmissione
ZC
ZG
L
x
0
• Sia VG(t) la tensione del generatore e ZG la
sua impedenza interna.
• Sia ZC l’ impedenza del carico.
Linea di Trasmissione
Linea di Trasmissione
• Schematiziamo la linea come due conduttori
paralleli, con distanza e sezione costanti e fermi al
passare del tempo (linee uniformi).
• Consideriamo un tratto dx della linea, e
schematiziamolo col circuito equivalente visibile
sotto:
RA
LA
RB
LB
C
1/G
L
x
0
ZC
• Tra le posizioni x e x+dx tensione e corrente
variano, perche’ ci sono cadute di tensione dovute
a R e L, e perdite di corrente dovute a C e G.
• Siccome il circuito e’ piccolo si puo’ usare la
trattazione standard:
ZC
ZG
RA
LA
RB
LB
C
1/G
ZC
ZG
dx
0
dx
x
x+dx
L
x
x+dx
cadute di tensione
∂
I ( x, t )
∂t
∂
dVB = VB ( x + dx, t ) − VB ( x, t ) = RB I ( x, t ) + LB I ( x, t )
∂t
dVA = VA ( x + dx, t ) − V A ( x, t ) = − RA I ( x, t ) − LA
= [V A ( x + dx , t ) − V B ( x + dx , t )] − [V A ( x , t ) − V B ( x , t )]
V ( x + dx ) − V ( x ) = − ( R A + R B ) I ( x , t ) − ( L A + L B )
RA
I(x,t)
ZG
C
1/G
ZC
RB
ZG
LB
C
1/G
ZC
I(x,t)
dx
x
LA
∂
I ( x, t )
∂t
I(x,t)
LB
I(x,t)
0
x
∂
I ( x, t )
∂t
∂
I ( x, t )
dV B = V B ( x + dx , t ) − V B ( x , t ) = R B I ( x , t ) + L B
∂t
V ( x + dx ) − V ( x ) =
LA
RB
L
dV A = V A ( x + dx , t ) − V A ( x , t ) = − R A I ( x , t ) − L A
Linea di Trasmissione:
RA
0
x
dx
x+dx
L
x
0
x
x+dx
L
x
V ( x + dx) − V ( x) = −( RA + RB ) I ( x, t ) − ( LA + LB )
∂
I ( x, t )
∂t
∂⎤
⎡
V ( x + dx) − V ( x) = −⎢ Ru dx + Lu dx ⎥ I ( x, t )
∂t ⎦
⎣
∂V ( x, t )
∂V ( x, t )
∂⎤
⎡
= −[Zu ]I ( x, t )
= −⎢ Ru + Lu ⎥ I ( x, t ) ⇒
∂x
∂x
∂t ⎦
⎣
RA
Linea di Trasmissione:
perdite di corrente
∂
∂
Q ( x , t ) = − GV ( x , t ) − C V ( x , t )
∂t
∂t
∂
∂
∂⎤
⎡
I ( x , t ) = − ⎢Gu + C u ⎥V ( x , t )⇒
I ( x , t ) = −[Yu ]V ( x , t )
t
∂
x
∂x
∂
⎣
⎦
dI ( x , t ) = −GV ( x , t ) −
RA
LA
I(x,t)
RB
ZG
LA
I(x,t)
LB
C
1/G
ZC
RB
ZG
I(x,t)
LB
1/G
dx
x
x+dx
L
0
x
x
x+dx
L
Linea di Trasmissione:
Linea di Trasmissione:
equazioni differenziali e quadrupolo equivalente
Per segnali sinusoidali
⎧ ∂V ( x, t )
∂⎤
⎡
= − ⎢ Ru + Lu ⎥ I ( x, t )
∂x
∂t ⎦
⎣
⎨
∂I ( x, t )
∂⎤
⎡
= − ⎢Gu + Cu ⎥V ( x, t )
∂t ⎦
⎣
⎩ ∂x
⎧ ∂V ( x, t )
⎪ ∂x = −[Z u ]I ( x, t )
⎨ ∂I ( x, t )
⎪
= −[Yu ]V ( x, t )
⎩ ∂x
Z = R + jω L
⇒
Y = G + jω C
⇒
x
Z u dx = (R u + j ω L u )dx
Yu dx = (G u + j ω C u )dx
Dove Zu e Yu sono impedenza e
ammettenza della linea per unita’ di lunghezza.
Zu
V(t)
ZC
I(x,t)
dx
0
C
Zu
Yu
V(t)
ZC
ZG
Yu
ZC
ZG
dx
0
dx
x
x+dx
⎧ ∂V ( x )
⎪ ∂ x = − [Z u ]I ( x )
⎨ ∂I ( x)
⎪
= − [Y u ]V ( x )
⎩ ∂x
L
0
x
x
⎧ ∂ 2V ( x )
= Z u Y u V ( x ) = γ 2V ( x )
⎪⎪ ∂ x 2
⎨ 2
⎪ ∂ I ( x ) = Z u Yu I ( x ) = γ 2 I ( x )
⎩⎪ ∂ x 2
Equazioni dei
Telegrafisti
⎧ ∂ 2V ( x )
∂
I ( x ) = Z u YuV ( x )
= − [Z u ]
⎪⎪
∂x 2
∂x
⎨ 2
⎪ ∂ I ( x ) = − [Y u ] ∂ V ( x ) = Z u Y u I ( x )
∂x
⎩⎪ ∂ x 2
⎧ ∂ 2V ( x )
− γ 2V ( x ) = 0
⎪⎪
∂x 2
⎨ 2
⎪ ∂ I (x) − γ 2 I (x) = 0
⎪⎩ ∂ x 2
Zu
V(t)
x+dx
γ
2
L
x
Equazioni dei
Telegrafisti
= Z u Yu
Zu
Yu
V(t)
ZC
ZG
Yu
ZC
ZG
dx
0
x
dx
x+dx
L
x
0
x
x+dx
L
x
⎧ ∂ 2V ( x )
− γ 2V ( x ) = 0
⎪⎪
∂x 2
⎨ 2
⎪ ∂ I ( x) − γ 2 I ( x) = 0
⎪⎩ ∂ x 2
la soluzione e' del tipo
Equazioni dei
Telegrafisti
Soluzione per V
r
r
r
V ( x ) = A1 e − γ x + A 2 e + γ x =
r
r
= A1 e − (α + j β ) x + A 2 e + ( α + j β ) x =
= A1 e j ϕ 1 e − α x e − j β x + A 2 e j ϕ 2 e + α x e j β x
c1 e − γ x + c 2 e + γ x
quindi
r
r
r
V ( x ) = A1 e − γ x + A 2 e + γ x
e quindi
dove le costanti A1 e A2 contengono
le fasi;
definendo
r r
γ = α + j β = Z u Y u = (R u + j ω L )(G u + j ω C )
r
r
r
r
r
V ( x ) = A1 e − γ x + A 2 e + γ x = A1 e − (α + j β ) x + A 2 e + ( α + j β ) x
{
r
V ( x , t ) = Re V ( x ) e j ω t
= A1 e
−α x
+ A2 e
+α x
}
cos (ω t − β x + ϕ 1 ) Onda progressiva
cos (ω t + β x + ϕ 2 ) Onda regressiva
Onda progressiva
V ( x , t ) = A1 e − α x cos (ω t − β x + ϕ 1 )
Onda progressiva
V ( x , t ) = A1 e − α x cos (ω t − β x + ϕ 1 )
+ A 2 e + α x cos (ω t + β x + ϕ 2 )
Onda regressiva
• L’ ampiezza decresce esponenzialmente con la
distanza, a causa delle dissipazioni R e G
• l’ onda progressiva A1 e’ grande all’ inizio della
linea e si smorza
• l’ onda regressiva A2 e’ grande alla fine della linea
e si smorza “rimbalzando indietro”
+ A 2 e + α x cos (ω t + β x + ϕ 2 )
Onda regressiva
• Vediamo perche’ l’ onda A1 e’ detta progressiva.
• La velocita’ (di fase) v e’ la velocita’ che deve avere un
osservatore viaggiante lungo la linea per vedere sempre la
stessa fase dell’ onda (ad esempio viaggiando a cavalcioni
di una cresta o in fondo a un ventre).
• La condizione di fase costante e’
ωt − βx + ϕ1 = K
ω −β
• La soluzione in regime sinusoidale e’
V ( x , t ) = A1 e
−αx
Onda progressiva
cos (ω t − β x + ϕ 1 )
+ A 2 e + α x cos (ω t + β x + ϕ 2 )
Onda regressiva
Per l’onda progressiva
ω
v= −
β
Per l’onda regressiva
⇒
v=
ω
β
Velocita’ di fase
positiva per A1
Caso non dissipativo:
• Nel limite di Ru=0 e Gu=0, si calcola facilmente
γ = α + jβ =
⇒
r r
Z u Yu =
(R u
( j ω L u )( j ω C u ) = j ω
β =ω
• Le due onde si propagano nella linea con velocita’
di fase
(β=Im(γ)=Im(sqrt(ZuYu)))
ω
v=
β
dx
=0
dt
d
(ω t − β x + ϕ 1 ) = 0
dt
⇒
+ j ω L u )(G u + j ω C u ) =
Lu C u
1
; τ = Lu C u
Lu C u
V ( x , t ) = A1 cos [ω ( t − x / v ) + ϕ 1 ] +
Lu C u ⇒
v=
+ A 2 cos [ω ( t + x / v ) + ϕ 2 ]
A1
A2
ZG
0
x
L
ZC
Autoinduzione in un cavo coassiale
Coefficiente di autoinduzione L definito
r da :
Esempio:Cavo coassiale RG-58
r
Φ = ∫ B ⋅ ds
Dove Φ è il flusso di B :
Φ = Li
b
S
a
Nel caso di un cavo coassiale percorso da corrente
i il campo all’ interno del cavo è tangenziale, e la
sua intensità a distanza r dall’ asse si ricava dal
teorema della circuitazione:
r
r
∫ B ⋅ dl = μi
r
→ B 2πr = μ i → B(r ) =
μi
2πr
l
dr
Allora si può calcolare il flusso di B attraverso una
superficie rettangolare interna al cavo, lunga l:
r r
μi
Φ = ∫ B ⋅ ds = ∫ B(r )ldr = l
π
2
S
a
b
b
∫
a
dr
μi b
=l
ln
r
2π a
E quindi l’ induttanza per unità di lunghezza è
Lu =
L Φ μ
b
= =
ln
l il 2π a
Caso dissipativo:
Esempio: cavo coassiale RG-58
2πε
⎧
⎪⎪ Cu = ln(b / a)
⇒
⎨
⎪Lu = μ ln(b / a)
2π
⎩⎪
1
1
c
⎧
⎪⎪ v = C L = εμ = ε
u u
R
⎨
⎪R = L / C = 1 μ / ε ln(b / a)
u
u
⎪⎩ o
2π
• Numeri tipici per l’ RG-58:
εR=2, v=c/sqrt(2)
• Cu=100 pF/m
• Ro=50Ω
• v=20cm/ns
τ=5ns/m
• Quindi un cavo di 100m introduce un ritardo di 500 ns.
Lu C u
⎛R
Ru G u
G ⎞
+ j ω ⎜⎜ u + u ⎟⎟ − ω 2
Lu C u
L
⎝ u Cu ⎠
R u G u cioe’ le due costanti di tempo sono uguali,
Quando
=
Lu
Cu
⎛ Ru
⎝ Lu
γ = Lu Cu ⎜⎜
2
⎞
⎛R
⎟⎟ + jω 2⎜⎜ u
⎠
⎝ Lu
⎞
⎟⎟ − ω 2 =
⎠
⎡R
⎤
Lu C u ⎢ u + jω ⎥
L
⎣ u
⎦
E quindi ⎧
L’ attenuazione non
Ru
Cu
= Ru
⇒ dipende da ω
⎪ α = Lu Cu
Lu
Lu
⎪
⎨
La solita,
⎪ β = ω Lu Cu ⇒ v = ω = 1
indipendente
β
⎪
Lu Cu da ω
Tutte le onde⎩componenti il segnale
si propagano nello stesso modo: il segnale non viene distorto.
(Ru + jω Lu )(G u + jω C u )
=
Lu C u
Ru G u
C R
LG
LC
+ jω u u + jω u u − ω 2 u u =
Lu C u
Lu C u
Lu C u
Lu C u
=
Lu C u
⎛R
Ru G u
G ⎞
+ j ω ⎜⎜ u + u ⎟⎟ − ω 2
Lu C u
L
⎝ u Cu ⎠
Caso non distorcente:
γ =
r r
Z u Yu =
γ = α + jβ =
per
G
(R u
γ =
jω C
≅
≅
jω
u
β = ω
α =
2
1 − j
Lu
LuC
R
u
⎛
j ω L u ⎜⎜ 1 +
⎝
+ jω
u
Lu
Cu
2
<< ω L u (e buon isolamento):
)(G u + j ω C u ) ≅
R
+ jω L u
u
C
R
=
Caso di alte frequenze
→ 0 e
u
u
Lu
C u
u
C
⇒
Ru
=
2Ro
u
⎞
⎟⎟ =
⎠
Ru
jω L u
R
u
ω Lu
≅
ω
jω
2
C
u
C
u
⎛
Ru
L u ⎜⎜ 1 − j
ω Lu
⎝
⎛
Ru
L u ⎜⎜ 1 − j
2ω L u
⎝
⎞
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎟⎟ =
⎠
Lu
v =
1
LuC
u
Ro =
Lu
Cu
Impedenza della
Linea, ci serve dopo
Soluzione per la corrente
{
(sinusoidale)
• Dall’ eq. dei telegrafisti
∂V ( x)
1 ∂V ( x)
= − [Z u ]I ( x ) ⇒ I ( x ) = −
=
∂x
Z u ∂x
r
γ r − γx r + γx
1 ∂ r − γx
A1 e + A 2 e + γ x =
A1 e − A 2 e
=−
=
Z u ∂x
Zu
[
]
[
]
r
Z u Yu r − γx
A1 e − A 2 e + γ x =
Zu
=
Zu
e' una impedenza
Yu
[
1
Zu
Yu
]
[
r
r
A1 e − γ x − A 2 e + γ x
]
R u + jω Lu
G u + jω C u
r
Z o = Z o e jψ =
r
⎧ Im( Z o ) ⎫
⎧ ω (G u L u − R u C u ) ⎫
1
r ⎬ =
arctg ⎨
⎬
2
2
Z
Re(
)
⎩ RuG u + ω LuC u ⎭
o ⎭
⎩
ψ = arctg ⎨
• Lo sfasamento e’ nullo
– Per linea non distorcente G u L u = R u C u
– Per linea non dissipativa R u → 0 G u → 0
– Per alte frequenze
jψ
r
Z o →
Lu
C u
r
Zo →
G u << ω C u
R u + jω L u
=
• In tutti questi casi G u + j ω C u
= R
→
Lu
= Ro
Cu
−
]
Onda regressiva
A2 +αx
e
cos (ω t + β x + ϕ 2 − ψ )
Zo
• Da confrontare con:
• Si vede che per ciascuna onda il rapporto tra tensione e
corrente vale Zo. Inoltre c’e’ uno sfasamento -ψ.
• Per segnali non sinusoidali la trattazione si complica molto. Ma abbiamo visto che
almeno nel caso non dissipativo le diverse componenti sinusoidali si propagano tutte
allo stesso modo.
• Studiamo quindi questo caso in generale:
⎧∂V (x, t) ⎡
∂⎤
⎪⎪ ∂x = −⎢Ru + Lu ∂t ⎥I (x, t)
⎣
⎦
⇒
⎨
(
,
)
∂
∂
I
x
t
⎡
⎤
⎪
= −⎢Gu + Cu ⎥V (x, t)
⎪⎩ ∂x
∂t ⎦
⎣
∂I (x, t)
⎧ ∂V (x, t)
⎪ ∂x = −Lu ∂t
⎨∂I (x, t)
∂V (x, t)
⎪
= −Cu
∂t
⎩ ∂x
⎧ ∂2V ( x, t)
∂2 I ( x, t )
L
=
−
2
2
u
⎪⎪ ∂x2
∂x∂t ⇒ ∂ V (x, t) − C L ∂ V (x, t) = 0
⎨ 2
u u
2
2
∂x
∂t 2
⎪∂ I (x, t) = −Cu ∂ V ( x, t)
⎪⎩ ∂x∂t
∂t 2
Equazione delle onde
o
Segnali Impulsivi
Segnali Impulsivi
∂ V ( x, t )
∂ V (x, t )
− Cu Lu
=0
2
∂x
∂t 2
2
• La soluzione generale e’ del tipo
V ( x, t ) = f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) con v =
• Analogamente si trova l’ equazione per I, che ha soluzione
I ( x, t ) = g1 ( x − vt ) + g 2 ( x + vt )
∂V (x, t)
∂I (x, t)
= −Lu
• Sostituendo nella
∂x
∂t
⎧ V (x, t) = f1(x − vt) + f2 (x + vt)
⎪
⎨I (x, t) = 1 ( f (x − vt) − f (x + vt)) dove
1
2
⎪⎩
Ro
+ A 2 e + α x cos (ω t + β x + ϕ 2 )
• Derivando la prima rispetto a x e la seconda rispetto a t:
Lu
= Ro
Cu
• Cioe’ l’ impedenza si riduce a una resistenza.
2
[
Segnali Impulsivi
(sinusoidale)
r
Z o = Z oe
Soluzione
per la corrente
V ( x , t ) = A1 e − α x cos (ω t − β x + ϕ 1 )
Soluzione per la corrente
R u << ω L u
}
r
I ( x , t ) = Re I ( x ) e j ω t =
r
r
⎧ 1
⎫
(sinusoidale)
A1 e − γ x − A 2 e + γ x ⎬
= Re ⎨
jψ
Z
e
⎩ o
⎭
A
I ( x , t ) = 1 e − α x cos (ω t − β x + ϕ 1 − ψ ) +
Zo
Onda progressiva
1
Lu Cu
Si ottiene
1
⎧
⎪ v=
LuCu
⎨
⎪R = L / C
u
u
⎩ o
1
⎧
⎧ V (x, t) = f1(x − vt) + f2 (x + vt)
⎪
⎪ v=
1
LuCu
⎨I (x, t) = ( f (x − vt) − f (x + vt)) dove ⎨
1
2
⎪⎩
⎪R = L / C
Ro
u
u
⎩ o
• Ci aspettiamo quindi le solite onde progressive e regressive
• Ad alte frequenze ci aspettiamo anche che siano attenuate durante la
loro propagazione di exp(-αx).
• Inoltre ci aspettiamo che l’ impedenza della linea (rapporto tra V e I
per ciascuna delle onde) sia Ro.
2πε
⎧
⎪⎪ Cu = ln(D / d )
c
1
1
⇒ v=
=
=
⎨
μ
C
L
εμ
εR
u u
⎪Lu = ln(D / d)
⎪⎩
2π
Segnali Impulsivi
2πε
⎧
⎪⎪ Cu = ln(D / d )
⇒
⎨
⎪Lu = μ ln(D / d )
⎪⎩
2π
c
1
1
⎧
v=
=
=
⎪⎪
Cu Lu
εμ
εR
⎨
1
⎪R = L / C =
μ / ε ln(D / d )
u
u
⎪⎩ o
2π
• Numeri tipici per l’ RG-58:
εR=2, v=c/sqrt(2)
• Cu=100 pF/m
• Ro=50Ω
• v=20cm/s
τ=5ns/m
• Quindi un cavo di 100m introduce un ritardo di 500 ns.
Segnali Impulsivi
• Supponiamo di collegare la linea
ad un generatore con R interna pari Vg
a Rg, e che genera un impulso
ampio Vg per un tempo T.
• Il generatore “vede” un carico di
0
impedenza Ro, almeno finche’ non
arriva l’ onda regressiva dall’ altra
estremita’.
Vg
• Quindi nel punto x=0 a t=0 e per
un tempo2tl=2l/v si ha
1
0
1
Ro
⎧
⎪V ( x = 0, t ) = Vin = Vg R + R
⎪
o
g
⎨
1
⎪ I ( x = 0, t ) = I in = Vg
Ro + Rg
⎩⎪
Linea Adattata
• Al tempo t= tl=l/v il segnale arriva all’ estremita’ opposta della
linea, attenuato di exp(-α l):
⎧V ( x = l , t ) = V out = V in e − α l
⎪
V
⎨
I ( x = l , t ) = out
⎪⎩
Ro
• La seconda deriva dal fatto che c’e’ solo l’ onda progressiva.
• Quello che avviene successivamente dipende da come e’
terminata la linea. Supponiamo che sia chiusa su una resistenza
Rc. Nell’ attimo in cui il segnale arriva all’ estremita’ trova la
resistenza Rc che chiude la linea.
• Se Rc= Ro non c’e’ cambiamento, perche’ V(x,t)/I(x,t)= Ro come
era nella linea. La resistenza Ro assorbe completamente ed
esattamente le tensioni e correnti arrivate in quel punto, e quindi
non parte l’ onda regressiva – non c’e’ riflessione. Si dice che la
linea e’ adattata.
0
1
2 3
4
t= 2tl=2l/v
3 4
t(μs)
Con linea
(adattata)
2
3 4
t(μs)
Linea Aperta
0 = I ( x = l , t ) = I out + I rifl
⇒
I rifl = − I out
e anche Vrifl = Vout
definendo il coefficiente di riflessione Γ =
Vrifl
Vout
si ha in questo caso Γ = 1. Quindi sommando le due onde :
V ( x = l , t = tl ) = Vrifl + Vout = 2Vin e −αl
Linea Aperta
• Quindi all’ ingresso
vedremo un’ onda di
questo genere:
Senza linea
Vg
0 1
Linea aperta
Vg
2
• Se la linea e’ aperta (Rc=infinito) in x= l ci deve
essere sempre I(x= l )=0. Possiamo garantire che
questo avvenga sovrapponendo all’ onda progressiva
che e’ arrivata fin li’ una onda regressiva (riflessa) tale
che le correnti generate dalle due onde si annullino
perfettamente. Avremo quindi
Linea Aperta
• Quest’ onda riflessa comincia a viaggiare indietro
lungo la linea, e al tempo t= 2tl=2l/v arriva all’ ingresso
della linea, attenuata di un ulteriore fattore exp(-αl).
• A t= 2tl la tensione in ingresso sale quindi a Vin + Vin e −2αl
Senza linea
2
t=2tl=2l/v
Arriva l’ “eco”
dell’ impulso
Finisce l’
Impulso
originale
Finisce l’
“eco” dell’ impulso
4
t(μs)
Linea aperta
Vg
Vin + Vin e −2αl
Ro
Vin = Vg
Ro + Rg
t(μs)
3
Vin e −2αl
0 1
2
3
4
t(μs)
Linea Aperta
Linea in corto
• In ogni punto della linea avremo la sovrapposizione di
onda progressiva e onda regressiva: per tl <t< 2tl
V ( x , t ) = Vin e -αl + Vout e −α ( l − x )θ [( t − t l ) − ( l − x ) / v ] =
= Vin e -αl + Vin e −αl e −α ( l − x )θ [( t − t l ) − ( l − x ) / v ] =
{
}
= Vin e -αx + e −α ( 2 l − x )θ [( t − t l ) − ( l − x ) / v ]
• Dove
• Se la linea e’ in corto (Rc=0) in x= l ci deve essere
sempre V(x= l )=0. Possiamo garantire che questo
avvenga sovrapponendo all’ onda progressiva che e’
arrivata fin li’ una onda regressiva (riflessa) tale che le
tensioni generate dalle due onde si annullino
perfettamente. Avremo quindi
0 = V ( x = l , t ) = Vout + Vrifl
e quindi Γ =
θ(z)
1
Vrifl
Vout
⇒
= −1
Quindi sommando le due onde :
0
0
V ( x = l , t = tl ) = Vrifl + Vout = 2Vin e −αl
z
I ( x = l , t = tl ) =
Linea in corto
Vg
1
V
(Vout − Vrifl ) = 2 out
Ro
Ro
Linea in corto
• Quest’ onda riflessa comincia a viaggiare indietro
lungo la linea, e al tempo t= 2tl=2l/v arriva all’ ingresso
della linea: Se non fosse attenuata annullerebbe
perfettamente la tensione del generatore. Ma e’
attenuata un fattore exp(-2αl): Vin − Vin e −2αl
Senza linea
• Quindi all’ ingresso
vedremo un’ onda di
questo genere:
Vg
0 1
1
2 3
4
t=2tl=2l/v
t(μs)
Arriva l’ “eco”
dell’ impulso
t= 2tl=2l/v
Finisce l’
Impulso
originale
• Per Rc qualsiasi ricaviamo il coefficiente di
riflessione imponendo la legge di Ohm per Rc :
V ( x = l, t = t l )
= Rc
I ( x = l, t = t l )
⇒
1 + Γ Rc
=
1 − Γ Ro
• Si verifica facilmente che Γ vale 0 per Rc=Ro, vale
1 per Rc infinita e vale –1 per Rc =0.
• In ingresso
− 2α l
(
V ( x = 0, t = 2 t l ) = Vin 1 + Γ e
3
4
t(μs)
Linea aperta
Ro
Vin = Vg
Ro + Rg
Vin − Vin e −2αl
− Vin e −2αl
0 1
2
3
4
t(μs)
Finisce l’
“eco” dell’ impulso
Misure sulla linea di
Trasmissione
In generale
Vin e −αl + ΓVin e −αl
= Rc
Vin e −αl ΓVin e −αl
−
Ro
Ro
2
Vg
Linea in corto
0
Vrifl = −Vout
)
• Collegare il generatore all’ oscilloscopio (CH1).
• Collegare l’ uscita SYNCHRO del generatore all’
ingresso TRIGGER ESTERNO dell’ oscilloscopio, e
commutare su EXT il selettore del modo di Trigger.
• Utilizzare una frequenza f=50kHz e scegliere l’ onda
quadra.
• Agire sui comandi di ampiezza, offset e duty cycle
in modo da avere una Vg di 5V per 0 < t < 3 μs , 0V
per 3μs < t < 20μs .
• Utilizzare una T per connettere il
segnale dal CH1 dell’
Senza linea
5V
oscilloscopio all’ ingresso della
Vg
linea.
• Connettere l’ altra estremita’ della
linea al CH2 dell’ oscilloscopio,
0 1 2 3 4 t(μs)
con una T in modo da chiudere la
linea con una resistenza da 50Ω
(tappo a 50Ω)
Ro
Vin = Vgen
• Si dovrebbe essere in condizioni di
Ro + Rg
5V
linea adattata (assenza di
riflessioni).
Vin
• Misurare l’ ampiezza del segnale
applicato alla linea Vin.
0 1 2 3 4 t(μs)
• Ricavare Ro supponendo che la Rg
Linea
sia di 50Ω.
adattata
• Togliere il tappo a 50Ω e osservare l’ onda riflessa in
CH1.
• Misurare 2tl ,Vin , V2 ,
• Stimare l’ attenuazione α da
(
V 2 = V in 1 + e − 2α l
)
• Misurare il ritardo tra CH2 e CH1 e da questo
ricavare la velocita’ di propagazione nella linea,
sapendo che la lunghezza e’ di 100m.
CH1
0
2
4
(
VC = Vin 1 + Γe−2αl
)
0
1
2
RC − Ro
Ro + RC
Linea
Chiusa su Rc
VC
Vin
3
4
t(μs)
2
3
4
t(μs)
• Cortocircuitare la linea con un tappo a 0Ω e osservare
l’ onda riflessa in CH1.
• Misurare 2tl ,Vin , V3 ,
• Stimare l’ attenuazione α da
(
V 3 = V in 1 − e − 2α l
CH1
2tl
V3
1
2
3
4
t(μs)
t(μs)
Γ=
2tl
1
Vin
• Connettere un BNC-coccodrillo all’ uscita, e connettere
una resistenza di carico Rc=10, 22, 33, 47, 100, 330 Ω.
Misurare 2tl ,Vin , VC ,
• Stimare Ro per ogni Rc dalle relazioni, e poi fare la
media pesata
CH1
4
Vout
0
0
3
3
Linea
In corto
Vin
1
2
tl
Linea
aperta
V2
0
1
CH2
CH1
2tl
Linea
adattata
Vin
t(μs)
Elaborazioni da presentare all’
esame (basate sui dati presi in
laboratorio)
1. Studio dell’ extratensione in un circuito
RLC serie
2. Misura della resistenza interna dell’
induttanza in un circuito RLC serie
3. Misura dell’ impedenza di una linea di
trasmissione
4. Misura della resistenza interna del
generatore di segnali
)