del bipolo AB disegnato in fig.2

A. A. 2014/2015 Elettrotecnica (Mecc – M-R) –a
PRIMA PROVA INTRACORSO DEL 19/11/14
COGNOME…………………………….. NOME………...……… matricola…………………
ESERCIZIO N.1
Considerati i riferimenti per le intensità di corrente come in fig.1, ed assunta su
tutti i lati (L) della rete la convenzione dell’utilizzatore, si scriva il sistema
fondamentale nella forma
1
Ra
*
A X  B
Ea
2
ia
A
dove X è il vettore colonna delle 2L incognite
(tensioni e intensità di corrente) , A la matrice
dei coefficienti e B il vettore dei termini noti.
Re
ie
Rd
id Rh
Ed
Rf
5
if
A
A
ih
*
Jb
Rg
ib
ig
A
4
*
Ec
Rc
ic
3
Fig.1
La rete ha N=5 nodi propri evidenziati (1,2,3,4,5) e 3 impropri non evidenziati (sui lati a,c,d) che non saranno
considerati trattandosi di bipoli elementari ben noti (generatori reali di tensione) (NB: non sarebbe errato
considerarli; in tal caso sarebbe N=8).
I lati sono 8 (a,b,c,d,e,f,g,h). Il grafo è ridotto (non ci sono parallali tra i nodi propri), ma non completo: mancano
infatti i collegamenti (13,24) che potrebbero essere integrati con bipoli “aperti”; con tale integrazione il numero
dei lati salirebbe a N(N-1)/2=10. Tale integrazione non è ovviamente necessaria in questo primo quesito, ma
risulterà utile per la scrittura della matrice delle conduttanze di cui al quesito 4.
E’ fondamentale (non obbligatoria, ma fortemente consigliata) a questo punto la scelta dell’albero della rete: esso
può essere sequenziale diretto (12345 , 23451, 34512, 45123,51234) o a zigzag (12534, 21535,….) oppure può essere
ramificato (51-52-53-54), o misto (51-52-53-34,…..); si fissa uno qualsiasi di questi percorsi soprattutto per
evidenziare i lati del co-albero e quindi le maglie “indipendenti”; un lievissimo “vantaggio” si ha per gli alberi
sequenziali in quanto la sequenza può individuare automaticamente il nodo “dipendente”.
A titolo di esempio si scelga l’albero 12345 (fig.1.1, dove per comodità sono conservati i riferimenti assunti per le
intensità di corrente), costituito dai rami a,b,c,h; il coalbero è costituito dai lati d,e,f,g.
1
2
ia
Fig.1.1
ie
id
5
A
if
ib
ig
A
ih
A
4
ic
3
E’ indicato nella traccia di scegliere per tutti i lati la convenzione dell’utilizzatore (NB in tal caso il grafo di fig.1.1
diventa un “grafo orientato”). Questa indicazione è fortemente suggerita ma non può essere pensata come
“obbligatoria”.
Il vettore X delle 8x2=16 incognite si configura come:
X =[ia(=i21) ib(=i23) ic(=i43) id(=i14) ie(=i51) if(=i25) ig(=i35) ih(=i54) va(=v21) vb(=v23) vc(=v43) vd(=v14) ve(=v51) vf(=v25) vg(=v35) vh(=v54)]-1
1
A. A. 2014/2015 Elettrotecnica (Mecc – M-R) –a
PRIMA PROVA INTRACORSO DEL 19/11/14
Per ogni nodo, assumendo, ad esempio, un peso (+1) per i riferimenti uscenti delle intensità di correnti, (-1) per i
riferimenti entranti e (0) per i riferimenti non interessati, le equazioni indipendenti ai nodi si scrivono
1) (-1)ia+(0)ib+(0)ic+(+1)id+(-1)ie+(0)if+(0)ig+(0)ih=0
2) (+1)ia+(+1)ib+ (+1)if =0
3) (-1)ib+(-1)ic+(+1)ig =0
4) (+1)ic+(-1)id+ (-1)ih=0
ossia
(-1)ia +(+1)id+(-1)ie+ =0
Per l’appoggio di ogni lato del coalbero (fig.1.1) all’albero si genera una maglia indipendente; si fa un bilancio di
tensioni ricordando che la circuitazione del campo elettrico è nulla lungo un percorso chiuso identificato dalla
maglia “letta” come sequenza (ad esempio oraria) di nodi: daremo un coefficiente (+1) alla tensione incognita se
rispetta la sequenza (vedi doppio pedice), (-1) se non la rispetta, (0) se assente:
lato d), sequenza nodi 12341) (-1)va+(+1)vb+(-1)vc+(-1)vd+(0)ve+(0)vf+(0)vg+(0)vh=0
ossia (-1)va+(+1)vb+(-1)vc+(-1)vd =0
lato e), 123451 : (-1)va+(+1)vb+(-1)vc+(+1)ve+(-1)vh =0
lato f), 23452: (+1)vb+(-1)vc+ (-1)vf+ (-1)vh=0
lato g) 3453: (-1)vc+ (-1)vg+(-1)vh=0
Le equazioni caratteristiche, letti i riferimenti per i generatori, si scrivono come
a) va=Raia+(-1)Ea ossia va-Raia=(-1)Ea
b) ib=-Jb
c) vc-Rcic=Ec
d) vd-Rdid=(-1)Ed
e) ve-Reie=0
f) vf-Rfif=0
g) vg-Rgig=0
h) vh-Rhih=0
Il vettore B si scrive quindi come
B = [0 0 0 0 0 0 0 0 -Ea -Jb Ec –Ed 0 0 0 0]-1
A questo punto è scontata (e quindi non proprio necessario scriverla esplicitamente ) la matrice A dei coefficienti
−1
+1
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑎
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
−1
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
+1
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑐
0
0
0
0
0
+1
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑑
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑒
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑓
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑅𝑔
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑅ℎ
0
0
0
0
−1
−1
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
−1
0
0
0
0
0
0
+1
0
(salvo errori materiali di trascrizione)
2
0
0
0
0
0
−1
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
+1
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ESERCIZIO N.2
R1
I
Costruire il bipolo equivalente di Norton
del bipolo A-B disegnato in fig.2
J1
A
J2
R3
B
* E
Fig.2
Il bipolo equivalente di Norton è il seguente:
I
A
Jcc
Req
B
Fig.2.1
La resistenza equivalente si calcola ai morsetti AB della rete di fig.2 resa passiva, ossia
annullando i valori dei generatori (Req=R1+R3)
R1
I
A
R3
B
Fig.2.2
L’intensità della corrente I valutata in condizioni di cortocircuito definisce Jcc
R1
I=Jcc
A
J1
J2
R3
B
* E
Fig.2.3
Attivando i generatori uno alla volta, si ha
3
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R1
R1
I’=J’cc
I”=J”cc
A
A
J1
J2
R3
R3
B
B
Fig.2.4
Fig.2.5
′
"
′′′
𝐽𝑐𝑐 = 𝐽𝑐𝑐
+ 𝐽𝑐𝑐
+ 𝐽𝑐𝑐
R1
I’”=J’”c
c
A
𝑅3
𝑅1 + 𝑅3
𝐸
+ 𝐽2 +
𝑅1 + 𝑅3
= −𝐽1
R3
B
* E
Fig.2.6
N.B. In fig.2.4 si configura un partitore di corrente (attenzione ai riferimenti presenti), in fig.2.5 la
tensione sulla serie a sinistra è nulla perché imposta dal cortocircuito. Notare che il riferimento I
iniziale non va mai “cambiato”.
4
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ESERCIZIO N.3
Data la matrice
1
G 
0
 0,5  0,5
0
2
1
 0,5  1
3
 0,5  1  1,5
1
 1,5
3
[S]
valutare, se possibile, il poligono completo di resistori che ammetta G come
matrice delle conduttanze
La matrice è simmetrica; i termini della diagonale principale sono non negativi, gi altri non positivi; la
somma per righe e per colonne è nulla
(In altri casi, tali condizioni non sono soddisfatte e quindi non si può parlare di n-polo equivalente).
La presenza di elementi nulli tra le mutue conduttanze, implica un aperto (Grs=0) tra i due poli; se tutti
gli elementi di una riga sono nulli, il polo è isolato.
In questo caso il poligono completo è il seguente
1
2
R13=2Ω
R14=2Ω
R24=1Ω
R34=2/3Ω
R23=1Ω
=2Ω
3
4
Fig.3.1
5
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ESERCIZIO N.4 (facoltativo) Per la rete di fig. 1 scrivere per ispezione la matrice
delle conduttanze utilizzando il metodo dei potenziali nodali
la matrice delle conduttanze [(N-1)x(N-1)] si ottiene semplicemente osservando la rete e
considerando le conduttanze al nodo (autoconduttanze) come somma delle conduttanze dei
rami afferenti al nodo stesso, le mutue come conduttanze del collegamento, cambiate di segno;
ai fini di questo calcolo, i rami sono considerati passivi (se c’è un generatore di corrente, lo si
annulla e la conduttanza del ramo corrispondente è nulla)
Avremo quindi
1
1
 1



 Ra Re Rd
1



Ra


0


1


Rd


1
Ra
1
1

Ra R f
0
0
0
0
1
1

Rc Rg
1

Rc



  1 
0
  
 2
1
 3 

  
Rc
 4
1
1
1 



Rh Rc Rd 

1
Rd
Avendo assunto pari a zero il potenziale del nodo 5.
n.b. Se su un ramo è presente un generatore ideale di tensione, l’intensità di corrente non può essere
ricondotta alle conduttanze e quindi “sfuma” (in prima battuta) l’immediatezza della scrittura della
matrice. Va tuttavia osservato che:
a) il sistema prevede un incognita in più (l’intensità di corrente nel bipolo generatore ideale di tensione),
ma una in meno ( è nota la differenza tra i due potenziali nodali, in particolare, se uno è di riferimento,
anche l’altro è “noto”);
b) uno dei due nodi di collegamento al generatore ideale può essere “soppresso” spaccando il bipolo
originario in due generatori ideali gemelli partenti dall’altro nodo; in questo modo ci troviamo di fronte ad
una rete con un nodo in meno, ma con generatori reali, per cui possiamo ricavare nuovamente la matrice
delle conduttanze per ispezione.
6