Una particella di massa m si muove con velocità v costante (Fig 1).
a) Dimostrare che il momento angolare della particella rispetto ad un qualsiasi polo O
si conserva.
b) Dimostrare che il raggio vettore r descrive aree uguali in tempi uguali.
m
v
r
r
O
Fig. 1
d
v = cost implica che il risultante delle forze, F m v 0 . Ne consegue che il
dt
momento di F rispetto ad O
d
L0
dt
da cui segue che L = cost.
Si arriva allo stesso risultato, più semplicemente, considerando la definizione di
momento angolare
L r m v
Sappiamo che la direzione del vettore L è ortogonale al piano definito da r e mv,
piano che non cambia essendo definito dalla retta d’azione del vettore dal vettore mv
= cost e dal polo fisso O. La costanza del verso della velocità fa sì che anche il verso
di L non cambi (Fig. 2).
m
mv
r
r
L
O
Fig. 2
Infine, il modulo di L è:
L r m v sen mvb
dove è l'angolo tra r e mv e b è il braccio del vettore mv, cioè la distanza del polo O
dalla retta d’azione di mv (Fig. 3).
m
b
O
r
r
mv
L
Fig. 3
b) A partire da un generico istante t, dopo un dato intervallo di tempo t, la particella
si sposta di x=v t ed il raggio vettore descrive il triangolo di base x e lati r(t) ed
r(t+t) (Fig. 4); a partire da un altro istante t', dopo uno stesso intervallo di tempo
t, la particella subisce lo stesso spostamento x=v t; il raggio vettore descrive il
triangolo di base x e lati r'(t') ed r'(t'+t) (Fig. 4). Questi due triangoli hanno area
A eguale avendo stessa base x e stessa altezza b:
x b v t b
A
2
2
Ricordando che L = mvb, l'area descritta dal raggio vettore nell'unità di tempo è:
A v b
L
cos t
t
2
2m
Lo stesso risultato vale per intervalli di tempo infinitesimi dt. La quantità
dA
dt
è denominata velocità areolare. Un altro caso, più importante e famoso, in cui la
velocità areolare è costante è quello del moto di un pianeta attorno al sole. Esso
corrisponde alla seconda legge di Keplero.
x
b
r t A
r
O
Fig. 4
r t t
r
r' t'
r
A
x
r' t' t
r
