condensatori in parallelo

Lezione III
condensatori in parallelo
Q1
C1 
V
Q1
Q2
C2 
V
Q2
Q1  Q2
C
V
V  V
C1 parallelo C2  C1  C2
Q1 + Q2
1/22
Lezione III
condensatori in serie
Q
C1 
V1
V1
Q
C2 
V2
V2
Q
C
V1  V2

 1
1 

C1 serie C2  

 C1 C2 
1
C1C2

C1  C2
2/22
Lezione III
3/22
condensatori
Nel calcolo della capacità del condensatore occorre sommare la
superficie S delle armature di polarità opposta tra loro affacciate
S
a
b
c
3C
S o
C
d
S
a
b
c
2C
d
Lezione III
4/22
Elettricità e materia
La maggior parte della materia è elettricamente neutra, con ugual
numero di cariche positive e negative.
L’elemento costitutivo
della materia neutra è il
dipolo elettrico,
idealizzato come una
coppia (+Q,Q) di cariche
uguali, opposte e
puntiformi a distanza d.
Il momento di dipolo D
P
d
N
E+
E
E
D  Q  NP  coulomb  metro
Per distanze r dal centro del dipolo >3d vale una
legge dell’inverso del cubo della distanza
E ~ ke
D
r3
Lezione III
Elettricità e materia
5/22
La materia può essere apolare  il baricentro della carica positiva
coincide con quello della carica negativa. In tal caso un campo
elettrico esterno induce uno spostamento relativo l dei due baricentri
e un momento di dipolo indotto. Per campi elettrici esterni E molto
minori dei campi elettrici tra cariche atomiche positive e negative
(che sono dell’ordine di 1011 V/m), lo spostamento l e il momento di
dipolo D sono proporzionali al campo esterno E
E=0
E
Induzione di un dipolo
nella materia apolare
(atomo o molecola
sferica con n elettroni)
Per E "piccolo",
l
DE
D  n  e  l (E )
Lezione III
Elettricità e materia
6/22
La molecola d’acqua. La carica effettiva su O2 e H+ è solo una
frazione x~0.4 delle cariche nominali (2e,+e) poiché il legame O-H
(lungo ~0.1 nm) è parzialmente covalente. I due vettori OH formano
un angolo di 104°, la distanza tra i baricentri di cariche positive e
negative è l ~ 0.06 nm e si stima un momento di dipolo elettrico di
circa 7.7(1030) Cm, di poco superiore al valore misurato in fase
vapore.
2x
O
x  0.4
e 1.6(1019) C
l  6(1011) m
l
+x
H
+x
H
Dmisurato  6.24(1030 )C  m  2 xe  l
Lezione III
Elettricità e materia
In assenza di campo E esterno, se le molecole di H2O hanno
orientazione casuale, il momento di dipolo medio è nullo. In
presenza di un campo elettrico esterno E il momento di dipolo D
tende ad orientarsi parallelamente ad E:
E
E
E
Q

Q
D=Qd
Epot= 0
Epot= DE
D
Epot= DEcos
7/22
Lezione III
Elettricità e materia
8/22
Assumiamo come nulla l’energia potenziale del dipolo D
perpendicolare a E. La posizione energeticamente più favorita ha
l’energia potenziale minima (DE) dove, rispetto alla posizione
perpendicolare, la carica positiva si è spostata di d/2 nella direzione
di E e quella negativa di d/2 nella direzione opposta compiendo
ciascuna un lavoro QdE/2=DE/2. Nell’orientazione di minima
energia il dipolo elettrico D è parallelo a E.
Generalizzando per un angolo generico  formato dal dipolo D con
E si ricava l’espressione dell’energia potenziale del dipolo in E:
Epot  D  E   DE cos 
Lezione III
Elettricità e materia
9/22
L’interazione elettrica tende a orientare parallelamente i dipoli
mentre l’agitazione termica tende a disordinarli. Occorre fare un
bilancio tra energia potenziale (DE) e termica (kBT) della
molecola. Se DE>> kBT, tutte le molecole saranno orientate con
D||E; se DE<<kBT , solo una piccola frazione di molecole,
proporzionale a DE/kBT, sarà preferenzialmente orientata con E e
il momento di dipolo medio sarà proporzionale a D DE/kBT.
La materia in cui il momento di dipolo elettrico medio di
atomi/molecole costituenti è diverso da zero si dice polarizzata
elettricamente. La polarizzazione elettrica è indotta da un campo
elettrostatico esterno E ma può esistere anche in assenza di E nei
materiali detti ferroelettrici.
Lezione III
Polarizzazione elettrica
La polarizzazione P è la somma
vettoriale dei momenti di dipolo
diviso il volume che li contiene
P
V D j
V
10/22
 0 per E  0
ED 2

per E " piccolo"
kT
La polarizzazione ha le dimensioni di una densità di carica superficiale
(coulomb/metro2) che indicheremo con 2
2
|D|=2l2h
h
2
l
Lezione III
Polarizzazione elettrica
11/22
Nella materia (dielettrico) all’interno di un condensatore piano carico si
induce una densità superficiale di carica pari alla polarizzazione e di
segno opposto a quella dell'armatura vicina
d
2 2'
E
S
l
2' l2d
2'
2
(  2   2 )
0

( 2  P )
0
Lezione III
Polarizzazione elettrica
12/22
Per campo elettrico “piccolo” e per la maggior parte dei materiali
(esclusi i materiali ferroelettrici) la polarizzazione è proporzionale al
campo elettrico effettivo presente E. La polarizzazione diminuisce il
campo elettrico E0 che si avrebbe in assenza di dielettrico
P   2   0 E
con  = suscettività (adimensionale)
2
2
2
E0
E
 E  E0  E  E 


0
 0 1     0 r  r
Sino a che la polarizzazione è proporzionale al campo elettrico, si
tiene conto della presenza di materia moltiplicando 0 con r. Per
esempio, la capacità del condensatore con dielettrico è
Q  2l 2
l2
C 
  0 r
V E d
d
Lezione III
Condensatore
con dielettrico
parzialmente
inserito tra
armature
quadrate LxL
Condensatore con dielettrico
13/22
r
C1
d
x
Esprimiamo la
capacità totale come
somma dei contributi
del condensatore C1
senza dielettrico e del
condensatore C2 con
dielettrico
C2
Lx
Lx
C1   0
d
LL  x 
C2   0 r
d
0L
x   r L  x 
C  C1  C2 
d
dielettrico
Lezione III
Condensatore con dielettrico
A potenziale V costante l’energia elettrostatica (ossia l’energia
potenziale) diventa minima al crescere di x  si ha una forza che
tende a espellere il dielettrico
CV 2  0 LV 2
 r L   r  1x
EC 

2
2d
dEC  0 LV 2
 r  1
fx  

dx
2d
La forza sul dielettrico è
A potenziale costante il
condensatore tende ad
espellere il dielettrico
C1
d
x
r
C2
Lx
dielettrico
14/22
Lezione III
Condensatore con dielettrico
15/22
A Q costante l’energia del condensatore è minima quando x=0  il
dielettrico è risucchiato nel condensatore
Q2
d Q2
EC 

2C 2 0 L r L   r  1x 
La forza sul dielettrico è
A carica costante il
condensatore tende a
risucchiare il dielettrico
dEC
d Q 2  r  1
fx  

2
dx
2 0 L r L   r  1x 
C1
d
x
r
C2
Lx
dielettrico
Lezione III
Elettricità atmosferica
16/22
IONOSFERA
da 80 km a 500 km
Ionosfera
zona debolmente
 
conducente
 
i temporali
Moto spontaneo
E
scarica
spontanea
1800 coulomb/s

ricaricano
Terra&guscio
 degli ioni
I (scarica)


E'

 
I'
 
Terra
cariche indotte

(I)
“guscio”
conduttore a
50 km
(II)
Lezione III
Densità dell’atmosfera
p(h+dh)
dh
17/22
p   gh
p(h)
pV 
M
M M mol
RT   

p  1.2 kg/m 3 Per p=p0= 105 P
M mol
V
RT
p(h  dh)  p(h)   gdh  
M molg
M gh
pdh  ln p  ln p0  mol
RT
RT
Lezione III
Densità dell’atmosfera
18/22
Equazione barometrica
 M gh 
 h(metri ) 
p  p0 exp   mol   p0 exp  

RT 
8500 


h(km)
p(pascal)
(moli/cm3)
0
105
4(105)
80
8
3.3(109)
500
3(10-21)
1(1030)
A livello del mare vi sono oltre 1024 molecole m3 e l’aria è un
buon isolante elettrico (mezzo dielettrico), in cima alla ionosfera
vi è meno di una molecola per m3 che è per lo più ionizzata.
Lezione III
Elettricità atmosferica
Ionosfera e atmosfera
sottostante si
comportano come un
guscio conduttore
distante circa 50 km
dalla superficie della
Terra
19/22
Ionosfera


V~0.4 MV
<E>~8V/m
E~100V/m

Terra
 
V
V  4(10 )V  E 
 8 V/m
R
5
4 0 RT2
C
 90 mF  energia ~ 7 GJ
R
Lezione III
Elettricità atmosferica

D

 


A

C

B

D

 
A


C

B
La goccia grossa scende più velocemente di ioni e delle
piccole particelle cariche catturando prevalentemente le
cariche negative incontrate lungo la discesa.
20/22
Lezione III
Elettricità atmosferica
nuvola
    

      
scarica-guida
parafulmine
cariche indotte dalla nuvola
Terra
La carica positiva resta nella parte alta della nuvola mentre il
suo fondo si carica negativamente; per induzione la terra vicina
si carica positivamente e il campo elettrico qui cresce sino alla
rottura dell'isolante aria
21/22
Lezione III
Elettricità atmosferica
22/22
La punta del parafulmine ha una densità di carica molto maggiore
della superficie terrestre (effetto “punta”) e quindi il campo elettrico
nelle sue prossimità è molto maggiore. Il parafulmine è ricoperto da
metallo resistente a ossidazione e corrosione (Ni, Cr…). A volte la
punta del parafulmine contiene una sostanza radioattiva che ionizza
debolmente l’aria circostante favorendo la formazione di “scariche
guida” che si diramano dal parafulmine.
Il fulmine vero e proprio consiste di una successione di alcune
scariche intense e brevi lunga la linea tracciata dalla scarica guida. Il
tuono è prodotto dal riscaldamento dell’aria in prossimità del
tracciato del fulmine con conseguente espansione e onda di pressione.