Prova in itinere 06/07

FACOLTÀ DI INGEGNERIA - SEDE DI MODENA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA
PROVA IN ITINERE DI ”MECCANICA RAZIONALE A”
- a.a. 2006/07, venerdi 24/11/2006 PROVA A
Domande di teoria
1) Teorema di Mozzi:
enunciato e dimostrazione (punti 8);
2) Teorema di riduzione di un sistema di forze mediante operazioni elementari: a) enunciato;
b) definizione delle operazioni elementari; c) dimostrazione del teorema. (punti 8)
3) Forza risultante: a) definizione; b) quand’è che esiste?
di forze conosce che ammettono la risultante? (punti 4)
c) quali sistemi particolari
Esercizio 1 (punti 8)
Si consideri il corpo rigido piano C, ottenuto
saldando assieme la lamina rettangolare R ´
HKLM e l’asta OA, entrambe omogenee, di
massa m e 2m rispettivamente, con OA =
OH = 2ℓ e HK = OM = ℓ. Scelto il sistema
di riferimento Oxyz con Ox e Oy come in
figura, si chiede di determinare:
a) la matrice d’inerzia di C rispetto al riferimento Oxyz;
b) il momento d’inerzia di C rispetto alla retta OG , essendo G il baricentro di C.
Esercizio 2 (punti 4)
Qual è lo stato cinetico di un corpo rigido all’istante t0 se in tale istante il suo punto
A´ (¡1, 2, 0) ha velocità v A = j¡2 k e il suo vettore velocità angolare è ω = 3 i¡2 j¡ k ?
Calcolarne l’asse di istantanea rotazione o l’asse di Mozzi a seconda che lo stato cinetico
risulti di rotazione o elicoidale.
Esercizio 3 (punti 3)
Si consideri la forza
(P, F = 2 y 2 i + 4 x y j) .
a) è conservativa (motivando la risposta)? Se si, si scriva il potenziale U (x, y);
b) si calcoli il lavoro della forza quando P si sposta muovendosi
in verso antiorario sulla
√
√
2
2
circonferenza di centro O e raggio 1 da A ´ (1, 0) a B ´ ( 2 , 2 ).
FACOLTÀ DI INGEGNERIA - SEDE DI MODENA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA
PROVA IN ITINERE DI ”MECCANICA RAZIONALE A”
- a.a. 2006/07, venerdi 24/11/2006 PROVA B
Domande di teoria
1) Base e rulletta: a) definizioni e proprietà; b) ricavare le equazioni parametriche della
rulletta. (punti 8)
2) Sistemi di forze parallele: a) studiarli alla luce del teorema di equivalenza dei sistemi
di forze; b) cos’è il centro delle forze parallele? come si determina? c) esiste il centro
di due forze parallele? se si, dire qual è. (punti 8)
3) velocità ed accelerazione di trascinamento:
utile ai fini del calcolo. (punti 4)
a) definizione a parole; b) loro espressione
Esercizio 1 (punti 8)
Si consideri il corpo rigido piano C, ottenuto saldando
assieme la lamina rettangolare R ´ HKLM e l’asta
OA, entrambe omogenee, di massa 3m e m rispettivamente, con OA = OH = 2ℓ e OM = HK = ℓ. Scelto
il sistema di riferimento Oxyz con Ox e Oy come in
figura, si chiede di determinare:
a) la matrice d’inerzia di C rispetto ad Oxyz;
c) il momento d’inerzia di C rispetto alla retta OG ,
essendo G il baricentro di C .
Esercizio 2 (punti 4)
Qual è lo stato cinetico di un corpo rigido all’istante t0 se in tale istante il suo punto
A´ (1, 0, 1) ha velocità v A = 2 i+k e il suo vettore velocità angolare è ω = ¡2 i+3 j+4 k ?
Calcolarne l’asse di istantanea rotazione o l’asse di Mozzi a seconda che lo stato cinetico
risulti di rotazione o elicoidale.
Esercizio 3 (punti 3)
Si consideri la forza
1 2
x j) .
2
a) è conservativa (motivando la risposta)? Se si, si scriva il potenziale U (x, y);
(P, F = x y i +
b) si calcoli il lavoro della forza quando P si sposta muovendosi
in verso orario sulla
√
√
circonferenza di centro O e raggio 1 da A ´ (1, 0) a B ´ ( 22 , ¡ 22 ).
SVOLGIMENTO ESERCIZI
PROVA A
Esercizio 1 (punti 8)
Si consideri il corpo rigido piano C, ottenuto
saldando assieme la lamina rettangolare R ´
HKLM e l’asta OA, entrambe omogenee, di
massa m e 2m rispettivamente, con OA =
OH = 2ℓ e HK = OM = ℓ. Scelto il sistema
di riferimento Oxyz con Ox e Oy come in
figura, si chiede di determinare:
a) la matrice d’inerzia di C rispetto al riferimento Oxyz;
b) il momento d’inerzia di C rispetto alla retta OG , essendo G il baricentro di C.
Osserviamo innanzitutto che i baricentri G1 della lamina R, G2 dell’asta e G del corpo
rigido C sono i seguenti:
G1 ´ ¡ 2ℓ , ¡ 2ℓ ,
G2 ´ (0 , ℓ) ,
G ´ ¡ 6ℓ , 2ℓ .
a) Utilizzando i risultati visti sulle lamine rettangolari omogenee, il teorema di Huyghens
e il teorema sulla trasposione dei momenti di deviazione, tenendo anche conto che i momenti di deviazione B ′ e C ′ sono nulli, si ha:

AO (R) = 13 mℓ2




2
1

BO (R) = 12
m(3ℓ)2 + m 2ℓ = mℓ2


CO (R) = AO (R) + BO (R) = 43 mℓ2


 ′
AO (R) = m ¡ 2ℓ ¡ 2ℓ = 14 mℓ2
Per quanto riguarda l’asta OA, i suoi momenti di deviazione sono chiaramente tutti nulli,
come è nullo il momento rispetto BO (OA). Si ha quindi:

AO (OA) = 13 (2m)(2ℓ)2 = 83 mℓ2



 B (OA) = 0
O

CO (OA) = AO (OA) = 83 ℓ2


 ′
AO (OA) = 0 .
Si ha quindi

3mℓ2

1
JO = 
 ¡ mℓ2
4
0
1
¡ mℓ2
4
mℓ2
0
0
0
4mℓ2


.

b) La retta OG ha equazione y = ¡3x . I suoi coseni direttori sono pertanto
1
3
α = p , β = ¡p .
10
10
Il momento d’inerzia rispetto alla retta vale dunque:
3 27
1
9
1
IOG = Aα2 + Bβ 2 ¡ 2A′ αβ = 3 mℓ2 ¢
+ mℓ2 ¢
¡ 2 m ℓ2 ¢ ¡
=
mℓ2 .
10
10
4
10
20
Esercizio 2 (punti 4)
Qual è lo stato cinetico di un corpo rigido all’istante t0 se in tale istante il suo punto
A´ (¡1, 2, 0) ha velocità v A = j¡2 k e il suo vettore velocità angolare è ω = 3 i¡2 j¡ k ?
Calcolarne l’asse di istantanea rotazione o l’asse di Mozzi a seconda che lo stato cinetico
risulti di rotazione o elicoidale.
L’invariante dello stato cinetico vale:
I = v A ¢ ω = (j ¡ 2 k) ¢ (3 i ¡ 2 j ¡ k) = ¡2 + 2 = 0
Ne consegue che lo stato cinetico è rotatorio. Ne calcoliamo l’asse di rotazione, che è il
luogo geometrico dei punti aventi velocità nulla. Indicato con P (x, y, z) un generico punto
dello spazio, abbiamo
i
j
k v P = v A +ω£(P ¡A) = j¡2 k+ 3
¡2 ¡1 = (y¡2z¡2)i+(¡x¡3z)j+(2x+3y¡4)k .
x + 1 y ¡ 2 z Imponendo che v P = 0 si ottengono le equazioni dell’asse di rotazione:


 y ¡ 2z ¡ 2 = 0
y ¡ 2z = 2
vP = 0
=)
¡x ¡ 3z = 0
=)

x + 3z = 0 .

2x + 3y ¡ 6 = 0
La terza equazione è stata eliminata essendo una combinazione lineare delle prime due.
Esercizio 3 (punti 3)
Si consideri la forza
(P, F = 2 y 2 i + 4 x y j) .
a) è conservativa (motivando la risposta)? Se si, si scriva il potenziale U (x, y);
b) si calcoli il lavoro della forza quando P si sposta muovendosi
in verso antiorario sulla
√
√
2
2
circonferenza di centro O e raggio 1 da A ´ (1, 0) a B ´ ( 2 , 2 ).
a) La forza è conservativa essendo
∂Fx
∂Fy
=
. Infatti:
∂y
∂x
∂
∂Fx
=
(2 y2 ) = 4y ,
∂y
∂y
Il potenziale è:
∂Fy
∂
=
(4 x y) = 4y .
∂x
∂x
U (x, y) = 2 x y 2 + U ∗ .
c) Essendo la forza conservativa, il lavoro non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti
iniziale e finale, ovvero
p p p
2
2
2
LAB = U (B) ¡ U (A) = U
,
¡ U (1, 0) =
2
2
2
ESERCIZI PROVA B
Esercizio 1 (punti 8)
Si consideri il corpo rigido piano C, ottenuto saldando
assieme la lamina rettangolare R ´ HKLM e l’asta
OA, entrambe omogenee, di massa 3m e m rispettivamente, con OA = OH = 2ℓ e OM = HK = ℓ. Scelto
il sistema di riferimento Oxyz con Ox e Oy come in
figura, si chiede di determinare:
a) la matrice d’inerzia di C rispetto ad Oxyz;
c) il momento d’inerzia di C rispetto alla retta OG ,
essendo G il baricentro di C .
Osserviamo innanzitutto che i baricentri G1 della lamina R, G2 dell’asta e G del corpo
rigido C sono i seguenti:
G2 ´ (0 , ¡ℓ) ,
G ´ 38 ℓ , 8ℓ .
G1 ´ 2ℓ , 2ℓ ,
a) Utilizzando i risultati visti sulle lamine rettangolari omogenee, il teorema di Huyghens
e il teorema sulla trasposione dei momenti di deviazione, tenendo anche conto che i momenti di deviazione B ′ e C ′ sono nulli, si ha:

AO (R) = 13 (3m)ℓ2 = m ℓ2




 B (R) = 1 3m(3ℓ)2 + 3 m ℓ 2 = 3 mℓ2
O
12
2

 CO (R) = AO (R) + BO (R) = 4 mℓ2


 ′
AO (R) = 3 m 2ℓ 2ℓ = 34 m ℓ2
Per quanto riguarda l’asta OA, i suoi momenti di deviazione sono chiaramente tutti nulli,
come è nullo il momento rispetto BO (OA). Si ha quindi:

AO (OA) = 13 m(2ℓ)2 = 43 mℓ2



 B (OA) = 0
O
 CO (OA) = AO (OA) = 43 mℓ2


 ′
AO (OA) = 0 .
Si ha quindi
 7
mℓ2
 3
 3
2
JO = 
 ¡ 4 mℓ

0
3
¡ mℓ2
4
3 m ℓ2
0
0
0
16
m ℓ2
3



.


x
. I suoi coseni direttori sono pertanto
3
3
1
α= p , β= p .
10
10
Il momento d’inerzia rispetto alla retta vale dunque:
3 39
7
9
1
3
IOG = Aα2 + Bβ 2 ¡ 2A′ αβ = mℓ2 ¢
+ 3mℓ2 ¢
¡ 2 m ℓ2 ¢
=
mℓ2 .
3
10
10
4
10
20
b) La retta OG ha equazione y =
Esercizio 2 (punti 4)
Qual è lo stato cinetico di un corpo rigido all’istante t0 se in tale istante il suo punto
A´ (1, 0, 1) ha velocità v A = 2 i+k e il suo vettore velocità angolare è ω = ¡2 i+3 j+4 k ?
Calcolarne l’asse di istantanea rotazione o l’asse di Mozzi a seconda che lo stato cinetico
risulti di rotazione o elicoidale.
L’invariante dello stato cinetico vale:
I = v A ¢ ω = (2 i + k) ¢ (¡2 i + 3 j + 4 k) = ¡4 + 4 = 0
Ne consegue che lo stato cinetico è rotatorio. Ne calcoliamo l’asse di rotazione, che è il
luogo geometrico dei punti aventi velocità nulla. Indicato con P (x, y, z) un generico punto
dello spazio, abbiamo
i
j
k v P = v A + ω £ (P ¡ A) = +2 i + k + ¡2
3
4 =
x¡ 1 y z ¡1
= (¡4y + 3z ¡ 1)i + (4x + 2z ¡ 6)j + (¡3x ¡ 2y + 4)k .
Imponendo che v P = 0 si ottengono le equazioni dell’asse di rotazione:


 ¡4y + 3z ¡ 1 = 0
¡4y + 3z = 1
vP = 0
=)
4x + 2z ¡ 6 = 0
=)

2x + z = 3 .

¡3x ¡ 2y + 4 = 0
La terza equazione è stata eliminata essendo una combinazione lineare delle prime due.
Esercizio 3 (punti 3)
Si consideri la forza
1 2
x j) .
2
a) è conservativa (motivando la risposta)? Se si, si scriva il potenziale U (x, y);
(P, F = x y i +
b) si calcoli il lavoro della forza quando P si sposta muovendosi
in verso antiorario sulla
√
√
2
2
circonferenza di centro O e raggio 1 da A ´ (1, 0) a B ´ ( 2 , 2 ).
a) La forza è conservativa essendo
∂Fx
∂Fy
=
. Infatti:
∂y
∂x
∂Fx
∂
=
(x y) = x ,
∂y
∂y
∂Fy
∂ 1 2
=
x = x.
∂x
∂x 2
1 2
x y + U ∗.
2
c) Essendo la forza conservativa, il lavoro non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti
iniziale e finale, ovvero
p
p p
2
2
2
LAB = U (B) ¡ U (A) = U
,¡
¡ U (1, 0) = ¡
2
2
8
Il potenziale è:
U (x, y) =