Compito n. 7 (relativo alle lezioni del 5/11 e 6/11)

Corso di Elementi di Inferenza Statistica
Docente: D. Vistocco
Compiti a casa – VII Traccia
ESERCIZIO 1
Si consideri la funzione di verosimiglianza per un modello di Bernoulli:
n
∑ xi
L(θ)= f ( x ; θ)=θ
i= 1
n
( n−∑ xi )
(1−θ)
i= 1
dove con n si è indicato la dimensione del campione, con x il numero di successi nel campione e con
la probabilità di ottenere un
successo.
●
Scrivere una funzione (usando il comando function) che prende in input , x ed n e calcoli la funzione di verosimiglianza per il
modello di Bernoulli
●
Rappresentare sullo stesso grafico la funzione di verosimiglianza per un campione di dimensione 100 ipotizzando di osservare i
seguenti successi:
○
●
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Si rappresenti sullo stesso grafico la funzione di verosimiglianza nel caso in cui la proporzione di successi sia pari a 0.8 per le
seguenti numerosità:
○
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
SUGGERIMENTO: utilizzare la funzione di verosimiglianza normalizzata
ESERCIZIO 2
La funzione di log-verosimiglianza è definita come il logaritmo della funzione di verosimiglianza.
●
Scrivere una funzione (usando il comando function) che prende in input
●
Rappresentare sullo stesso grafico la funzione di log-verosimiglianza per un campione di dimensione 100 ipotizzando di
, x ed n e calcoli la funzione di log-verosimiglianza
osservare i seguenti successi:
○
●
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Si rappresenti sullo stesso grafico la funzione di log-verosimiglianza nel caso in cui la proporzione di successi sia pari a 0.8 per
le seguenti numerosità:
○
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
SUGGERIMENTO 1: utilizzare la funzione di log-verosimiglianza normalizzata
SUGGERIMENTO 2: attenzione alle proprietà dei logaritmi quando si effettua la normalizzazione
ESERCIZIO 3
●
Cosa è possibile desumere dal confronto dei grafici della funzione di verosimiglianza e log-verosimiglianza? (motivare la
risposta)
Facoltà di Economia
Università degli Studi di Cassino – a.a. 2012/13
1
Corso di Elementi di Inferenza Statistica
Docente: D. Vistocco
Compiti a casa – VII Traccia
ESERCIZIO 4
Sia X una v.c. esponenziale negativa. Allora la sua funzione di densità di probabilità in x può essere scritta come:
f ( x )=λ e−λ x
λ>0
con
QUESITI TEORICI
1.
Scrivere la formulazione analitica della funzione di verosimiglianza per un generico campione di n osservazioni
2.
Scrivere la formulazione analitica della funzione di log-verosimiglianza per un generico campione di n osservazioni
3.
Derivare la stima di massima verosimiglianza per il parametro
λ
a partire dalla funzione di log-verosimiglianza definita al
punto 2
λ
4.
Derivare analiticamente l'informazione attesa di Fisher per il parametro
5.
Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto 3 e 4 alla luce di quanto noto sui momenti della v.c. esponenziale negativa.
QUESITI PRATICI (da svolgere in R)
Il tempo (in minuti) che intercorre tra l'arrivo di un campione di 10 macchine al casello autostradale di Cassino nella fascia oraria 10:00 –
15:00 è pari:
0.13
1.
0.03
0.14
0.07
0.02
0.04
0.04
0.16
0.17
0.35
Scrivere una funzione in R che calcoli la funzione di densità della v.c. esponenziale e rappresentare sul grafico tale funzione con
linee di colore diverso per i seguenti valori del parametro
λ={6, 7,8,9 e 10 }
2.
Costruire la funzione di verosimiglianza per tale campione di osservazioni
3.
Costruire la funzione di log-verosimiglianza per tale campione di osservazioni
4.
Rappresentare sullo stesso grafico, usando linee di colore e/o tipo diverso, le due funzioni di log-verosimiglianza costruite al
punto precedente
λ
5.
Calcolare il valore numerico della stima di massima verosimiglianza per il parametro
6.
Calcolare il valore numerico dell'informazione osservata di Fisher quando la parametrizzazione è scritta in termini di
Facoltà di Economia
Università degli Studi di Cassino – a.a. 2012/13
λ
2