I I ------L---------- 1 I I I I I A e '/ene11c cleup editore ·cv: IVO e e \ o Adelchi Azzalini - Romano Vedaldi Introduzione all'inferenza statistica parametrica CENTRO <• G. ASTENGO " cleup editore INVENTARIO ?__8.f:,S' INDICE PREFAZIONE INTRODUZIONE l. CONCETTI GENERALI 2. VEROSIMIGLIANZA 5 3. ALCUNI PROBLEMI TIPICI 6 4. MODELLO NON COMPLETAMENTE SPECIFICATO 10 5. PRINCIPIO DEL CAMPIONAMENTO RIPETUTO 12 CAPITOLO 1 RICHIAMI E COMPLEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA' 1.1 1.1.l 1.1.2 1.1.3 DISUGUAGLIANZE Disuguaglianza di Chebyshev Disuguaglianza di Schwarz Convessità e Disuguaglianza di Jensen ALCUNE IMPORTANTI DISTRIBUZIONI UNIVARIATE CONTINUE l . 2. l La Distribuzione Normale l. 2. 2 La Distribuzione Uniforme l. 2. 3 La Distribuzione Gamma 19 19 20 21 l.2 25 25 26 27 VIII 1.2.4 La Distribuzione Esponenziale l .2.5 La Distribuzione Beta 1.2.6 La Distribuzione di Cauchy 29 31 1.3 ALCUNE IMPORTANTI DISTRIBUZIONI UNIVARIATE DISCRETE 1.3. l La Distribuzione Binomiale 1.3.2 La Distribuzione Ipergeometrica 1.3.3 La Distribuzione di Poisson 1.3.4 La Distribuzione Binomiale Negativa e e la Distribuzione Geometrica 33 VETTORI CASUALI, GENERALITA' 1.4.l Richiami di Teoria delle Matrici 1.4.2 Vettori Casuali 1.4.3 Alcune Proprietà Generali 35 35 36 38 1.4 1.5 1.. 5.l l .5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 l .5.8 1.5.9 DISTRIBUZIONE NORMALE MULTIVARIATA E FORME QUADRATICHE Definzione Funzione di Densità Funzione Caratteristica Distribuzioni Marginali Distribuzioni Condizionate Distanza di Mahalanobis La Distribuzione Chi-quadrato Chi-quadrato non Centrale Teorema di Fisher-Cochran 31 31 32 33 40 40 41 44 44 45 47 48 49 50 1.5.10 Distribuzione della Media e della Varianza Campionaria 51 1.5. 11 Le distribuzioni te F 52 IX 1.6 1.6 . l 1.6.2 1.6.3 LA DISTRIBUZIONE MULTINOMIALE Definizione e Funzione di Probabilità Alcune Semplici Proprietà Funzione Caratteristica e Momenti STATISTICHE ORDINATE 1. 7. l Definizione 1. 7. 2 Distribuzione del Minimo e del Massimo 1. 7. 3 Di stri buz ione Congiunta di più Statisti che Ordinate 1. 7. 4 Funzione di Ripartizione Empirica 56 56 57 58 1. 7 1.8 1.8. l 1. 8. 2 l .8.3 1.8.4 SUCCESSIONI DI VARIABILI CASUALI Definizioni Teoremi Ordine in Probabilità Sviluppi in Serie Stocastici 59 59 60 61 63 64 66 71 CAPITOLO 2 VEROSIMIGLIANZA E STATISTICHE SUFFICIENTI 2. l MODELLO STATISTICO PROBABILISTICO 2.2 FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA 2.2. l Definizione 2.2.2 Commenti 2.2.3 Verosimiglianze Equivalenti 2.2.4 Principio di Verosimiglianza 2.2.5 Esempi 2.3 STATISTICHE SUFFICIENTI 2.3.l Generalità 2.3.2 Principali Proprietà 75 76 76 76 77 78 79 80 83 X 2.3.3 Statistiche Sufficienti Minimali 2.3.4 Esempi 88 2.4 FAMIGLIE ESPONENZIALI 93 2.5 ALCUNI RISULTATI INTERESSANTI 97 ESERCIZI 90 100 CAPITOLO 3 STIMA PUNTUALE 3. 1 3. 1. l 3. 1. 2 3.1.3 3. l. 4 INTRODUZIONE Definizione Osservazioni Esempi Proprietà di Equivarianza 3.2 EQUAZIONI DI VEROSIMIGLIANZA 3.2. l Log-Verosimiglianza 3.2.2 Equazioni di Verosimiglianza 3.2.3 Esempi 3.3 103 103 104 105 110 112 113 114 3.3. l 3.3.2 3. 3. 3 3.3.4 3.3 .5 3.3.6 3.3.7 INFORMAZIONE DI FISHER E DISUGLIANZA DI RAO-CRAMER Informazione Osservata di Fisher Problemi Regolari di Stima Informazione Attesa di Fisher Disuguaglianza di Rao-Cramér Esempi Efficienza Superefficienza 133 134 3.4 3.4.l PROPRIETA' DELLE SMV Osservazione 135 122 124 126 128 130 XI 3.4.2 Definizione 3.4.3 Commenti 3.4.4 Consistenza Forte della SMV 136 137 138 3.4.5 Distribuzione Asintotica della SMV 3.4.6 Efficienza del Secondo Ordine 3.4.7 Massima Verosimiglianza e Famiglie Esponenziali 3.4.8 Principio di Condizionamento e Statistj_ che Ausiliarie 3.4.9 Ancora sulla Informazione Osservata di Fisher ESERCIZI 140 143 144 146 150 153 CAPITOLO 4 VERIFICA D'IPOTESI E STIMA INTERVALLARE 4.1 VERIFICA D'IPOTESI, GENERALITA' 4.1.1 Descrizione del Problema 4. 1.2 Il Test Statistico 4.1.3 Test con a Assegnato 4.2 157 157 159 161 TRE TEST CONNESSI ALLA VEROSIMIGLIANZA 4.2.l Rapporto di Verosimiglianza 4.2.2 Lemma Fondamentale di Neyrnan e Pearson 4.2.3 Tre Test Connessi alla Verosimiglianza 163 164 166 4.3 TEST DEL RAPPORTO DI VEROSIMIGLIANZA 4.3.l Definizione 4.3.2 Distribuzione Asintotica del TRV 4.3.3 Co~troesempio 4.3.4 Livello di Significatività Osservato 170 171 173 174 XII 4.4 4.4.l IMPORTANTI ESEMPLIFICAZIONI Test t di Student ad un Campione (Bilaterale) 176 4.4.2 Test t di Student ad un Campione (Uni 1atera le) 4.4.3 Test t Student a 2 Campioni (Bilaterale) 4.4.4 Analisi della Varianza ad un cri terio (Effetti Fissi) 4.4.5 Verifica d'Ipotesi per v.c. Multi nomi a le 4.4.6 Tabelle di Contingenza 178 179 181 184 186 188 4.5 STIMA INTERVALLARE 4.5. l Quantità Pivot 4.5.2 Approccio di Neyman 4.5.3 In Pratica 189 190 193 196 ESERCIZI CAPITOLO 5 MODELLO LINEARE 5. l INTRODUZIONE 203 5.2 DEFINIZIONE DI MODELLO LINEARE 205 5.3 CASO A (Ipotesi di Normalità) 5. 3. l Stima di ~· e a 2 5.3.2 Interpretazione Geometrica 5.3.3 Sufficienza di ~· e &2 5.3.4 Distribuzione degli Stimatori ~· e &2 207 208 209 210 XIII 5.3.5 5.3.6 5.3.7 5.3.8 Esempio Verifica d'Ipotesi, Generalità L'Ipotesi Nulla Il Modello Ridotto 212 214 217 218 5.3.9 La Forma Canonica 5.3. 10 In Pratica 223 224 5.4 5.4. l 5.4.2 CASO B Il Principio dei Minimi Quadrati Proprietà di~' 225 227 ESERCIZI 230 tshlutc L. 22.000 Servi