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Adelchi Azzalini - Romano Vedaldi
Introduzione all'inferenza
statistica parametrica
CENTRO <• G. ASTENGO "
cleup editore
INVENTARIO
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INDICE
PREFAZIONE
INTRODUZIONE
l. CONCETTI GENERALI
2. VEROSIMIGLIANZA
5
3. ALCUNI PROBLEMI TIPICI
6
4. MODELLO NON COMPLETAMENTE SPECIFICATO
10
5. PRINCIPIO DEL CAMPIONAMENTO RIPETUTO
12
CAPITOLO 1
RICHIAMI E COMPLEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA'
1.1
1.1.l
1.1.2
1.1.3
DISUGUAGLIANZE
Disuguaglianza di Chebyshev
Disuguaglianza di Schwarz
Convessità e Disuguaglianza di Jensen
ALCUNE IMPORTANTI DISTRIBUZIONI UNIVARIATE CONTINUE
l . 2. l La Distribuzione Normale
l. 2. 2 La Distribuzione Uniforme
l. 2. 3 La Distribuzione Gamma
19
19
20
21
l.2
25
25
26
27
VIII
1.2.4 La Distribuzione Esponenziale
l .2.5 La Distribuzione Beta
1.2.6 La Distribuzione di Cauchy
29
31
1.3
ALCUNE IMPORTANTI DISTRIBUZIONI UNIVARIATE DISCRETE
1.3. l La Distribuzione Binomiale
1.3.2 La Distribuzione Ipergeometrica
1.3.3 La Distribuzione di Poisson
1.3.4 La Distribuzione Binomiale Negativa e
e la Distribuzione Geometrica
33
VETTORI CASUALI, GENERALITA'
1.4.l Richiami di Teoria delle Matrici
1.4.2 Vettori Casuali
1.4.3 Alcune Proprietà Generali
35
35
36
38
1.4
1.5
1.. 5.l
l .5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
l .5.8
1.5.9
DISTRIBUZIONE NORMALE MULTIVARIATA E
FORME QUADRATICHE
Definzione
Funzione di Densità
Funzione Caratteristica
Distribuzioni Marginali
Distribuzioni Condizionate
Distanza di Mahalanobis
La Distribuzione Chi-quadrato
Chi-quadrato non Centrale
Teorema di Fisher-Cochran
31
31
32
33
40
40
41
44
44
45
47
48
49
50
1.5.10 Distribuzione della Media e della Varianza
Campionaria
51
1.5. 11 Le distribuzioni te F
52
IX
1.6
1.6 . l
1.6.2
1.6.3
LA DISTRIBUZIONE MULTINOMIALE
Definizione e Funzione di Probabilità
Alcune Semplici Proprietà
Funzione Caratteristica e Momenti
STATISTICHE ORDINATE
1. 7. l Definizione
1. 7. 2 Distribuzione del Minimo e del Massimo
1. 7. 3 Di stri buz ione Congiunta di più Statisti
che Ordinate
1. 7. 4 Funzione di Ripartizione Empirica
56
56
57
58
1. 7
1.8
1.8. l
1. 8. 2
l .8.3
1.8.4
SUCCESSIONI DI VARIABILI CASUALI
Definizioni
Teoremi
Ordine in Probabilità
Sviluppi in Serie Stocastici
59
59
60
61
63
64
66
71
CAPITOLO 2
VEROSIMIGLIANZA E STATISTICHE SUFFICIENTI
2. l
MODELLO STATISTICO PROBABILISTICO
2.2
FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA
2.2. l Definizione
2.2.2 Commenti
2.2.3 Verosimiglianze Equivalenti
2.2.4 Principio di Verosimiglianza
2.2.5 Esempi
2.3
STATISTICHE SUFFICIENTI
2.3.l Generalità
2.3.2 Principali Proprietà
75
76
76
76
77
78
79
80
83
X
2.3.3 Statistiche Sufficienti Minimali
2.3.4 Esempi
88
2.4
FAMIGLIE ESPONENZIALI
93
2.5
ALCUNI RISULTATI INTERESSANTI
97
ESERCIZI
90
100
CAPITOLO 3
STIMA PUNTUALE
3. 1
3. 1. l
3. 1. 2
3.1.3
3. l. 4
INTRODUZIONE
Definizione
Osservazioni
Esempi
Proprietà di Equivarianza
3.2
EQUAZIONI DI VEROSIMIGLIANZA
3.2. l Log-Verosimiglianza
3.2.2 Equazioni di Verosimiglianza
3.2.3 Esempi
3.3
103
103
104
105
110
112
113
114
3.3. l
3.3.2
3. 3. 3
3.3.4
3.3 .5
3.3.6
3.3.7
INFORMAZIONE DI FISHER E DISUGLIANZA DI
RAO-CRAMER
Informazione Osservata di Fisher
Problemi Regolari di Stima
Informazione Attesa di Fisher
Disuguaglianza di Rao-Cramér
Esempi
Efficienza
Superefficienza
133
134
3.4
3.4.l
PROPRIETA' DELLE SMV
Osservazione
135
122
124
126
128
130
XI
3.4.2 Definizione
3.4.3 Commenti
3.4.4 Consistenza Forte della SMV
136
137
138
3.4.5 Distribuzione Asintotica della SMV
3.4.6 Efficienza del Secondo Ordine
3.4.7 Massima Verosimiglianza e Famiglie
Esponenziali
3.4.8 Principio di Condizionamento e Statistj_
che Ausiliarie
3.4.9 Ancora sulla Informazione Osservata di
Fisher
ESERCIZI
140
143
144
146
150
153
CAPITOLO 4
VERIFICA D'IPOTESI E STIMA INTERVALLARE
4.1
VERIFICA D'IPOTESI, GENERALITA'
4.1.1 Descrizione del Problema
4. 1.2 Il Test Statistico
4.1.3 Test con a Assegnato
4.2
157
157
159
161
TRE TEST CONNESSI ALLA VEROSIMIGLIANZA
4.2.l Rapporto di Verosimiglianza
4.2.2 Lemma Fondamentale di Neyrnan e Pearson
4.2.3 Tre Test Connessi alla Verosimiglianza
163
164
166
4.3
TEST DEL RAPPORTO DI VEROSIMIGLIANZA
4.3.l Definizione
4.3.2 Distribuzione Asintotica del TRV
4.3.3 Co~troesempio
4.3.4 Livello di Significatività Osservato
170
171
173
174
XII
4.4
4.4.l
IMPORTANTI ESEMPLIFICAZIONI
Test t di Student ad un Campione
(Bilaterale)
176
4.4.2 Test t di Student ad un Campione
(Uni 1atera le)
4.4.3 Test t Student a 2 Campioni
(Bilaterale)
4.4.4 Analisi della Varianza ad un cri
terio (Effetti Fissi)
4.4.5 Verifica d'Ipotesi per v.c. Multi
nomi a le
4.4.6 Tabelle di Contingenza
178
179
181
184
186
188
4.5
STIMA INTERVALLARE
4.5. l Quantità Pivot
4.5.2 Approccio di Neyman
4.5.3 In Pratica
189
190
193
196
ESERCIZI
CAPITOLO 5
MODELLO LINEARE
5. l
INTRODUZIONE
203
5.2
DEFINIZIONE DI MODELLO LINEARE
205
5.3
CASO A (Ipotesi di Normalità)
5. 3. l Stima di ~· e a 2
5.3.2 Interpretazione Geometrica
5.3.3 Sufficienza di ~· e &2
5.3.4 Distribuzione degli Stimatori ~· e
&2
207
208
209
210
XIII
5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
Esempio
Verifica d'Ipotesi, Generalità
L'Ipotesi Nulla
Il Modello Ridotto
212
214
217
218
5.3.9 La Forma Canonica
5.3. 10 In Pratica
223
224
5.4
5.4. l
5.4.2
CASO B
Il Principio dei Minimi Quadrati
Proprietà di~'
225
227
ESERCIZI
230
tshlutc
L. 22.000
Servi