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Esercizi.
NB: Per lo svolgimento dei seguenti esercizi è consigliato l’uso di Matlab.
1. Scrivere una M-function Matlab che calcola la soluzione del problema lineare
dei minimi quadrati quando la matrice di regressione lineare è di rango pieno
mediante la sua fattorizzazione QR. Ripetere l’esercizio nel caso di matrici
di regressione lineare di rango deficiente Ricordare che la funzione di Matlab
[Q,R,E]=qr(A)
calcola la fattorizzazione A∗E = Q∗R, ove E è una matrice di permutazione
che ordina gli elementi diagonali di R in ordine decrescente. Se A è di
rango pieno, tutti gli elementi diagonali sono non nulli, altrimenti è possibile
calcolare uno pseudorango numerico.
2. Utilizzare la decomposizione svd per fare la compressione di un’immagine
digitalizzata. Calcolare il coefficiente di compressione. Usare la funzione
Matlab
[U,S,V]=svd(A);
che calcola la fattorizzazione A = U SV t della matrice A.
3. Determinare la retta che onora nel modo migliore possibile i seguenti punti
del piano cartesiano (1.0,1.18), (1.2,1.26), (1.4, 1.23), (1.6, 1.37), (1.8, 1.37),
(2.0, 1.45), (2.2, 1.42), (2.4, 1.46), (2.6, 1.53), (2.8, 1.59), (3.0, 1.50). Ripetere
l’esercizio costruendo una parabola. Verificare la bontà dei due modelli lineari. Ripetere l’esercizio determinando la funzione f (x) = a1 exp(−x) +
a2 exp(−2x).
4. Dato un insieme di dati sperimentali (generare x come un insieme di punti
equispaziati nell’intervallo [-1,1] e y usando la funzione randn di Matlab),
costruire i coefficienti del modello non lineare f (x) = a1 exp(a2 x).
5. Determinare la retta che onora nel modo migliore possibile i seguenti punti
del piano cartesiano (x, y): (1,1.18), (1.2,1.26), (1.4,1.23), (1.6, 1.37), (2.0,
1.45), (2.2, 1.42), (2.4, 1.46), (2.6, 1.53), (2.8, 1.59), (3.0, 1.50). Determinare
la retta e la parabola che onorano nel modo migliore possibile i seguenti punti
del piano cartesiano (x, y): (1, -5), (2, -12.4), (3, -15.7), (4, -15.1), (5, -10.5),
(6, -1.9), (7, 10.7), (8, 27.4).
6. Determinare la parabola e la cubica che onorano nel modo migliore possibile
i seguenti punti del piano cartesiano (x, y): (0, 1.2), (1.5, 3.5), (2.5, 4.5),
(4.0, 5.3), (6.5, 4.5), (8.1, 2.3), (9.3, 0.7), (11.3, -2.0), (13.0, -3.9), (15.5,
-4.2), (17.5, -2.6), (19.0, -0.5).
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7. Calcolare i coefficienti di un polinomio di grado n di miglior approssimazione
secondo il criterio dei minimi quadrati relativo agli m+1 nodi xi , i = 0, ..., m
distinti in [a, b] e a osservazioni yi , i = 0, ..., m:
pn (x) =
n
X
aj φj (x)
j=0
Verificare la correttezza del programma scritto usando xj = cos(jπ/m, j =
0, ..., m, w0 = wm = 1/2, wj = 1, j = 1, ..., m − 1, con osservazioni date da
yj = 1/(2 + xj ), j = 0, ..., m, m = 20, n = 10.
8. Assegnata la seguente tabella di dati sperimentali, determinare la funzione
di miglior approssimazione
f (x) =
4
X
aj φj (x)
j=0
relativa a tali dati sperimentali, usando come funzioni elementari φk (x) i
polinomi di Chebychev Tk (x). (Per costruite Tk (x) usare la formula di ricorrenza a tre termini.)
punti di osservazione
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1.0
osservazioni
5.1234
5.3057
5.5687
5.9378
6.4370
7.0973
7.9493
9.0253
10.3627
11.9988
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