Tutoraggio VI — Analisi Numerica II
Esercizio 1. Considera il sistema lineare
4x1 − x2 − x4 = 0
−x1 + 4x2 − x3 − x5 = 5
−x2 + 4x3 − x6 = 0
−x
1 + 4x4 − x5 = 6
−x
2 − x4 + 4x5 − x6 = −2
−x3 − x5 + 4x6 = 6
a. Di quali proprietà gode la matrice dei coefficienti (non singolare, definita
positiva, a diagonale strettamente dominante)?
b. Cosa si può quindi dire sulla convergenza dei metodi di Jacobi e GaussSeidel?
c. Utilizzando la funzione Matlab jacobi.m applica il metodo di Jacobi
con x0 uguale al vettore nullo per approssimare la soluzione del sistema
lineare con una tolleranza di 10−5 .
d. Utilizzando la funzione Matlab gauss seidel.m applica metodo di
Gauss-Seidel con x0 uguale al vettore nullo per approssimare la soluzione
del sistema lineare con una tolleranza di 10−5 .
Esercizio 2. Il sistema lineare
x1 + 2x2 − 2x3 = 7
x1 + x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + x3 = 5
ha soluzione (1, 2, −1)t .
a. Verifica che ρ(Tj ) < 1.
b. Utilizzando la funzione Matlab jacobi.m applica il metodo di Jacobi
con x0 uguale al vettore nullo per approssimare la soluzione del sistema
lineare con una tolleranza di 10−5 .
c. Verifica che ρ(Tg ) = 2.
d. Utilizzando la funzione Matlab gauss seidel.m applica il metodo
di Gauss-Seidel con x0 uguale al vettore nullo per approssimare la
soluzione del sistema lineare con una tolleranza di 10−5 .
1
Esercizio 3. Costruisci, utilizzando opportuni comandi Matlab, la matrice A i cui elementi sono dati da
2i
se j= i, i = 1, 2, . . . , 80
j = i + 2, i = 1, 2, . . . , 78
se
0.5i
j
= i − 2, i = 3, 4, . . . , 80
ai,j =
j = i + 4, i = 1, 2, . . . , 76
0.25i se
j
= i − 4, i = 5, 6, . . . , 80
0
altrimenti
e il vettore b di elementi bi = π, per i = 1, . . . , 80.
Quale classe di metodi ritieni più opportuno utilizzare per risolvere il
sistema Ax = b? Risolvi il sistema utilizzando tali metodi.
Esercizio 4. Considera il sistema lineare
3.9x1 + 1.6x2 = 5.5
6.8x1 + 2.9x2 = 9.7
Sia x = (1, 1)t la soluzione esatta e x̃ = (0.98, 1.1)t una soluzione approssimata. Calcola kx − x̃k in norma 1, 2 e infinito verifica che
kx − x̃k ≤ K(A)
kb − Ax̃k
.
kAk
NOTA: tale disuguaglianza si può utilizzare per trovare una maggiorazione
dell’errore relativo della soluzione
kb − Ax̃k
kx − x̃k
≤ K(A)
.
kxk
kbk
2
