Dal problema di Waring per numeri naturali a quello per polinomi

Dal problema di Waring per numeri naturali a
quello per polinomi omogenei in più variabili:
una passeggiata tra Algebra, Geometria
(Algebrica) e Teoria dei Numeri
Francesco Russo
DMI–UNICT
22 marzo 2017
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Numeri irrazionali e geometria elementare
N = {1, 2, . . .};
R \ Q = {α ∈ R, α 6∈ Q} numeri irrazionali
√
p ∈ N numero primo ⇒ p ∈ R irrazionale;
π è un numero trascendente, i.e. non è radice di nessun
polinomio p(t) con coefficienti in Z (= numeri algebrici);
√
p è radice del polinomio t 2 − p con coefficienti in Z;
trascendente ⇒ irrazionale.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Ultimo Teorema di Fermat, Andrew Wiles 1993/1994
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Passaggio ai numeri razionali
se esistessero a, b, c ∈ N : an + b n = c n ⇐⇒
a n
c
n
b
+
= 1 ⇐⇒
c
P = ( ca , bc ) con entrambe le coordinate razionali non nulle
apparterrebbe alla curva di Fermat di equazione x n + y n = 1.
Pertanto l’ Ultimo Teorema di Fermat è conseguenza di:
Teorema (Ultimo Teorema di Fermat 1630, Wiles 1993/94)
Per ogni n ≥ 3 la curva di equazione x n + y n = 1 non ha punti con
entrambe le coordinate razionali non nulle.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Intuizione e punti con entrambe le coordinate razionali
1
2
3
Figure : 1
Figure : 2
x4 + y4 = 1 e x5 + y5 = 1
(nessun tale punto con
x · y 6= 0, FERMAT)
x 2 + y 2 = 3 (NESSUN
PUNTO CON ENTRAMBE
LE COORDINATE IN Q!)
x 2 + y 2 = 5 (∞ PUNTI
CON ENTRAMBE LE
COORDINATE IN Q!)
Figure : 3
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Esercizio Corso di Geometria 2
Esercizio (Corso di Geometria 2, ultimo esercizio, ultima lista)
Per ogni n ≥ 3 NON esistono p(t), q(t), r (t) polinomi non nulli
con coefficienti in Q (e nemmeno in R e nemmeno in C!) tali che
p(t) n
q(t) n
+
= 1.
r (t)
r (t)
Se esistessero tali polinomi, allora sostituendo t = αβ con α, β ∈ Z
e razionalizzando l’ espressione avremmo (infinite) soluzioni
razionali (e quindi anche intere) non nulle dell’ equazione di
Fermat.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Soluzioni con coordinate razionali non nulle di x 2 + y 2 = 1
x2 + y2 =
1
y = t(x + 1) [rette per il punto (−1, 0)]
x2 +
⇒ (x = −1 e)x =
2t 2
t2 − 1
x
+
=0
t2 + 1
t2 + 1
2t
1 − t2
⇒ (y = 0 e)y = t(x + 1) = 2
.
2
t +1
t +1
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Siano p(t) = 1 − t 2 , q(t) = 2t, r (t) = t 2 + 1 polinomi in t con
coefficienti in Z.
Allora
p(t)
r (t)
2
+
q(t)
r (t)
2
= 1.
Sostituendo
β
∈ Q, α, β ∈ Z
α
e razionalizzando otteniamo le coordinate di TUTTI i punti sul
cerchio unitario con entrambe le coordinate razionali
t=
P=(
α2 − β 2
2αβ
, 2
).
2
2
α + β α + β2
(P = (a, b) con a, b ∈ Q e a 6= −1 ⇒ t =
Francesco Russo
y
x+1
=
b
a+1
∈ Q)
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Terne pitagoriche
(a, b, c) con a, b, c ∈ N si dice terna pitagorica se
a2 + b 2 = c 2
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Formula per le terne pitagoriche
Siano α, β ∈ N con α > β, allora ABBIAMO APPENA
DIMOSTRATO che
(α2 − β 2 , 2αβ, α2 + β 2 )
sono TUTTE le terne pitagoriche.
Infatti, se a, b, c ∈ N, c 6= 0 sono tali che
2
2
2
a + b = c ⇐⇒
a 2
c
2
b
+
= 1 ⇐⇒
c
P = ( ca , bc ) appartiene al cerchio unitario x 2 + y 2 = 1.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Intuizione e punti con entrambe le coordinate razionali
1
2
3
Figure : 1
Figure : 2
x4 + y4 = 1 e x5 + y5 = 1
(nessun tale punto con
x · y 6= 0, FERMAT)
x 2 + y 2 = 3 (NESSUN
PUNTO CON ENTRAMBE
LE COORDINATE IN Q!)
x 2 + y 2 = 5 (∞ PUNTI
CON ENTRAMBE LE
COORDINATE IN Q!)
Figure : 3
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Numeri primi e fattorizzazione in Z[i]
Se a + ib ∈ Z[i], sia N(a + ib) = a2 + b 2 la norma di a + ib.
Teorema (Fermat 1630, Gauss 1798; Corso di Algebra, primo anno)
Sia p ≥ 2 un numero primo. Sono condizioni equivalenti:
(I) p = 2 oppure p = 4r + 1 per qualche r ∈ N;
(II) [−1] = [p − 1] è un quadrato in Zp , i.e. [−1] = [x]2 ha
almeno una soluzione.
(III) p non è un elemento primo in Z[i];
(IV) p = a2 + b 2 con a, b ∈ N;
(V) p = a2 + b 2 con a, b ∈ Q.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Circonferenze x 2 + y 2 = p, p ≥ 2 numero primo
Corollario
Sono condizioni equivalenti:
(I) p = 2 oppure p = 4r + 1 per qualche r ∈ N (e.g.
p = 5, 13, 17, . . .);
(II) Su x 2 + y 2 = p esiste un punto con entrambe le coordinate
razionali;
(III) Su x 2 + y 2 = p esistono infiniti punti con entrambe le
coordinate razionali.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Somma di 2 quadrati
Teorema dei due quadrati, Fermat 1640
Sia
2 ≤ n = p1m1 · · · prmr
fattorizzazione di n ∈ N in primi distinti p1 , . . . , pr , r ≥ 1. Sono
condizioni equivalenti:
(I) n = a2 + b 2 con a, b ∈ N ∪ 0;
(II) Se pi = 4ri + 3 per qualche ri ∈ N, allora mi = 2si è pari.
Mostriamo che (II ) ⇒ (I ): A meno di riordinare i primi
n = m2 · p1 · · · ps con pi ≡ 1 (mod. 4).
Q
Allora pi = ai2 + bi2 = N(ai + ibi ) e se a + ib = si=1 (ai + ibi )
n = m2 N(a1 + ib1 ) · · · N(as + ibs ) = m2 N(a + ib) =
= m2 (a2 + b 2 ) = (ma)2 + (mb)2 .
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Somma di 2 quadrati
Teorema dei due quadrati, Fermat 1640
Sia
2 ≤ n = p1m1 · · · prmr
fattorizzazione di n ∈ N in primi distinti p1 , . . . , pr , r ≥ 1. Sono
condizioni equivalenti:
(I) n = a2 + b 2 con a, b ∈ N ∪ 0;
(II) Se pi = 4ri + 3 per qualche ri ∈ N, allora mi = 2si è pari.
Mostriamo che (I ) ⇒ (II ) per induzione su n. Se n = 2, e’ vero.
a2 + b 2 = n e sia p ≡ 3 (mod. 4) con p/n.
Allora p è primo in Z[i] e
p/a2 + b 2 = (a + ib)(a − ib) ⇒ p/a e p/b
n = p 2 (c 2 + d 2 ) con c 2 + d 2 = m < n.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Somma di tre quadrati
Teorema dei tre quadrati, Legendre 1797
Dato n ∈ N esistono a, b, c ∈ N ∪ 0 tali che
n = a2 + b 2 + c 2
se e solamente se
n 6= 4m (8r + 7), m, r ∈ N ∪ 0.
Osserviamo che 7 è il minor intero per cui occorrono effettivamente
4 quadrati.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Somma di 4 quadrati
Precedentemente Lagrange ha dimostrato il seguente risultato:
Teorema dei 4 quadrati, Lagrange 1770
Dato n ∈ N esistono a, b, c, d ∈ N ∪ 0 tali che
n = a2 + b 2 + c 2 + d 2 .
È sufficiente provarlo per n che non possiedano quadrati nella loro
fattorizzazione, i.e.
n = p1 · · · pr con pi primi distinti.
Infatti se
n0 = m2 · n = m2 · (p1 · · · pr ) =
= m2 (a2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = (ma)2 + (mb)2 + (mc)2 + (md)2 .
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
n = p1 · · · pr con pi primi distinti
Lemma, Somma di due quadrati modulo p
Sia p ≥ 2 un primo. Allora ogni [r ] ∈ Zp è somma di due quadrati
in Zp , i.e. esistono [a], [b] ∈ Zp tali che [r ] = [a]2 + [b]2 . In
particolare [x]2 + [y ]2 = [−1] ha soluzioni.
Sia p ≥ 3. Sia S1 = {[x]2 , [x] ∈ Zp } e S2 = {[r ] − [y ]2 , [y ] ∈ Zp }.
[x]2 = [z]2 ⇒ [x] = ±[z] ⇒ #(S1 ) = 1 +
Analogamente #(S2 ) =
p+1
p−1
=
.
2
2
p+1
⇒ S1 ∩ S2 6= ∅
2
⇒ ∃ [x], [y ] ∈ Zp : [x]2 = [r ] − [y ]2 ⇒ [r ] = [x]2 + [y ]2 .
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
n = p1 · · · pr con pi primi distinti
Corollario, Somma di due quadrati modulo n
Sia n = p1 · · · pr con pi primi distinti. Allora ogni [s] ∈ Zn é
somma di due quadrati in Zn , i.e. esistono [a], [b] ∈ Zn tali che
[s] = [a]2 + [b]2 .
Per il Teorema Cinese del Resto:
Zn ' Zp1 × · · · × Zpr .
Allora il Corollario segue dal Lemma: se [s]pi = [ai ]2pi + [bi ]2pi , siano
[a] = ([a1 ]p1 , . . . , [ar ]pr ) e [b] = ([b1 ]p1 , . . . , [br ]pr )
[a]2 + [b]2 = ([a1 ]2p1 + [b1 ]2p1 , . . . , [ar ]2pr + [br ]2pr ) =
= ([s]p1 , . . . , [s]pr ) = [s].
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Matrici quadrate complesse e matrici hermitiane
Data A = [ai,j ] ∈ Cn,n , definiamo A∗ = [aj,i ] = (At ) = (A)t ∈ Cn,n .
α γ
α β
2,2
∗
Se A =
∈ C , allora A =
γ δ
β δ
Alcune proprietà immediate analoghe a quelle della trasposizione di
matrici reali:
(A∗ )∗ = A, (A · B)∗ = B ∗ · A∗ , (A−1 )∗ = (A∗ )−1 .
A ∈ Cn,n si dice hermitiana se A = A∗ ; A = A∗ ⇒ ai,i ∈ R
A = A∗ , C ∈ Cn,n ⇒ C · A · C ∗ hermitiana.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
n = p1 · · · pr con pi primi distinti
Dato n = p1 · · · pr > 0 con pi primi distinti, per il Corollario
precedente esistono a, b, m ∈ N ∪ 0 tali che:
−1 + n · m = a2 + b 2 ⇒ n · m − (a + ib)(a − ib) = 1.
Possiamo costruire la matrice
n
a + ib
A=
= A∗ ∈ Z[i]2,2 ⊂ C2,2 con det(A) = 1.
a − ib
m
d1,1 d1,2
D=
∈ Z[i]2,2 , D = D ∗ ⇒ d1,1 , d2,2 ∈ Z.
d2,1 d2,2
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Identità 4 quadrati per n = p1 · · · pr , pi primi distinti
Teorema, Newman 1972
Sia n = p1 · · · pr > 0 con pi primi distinti e sia
n
a + ib
A=
= A∗ ∈ Z[i]2,2 con det(A) = 1.
a − ib
m
Allora esiste B ∈ Z[i]2,2 con det(B) = 1 tale che A = B · B ∗ .
Corollario, Somma 4 quadrati, Lagrange 1770
Ogni intero n > 0 è somma di 4 quadrati.
Possiamo supporre n = p1 · · · pr con pi primi distinti;
n
a + ib
x + iy w + iz
x − iy
A=
=
·
a − ib
m
♠
♣
w − iz
♠
♣
⇒ n = x 2 + y 2 + w 2 + z 2 con x, y , w , z ∈ Z.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Teorema di Newman versus Teorema di Sylvester
A=
n
a + ib
a − ib
m
= A∗ ,
n > 0 e det(A) = 1 ⇒ A matrice hermitiana definita positiva.
per il Criterio dei Minori Principali.
Quindi esiste B ∈ C2,2 tale che
A = B · B ∗.
Il punto cruciale nel Teorema di Newman è di poter prendere
B ∈ Z[i]2,2 ........
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Dimostrazione Teorema di Newman
Procederemo per induzione su N(a + ib) = a2 + b 2 ∈ N ∪ 0, dove
n>0e
n
a + ib
A=
= A∗ .
a − ib
m
Se N(a + ib) = 0, essendo n > 0 e det(A) = 1 abbiamo A = I2×2 e
possiamo prendere B = I2×2 . Sia allora N(a + ib) = a2 + b 2 > 0.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Scelta di C ∈ Z[i]2,2
Possiamo quindi supporre N(a + ib) = a2 + b 2 > 0, m > 0 e anche
0 < n ≤ m, il rimanente caso 0 < m ≤ n essendo analogo.
1
0
n
a0 + ib 0
2,2
∗
0
Se C =
∈ Z[i] ⇒ C ·A·C = A =
x − iy 1
a0 − ib 0
m0
con a0 = nx + a, b 0 = ny + b, A0 = (A0 )∗ e det(A0 ) = 1.
È ora facile scegliere x, y ∈ Z tali che (a0 )2 + (b 0 )2 < a2 + b 2 .
Vediamo come:
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Scelta di C ∈ Z[i]2,2
Sia a0 = nx + a, b 0 = ny + b con o < n ≤ m e n · m = a2 + b 2 + 1.
1
Se a > n2 , prendiamo x = −1 e y = 0, Allora
(a0 )2 = (a − n)2 < a2 e b 0 = b e (a0 )2 + (b 0 )2 < a+ b 2 .
2
Se a < − n2 , prendiamo x = 1 e y = 0;
3
Se b > n2 , prendiamo x = 0 e y = −1;
4
Se b < − n2 , prendiamo x = 0 e y = 1.
5
|a| ≤ n2 e |b| ≤
avremmo
n
2
è impossibile: se n = 1, è ovvio. Se n > 1,
n
n
n2
n 2 ≤ n · m = a 2 + b 2 + 1 ≤ ( )2 + ( )2 + 1 =
+ 1 < n2 .
2
2
2
Questa contraddizione mostra che esiste A0 con
(a0 )2 + (b 0 )2 < a2 + b 2 .
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Scelta di C ∈ Z[i]2,2
Ipotesi di induzione:
⇒ A0 = B 0 · (B 0 )∗ ⇒ B 0 · (B 0 )∗ = C · A · C ∗
⇒ A = (C −1 · B 0 ) · (C −1 · B 0 )∗ .
Se
B = (C −1 ·B 0 ) ∈ Z[i]2,2 ⇒ det(B) = (det(C ))−1 ·det(B 0 ) = 1·1 = 1.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Problema di Waring per interi
Problema di Waring, 1770
Dato k ∈ N esiste g (k) ∈ N tale che PER OGNI n ∈ N esistono
x1 , . . . , xg (k) ∈ N ∪ 0 tali che
n = x1k + . . . + xgk(k) ?
Equivalentemente, ogni intero positivo è al più somma di g (k)
potenze k-esime di interi positivi o nulli?
Ovviamente g (1) = 1. Il Teorema dei 4 quadrati dice g (2) = 4.
SENZA DETERMINARE g (k) Hilbert ha dimostrato:
Teorema, Hilbert 1909
Per ogni k ∈ N ESISTE g (k).
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Stima di J.A. Euler, figlio di Leonard Euler
Se x ∈ R indichiamo con [x] ∈ Z la parte intera di x nella sua
espressione decimale, i.e. [x] = bxc ≤ x < [x] + 1 = dxe.
Teorema, J. A. Euler 1770
Per ogni k ∈ N
3
g (k) ≥ 2k + [( )k ] − 2.
2
Sia q ∈ N tale che
3k = q · 2k + r , 0 ≤ r < 2k , i.e.
3
q = [( )k ]. Sia m = x1k + . . . + xrk .
2
Se m = q · 2k − 1 < q · 2k ≤ 3k ⇒ xik ∈ {1k , 2k }.
3
m = (q−1)·2k +(2k −1)·1k ⇒ g (k) ≥ q−1+2k −1 = 2k +[( )k ]−2.
2
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
alcuni valori di g (k) e di m
k
2
3
4
5
q = [( 32 )k ]
2
3
5
7
m = (q − 1) · 2k + (2k − 1) · 1k
7 = 22 + 3 · 12
23 = 2 · 23 + 7 · 13
79 = 4 · 24 + 15 · 14
223 = 6 · 25 + 31 · 15
g(k)
4
9
19
37
Teorema, vari autori 1910–1994
Eccetto un numero FINITO di k > 471.600.000 abbiamo
3
g (k) = 2k + [( )k ] − 2.
2
Si congettura che g (k) = 2k + [( 32 )k ] − 2 per ogni k ≥ 1.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Somma di 9 cubi
Come ultimi misteri di questo brevissimo viaggio tra i numeri interi
enunciamo alcuni intriganti risultati e congetture per k = 3.
Teorema, Wieferich 1909
g (3) = 9, i. e.
ogni intero è somma di al più 9 cubi.
Abbiamo visto sopra che 23 necessita proprio di 9 potenze cubiche.
Teorema, Landau (1911), Baer (1913), Dickson (1939)
Ogni intero positivo diverso da 23 e 239 è somma di al più 8 cubi
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Congetture di Jacobi, 1851
Congetture, Jacobi 1851
1
Ogni intero positivo diverso da
15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212,
231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454
è somma di 7 cubi.
2
Ogni intero positivo diverso da
7, 14, 15, ..., 5818, 8042 (138 eccezioni)
è somma di 6 cubi
3
Ogni intero sufficientemente grande è somma di 5 cubi.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Definizione di G (k)
Intero G (k)
Dato k ∈ N definiamo G (k) ∈ N come il minor intero tale che
PER OGNI n ∈ N SUFFICIENTEMENTE GRANDE esistono
x1 , . . . , xG (k) ∈ N ∪ 0 tali che
n = x1k + . . . + xGk (k)
Equivalentemente, ogni intero positivo SUFFICIENTEMENTE
GRANDE è al più somma di G (k) potenze k-esime di interi
positivi o nulli
Ovviamente G (k) ≤ g (k).
Gauss: ogni intero n ≡ 7 (mod. 8) è somma di 4 quadrati, i.e.
G (2) = 4 = g (2).
Jacobi ha congetturato: G (3) = 5. È noto che
G (3) ≤ 7 < 9 = g (3).
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
G (4)
Teorema, Davenport 1939
G (4) = 16 < 19 = g (4).
La determinazione di G (k) per k > 4 è un attivissimo filone di
ricerca ma pochi risultati precisi sono noti. Negli ultimi anni l’
utilizzo di moderni e potentissimi calcolatori ha permesso di
ottenere notevoli progressi in questo campo.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Problema di Waring per polinomi omogenei in più variabili
Sia C[x0 , . . . , xn ] l’ anello dei polinomi con coefficienti complessi
nelle variabili x0 , . . . , xn , n ≥ 1.
C[x0 , . . . , xn ]d = {f ∈ C[x0 , . . . , xn ] omegeneo di grado d ≥ 1}.
f ∈ C[x0 , . . . , xn ]d si dice forma omogenea di grado d.
Se d = 1, diremo forma lineare; se d = 2, forma quadratica, etc,
etc.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Problema di Waring per polinomi omogenei in più variabili
Problema di Waring per polinomi omogenei in più variabili
Siano n ≥ 1 e d ≥ 1. Definiamo W (n + 1, d) ∈ N come il minor
intero positivo tale che per f ∈ C[x0 , . . . , xn ]d GENERALE
esistono L1 , . . . , LW (n+1,d) ∈ C[x0 , . . . , xn ]1 , λ ∈ C∗ = C \ 0
λ1 , . . . λW (n+1,d) ∈ C tali che
λ · f = λ1 Ld1 + . . . + λW (n+1,d) LdW (n+1,d) =
q
p
= ( λ1 L1 )d + . . . + ( λW (n+1,d) LW (n+1,d) )d .
Equivalentemente, un polinomio omogeneo GENERALE di grado
d si può esprimere come somma di W (n + 1, d) potenze d − esime
di forme lineari
Dividendo per λ e prendendo la radice quadrata la condizione
precedente si può scrivere come
f = Ld1 + . . . + LdW (n+1,d) .
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Teorema di Sylvester implica W (n + 1, 2) = n + 1
C[x0 , . . . , xn ]2 3 f (x0 , . . . , xn ) = x0 · · ·
 
x0
 .. 
xn · A ·  .  , A = At .
xn
Esiste C ∈ Cn+1,n+1 invertibile tale che
f (C −1 x) = xt · (C t · A · C )x = x02 + · · · + xr2
con r + 1 = rk(A).
⇒ f (x) = L20 + . . . + L2r con Li ∈ C[x0 , . . . , xn ]1
GENERALE={rango(A) = n + 1} ⇒ W (n + 1, 2) = n + 1.
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Stima alla J.A. Euler per polinomi omogenei
Siano Pn = P(C[x0 , . . . , xn ]1 ) e Pn(d) = P(C[x0 , . . . , xn ]d ).
n(d) = dimC (C[x0 , . . . , xn ]d ) − 1 =
n+d
− 1.
n
νn,d : Pn → Pn(d) ; νn,d ([L]) = [Ld ],
i.e. una forma lineare viene inviata nella sua potenza d-esima.
I punti p = [Ld ] ∈ Pn(d) hanno dimensione n = dim(Pn ).
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Stima alla J.A. Euler per polinomi omogenei
I punti che stanno su h[Ld1 ], . . . , [Ldr ]i = Pr −1 variando tutti gli [Ldi ]
possibili avranno dimensione:
dim(r punti su νn,d (Pn ))+dim(Pr −1 ) = r ·n +r −1 = r ·(n +1)−1.
Per poter riempire Pn(d) dovremo avere
n+d
n+d
r (n + 1) − 1 ≥ n(d) =
− 1, i.e. r (n + 1) ≥
n
n
&
'
n+d
n+d
⇒r ≥
n
n+1
⇒r ≥
n
n+1
.
Questo suggerisce di congetturare:
&
W (n + 1, d) =
Francesco Russo
n+d
n
'
n+1
.
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Teorema di Sylvester per n = 1
Teorema, Sylvester 1851
Se n = 1, allora
&
W (n + 1, d) = W (2, d) =
1+d
1
'
1+1
d +1
=
.
2
Per n ≥ 2, abbiamo
&
W (n + 1, 2) = n + 1 >
'
n+2
n
n+1
n+2
=
.
2
Quindi per n ≥ 2 ci possiamo aspettare delle eccezioni al valore
stimato:
&
'
n+d
n
n+1
Francesco Russo
.
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei
Teorema di Alexander-Hirschowitz
Teorema, Alexander–Hirschowitz 1995
Se n ≥ 2, abbiamo
&
W (n + 1, d) =
n+d
n
'
n+1
eccetto per i seguenti casi:
n+2 2 (= valore
1
n ≥ 2, d = 2, W (n + 1, d) = n + 1 >
stimato);
2
n = 2, d = 4, W (3, 4) = 6 > 5(= valore stimato);
3
n = 3, d = 4, W (4, 4) = 10 > 9(= valore stimato);
4
n = 4, d = 3, W (5, 3) = 8 > 7(= valore stimato);
5
n = 4, d = 4, W (5, 4) = 15 > 14(= valore stimato).
Francesco Russo
Problema di Waring per interi e polinomi omogenei