Capitolo 5 Applicazioni della teoria delle linee di trasmissione

Capitolo 5
Applicazioni della teoria delle
linee di trasmissione
5.1
Analogia onda piana/linea di trasmissione
Cosi’ come mostrato nel primo capitolo, l’andamento della tensione e della
corrente lungo una linea di trasmissione e’ descritto dal sistema di equazioni
differenziali
∂2
V (z, ω) + k 2 V (z, ω) = 0 ,
∂z 2
∂2
I(z, ω) + k 2 I(z, ω) = 0 ,
∂z 2
dove k = ω
p
Leq Ceq , la cui soluzione generale risulta
V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) ,
V+
V−
I(z) =
exp(jkz) −
exp(−jkz) ,
Z0
Z0
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
p
con Z0 = Leq /Ceq . Si consideri ora un’onda piana che si propaga, parallelamente all’asse z con campo elettrico polarizzato linearmente lungo l’asse
~ = Ex x
x, cioe’ E
b, in un mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, caratterizzato
da una permittivita’ ε ed una permeabilita’ µ. Per tale onda il sistema di
equazioni differenziali che ne regolano la propagazione risulta:
∂2
Ex (z, ω) + k 2 Ex (z, ω) = 0 ,
∂z 2
∂2
Hy (z, ω) + k 2 Hy (z, ω) = 0 ,
2
∂z
99
(5.5)
(5.6)
100CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
√
dove k = ω εµ. Soluzione generale di tale sistema risulta essere
Ex (z) = E+ exp(jkz) + E− exp(−jkz) ,
E+
E−
Hy (z) =
exp(jkz) −
exp(−jkz) ,
ζ
ζ
(5.7)
(5.8)
p
dove ζ =
µ/ε e E+ indica, per avere accordo con il sistema di riferimento convenzionalmente assunto per una linea di trasmissione, l’ampiezza
dell’onda progressiva supposta propagarsi nel verso delle z negative.
Confrontando le soluzioni (5.7)–(5.8) con le (5.3)–(5.4) e’ subito evidente
che operando le sostituzioni
Ex ↔ V ,
Hy ↔ I ,
µ ↔ Leq ,
ε ↔ Ceq ,
(5.9)
e’ possibile studiare in modo equivalente il problema della propagazione di
un’onda piana in un mezzo indefinito utilizzando la teoria delle linee di
trasmissione.
5.2
Analogia onda piana/linea di trasmissione: incidenza ortogonale
Si consideri ora il caso in cui un’onda piana, con campo elettrico polarizzato
linearmente lungo x ed ampiezza E+ , incida ortogonalmente sul semispazio
z < 0 (mezzo 2) avente caratteristiche elettriche e magnetiche diverse da
quello di provenienza dell’onda (mezzo 1). In entrambi i semispazi e’ possibile descrivere la propagazione dell’onda tramite l’analogia delle linee di
trasmissione precedentemente introdotta. In z = 0 e’ poi necessario imporre
la continuita’ delle componenti tangenziali dei campi, cioe’
Ex1 (z)|z=0 = Ex2 (z)|z=0 ,
Hy1 (z)|z=0 = Hy2 (z)|z=0 ,
(5.10)
(5.11)
che si traduce nel richiedere
V1 (z)|z=0 = V2 (z)|z=0 ,
I1 (z)|z=0 = I2 (z)|z=0 .
(5.12)
(5.13)
Cio’ equivale a connettere in z = 0 le due linee che rappresentano la propagazione dell’onda piana in ciascun semispazio (Fig. 5.1).
Nel caso in cui il mezzo 2 su cui incide l’onda piana sia costituito
da un
~
= 0 si
conduttore elettrico perfetto la condizione al contorno n
b × E1 (z)
z=0
5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE
mezzo 1
z
101
mezzo 2
z
Figura 5.1: Equivalenza onda piana/linea di trasmissione.
traduce nell’imporre V1 (z)|z=0 = 0; cio’ equivale a considerare la presenza di
un corto circuito in corrispondenza del piano conduttore elettrico. Analogamente, nel caso in cui il mezzo 2 sia costituito
da un conduttore magnetico
~
perfetto la condizione al contorno n
b × H1 (z)
= 0 si traduce nell’imporre
z=0
I1 (z)|z=0 = 0 e quindi considerare un circuito aperto in corrispondenza del
piano magnetico.
Esercizio 5.1 Un’onda piana monocromatica avente frequenza f = 2 GHz
e ampiezza E+ = 1 V /m, proveniente dallo spazio vuoto, incide ortogonalmente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessore d = 1.875 mm che ricopre
un piano perfettamente conduttore (Fig. 5.2). Si determini il modulo della
densita’ di corrente sostenuta dal campo sul conduttore.
Si consideri un sistema di coordinate cartesiano, avente origine sul piano
conduttore, il cui asse z risulta ortogonale ad esso e rivolto nella direzione di provenienza dell’onda. L’esercizio richiede di valutare il modulo della
densita’ di corrente elettrica superficiale J~s che scorre sul conduttore; tuttavia in corrispondenza dell’interfaccia lastra dielettrica/conduttore (z = 0)
dovranno essere verificate le condizioni
~ = 0,
n
b×E
z=0
~ = J~s ,
n
b×H
z=0
per cui sara’ sufficiente valutare il campo magnetico tangenziale al piano
conduttore elettrico perfetto a cui la corrente e’ direttamente legata.
Per la geometria del problema il campo elettrico e magnetico risultano
sempre appartenenti ad un piano parallelo alla superficie di separazione tra
102CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
E+
p.e.c.
z
d
Figura 5.2: Onda piana incidente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessore
d = 1.875 mm che ricopre un piano perfettamente conduttore.
~ = Et b
~ = Htb
i due mezzi (E
t, H
t × zb, b
t · zb = 0) per cui, operando l’analogia
p
√
Et ↔ V ,
k = ω εµ ↔ k = ω Ceq Leq ,
s
r
µ
Leq
Ht ↔ I ,
ζ=
↔ Z=
,
ε
Ceq
e’ possibile studiare equivalentemente il circuito mostrato in Fig. 5.3. E’
evidente che l’ampiezza del campo magnetico tangente al conduttore, e quindi
anche quella della densita’ di corrente superficiale, coincidono con l’ampiezza
della corrente che scorre sul corto circuito. In particolare per una linea in
corto circuito e’ possibile scrivere I(z) = Iu cos(kz) per cui
I(d) = Iu cos(β1 d)
⇒
Iu =
I(d)
,
cos(β1 d)
dove nel tratto AA0 –BB 0
k = β1 =
2πf √
εr ' 83.78 .
c
Sara’ quindi nostro obiettivo valutare la corrente I(d) in funzione dell’ampiezza dell’onda incidente V0+ ≡ E+ . A tal fine e’ conveniente valutare
l’impedenza che la linea chiusa in corto circuito presenta in corrispondenza
dell’interfaccia vuoto/lastra dielettrica (sez. AA0 ),
ZAA0 = jζ1 tan(β1 d) = j
ζ0
tan(β1 d) = j0.079ζ0 ,
2
5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE
A
103
B
Iu
V0
+
A'
z
B'
d
z'
Figura 5.3: Circuito equivalente per la configurazione di Fig. 5.2
e considerare un nuovo sitema di riferimento z 0 parallelo al precedente e
avente origine in corrispondenza di tale interfaccia. In tali ipotesi:
V0+
V0+
0 0
0
0 0 I(d) = I (z )|z0 =0 =
exp(jk0 z ) [1 − Γ (z )]
[1 − Γ0 (0)] ,
=
ζ0
ζ
0
z 0 =0
dove
Γ0 (0) =
ZAA0 − ζ0
= exp(j2.99) .
ZAA0 + ζ0
Quindi
|Iu | =
|I(d)|
|V0+ |
=
|1 − Γ0 (0)| = 5.31 10−3 A ,
|cos(β1 d)|
ζ0 |cos(β1 d)|
da cui
|Js | = 5.31 mA/m .
Esercizio 5.2 Con riferimento alla configurazione dell’esercizio precedente
si diano indicazioni sullo spessore e sulle caratteristiche elettriche e magnetiche del materiale con cui deve essere costruita la lastra che ricopre il piano
perfettamente conduttore al fine di non avere onda riflessa nello spazio vuoto.
104CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
E’ conveniente operare l’analogia onda piana/linea di trasmissione gia’ introdotta nell’esercizio precedente.
Si puo’ subito notare che non e’ possibile dissipare potenza sul carico
essendo questo costituito da un corto circuito. Per dissipare quindi la potenza associata all’onda incidente sara’ necessario supporre che la lastra sia
costituita da un materiale con perdite caratterizzato da una permeabilita’
µ = µ1 − jµ2 ed una permittivita’ ε = ε1 − jε2 complesse. A causa della presenza delle perdite anche la costante di propagazione risultera’ complessa k = β − jα ed il modulo del coefficiente di riflessione, allontanandosi dal corto circuito, diminuira’ esponenzialmente secondo l’espressione
|Γ(z)| = exp(−2αz). Per annullare l’effetto dell’onda riflessa dal piano conduttore sara’ quindi sufficiente dimensionare lo spessore d della lastra in modo
che il coefficiente di riflessione all’interfaccia lastra/vuoto risulti cosi’ piccolo
che la potenza associata all’onda riflessa sia inferiore, o al piu’ confrontabile,
con quella dovuta al rumore.
Anche se le perdite introdotte permettono di mascherare la riflessione
introdotta dal piano conduttore, si avra’ sempre una riflessione all’interfaccia
lastra/vuoto dovuta alla discontinuita’ nell’impedenza caratteristica dei due
mezzi. Per ovviare sara’ necessario scegliere il materiale con cui realizzare
la lastra in modo che questa presenti una impedenza caratteristica ζ1 pari
a quella del vuoto, cioe’ ζ1 = ζ0 = 120π. Poiche’ tale impedenza risulta
puramente reale sara’ necessario verificare la condizione di Heaviside
ε2 /ε1 = µ2 /µ1 ,
da cui
ζ1 =
r
ε1 µ1 + ε2 µ2
= 120π .
ε21 + ε22
Agendo opportunamente sulla permittivita’ e la permeabilita’ della lastra e’
quindi possibile rimuovere anche l’effetto di discontinuita’ materiale all’interfaccia lastra/vuoto.
5.3
Analogia onda piana/linea di trasmissione: incidenza obliqua
Si consideri il problema di un’onda piana, proveniente da un semispazio caratterizzato da una costante di propagazione k1 ed una impedenza caratteristica ζ1 (mezzo 1), incidente su un semispazio con costante di propagazione
k2 ed impedenza caratteristica ζ2 (mezzo 2). Indicando con zb la normale al
5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA
105
z
(1)
E_
^
(1)
k1
E_
^
k'1
1
y
2
^
k'2
(2)
E_
(2)
E_
^
k2
Figura 5.4: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:
polarizzazione perpendicolare (caso T Ez ).
piano di separazione tra i due mezzi e con b
k1 la direzione di propagazione
dell’onda piana incidente e’ possibile individuare un piano di incidenza di
normale x
b = zb × b
k1 . Per una qualsiasi polarizzazione dell’onda piana e’ sempre possibile rappresentare il campo elettromagnetico associato come somma
del campo di due onde piane, una avente campo elettrico perpendicolare al
piano di incidenza (polarizzazione perpendicolare), l’altra caratterizzata da
un campo elettrico parallelo a tale piano (polarizzazione parallela). L’onda
polarizzata perpendicolarmente ha il campo elettrico sempre ortogonale alla normale zb per cui e’ anche denominata onda trasversa elettrica rispetto
all’asse z (caso T Ez ). L’onda polarizzata parallelamente e’ invece caratterizzata da un campo magnetico ortogonale alla normale zb per cui e’ anche
denominata onda trasversa magnetica rispetto all’asse z (caso T Mz ).
5.3.1
Polarizzazione perpendicolare (caso T Ez )
Si consideri un’onda piana incidente con campo elettrico diretto parallelamente all’asse x e direzione di propagazione
b
k1 = sin θ1 yb − cos θ1 zb ,
(5.14)
dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale zb (Fig. 5.4). In
106CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
tali ipotesi il campo associato all’onda risultera’
(1)
~ i = E+(1) x
E
b exp(−jk1 b
k1 · rb) = E+ x
b exp(−jky1 y) exp(jkz1 z) ,
(5.15)
(1) ~ i = − E+ cos θ1 yb + sin θ1 zb exp(−jky1 y) exp(jkz1 z) ,
~i = 1b
k1 × E
H
ζ1
ζ1
(5.16)
con
ky1 = k1 sin θ1 ,
kz1 = k1 cos θ1 .
(5.17)
La discontinuita’ piana tra i due mezzi in z = 0 origina un’onda piana riflessa
avente direzione di propagazione
e campo elettromagnetico
b
k10 = sin θ1 yb + cos θ1 zb ,
(5.18)
(1)
~ r = E−(1) x
E
b exp(−jk1 b
b exp(−jky1 y) exp(−jkz1 z) ,
(5.19)
k10 · rb) = E− x
(1) ~r = 1b
~ r = − E− − cos θ1 yb + sin θ1 zb exp(−jky1 y) exp(−jkz1 z) .
H
k10 × E
ζ1
ζ1
(5.20)
Quindi nel semispazio superiore (mezzo 1) il campo totale, somma dell’onda
incidente e di quella riflessa, risulta:
h
i
(1)
(1)
Ex1 (y, z) = + exp(−jky1 y) E+ exp(jkz1 z) + E− exp(−jkz1 z) ,
Hy1 (y, z) = − exp(−jky1 y) ·
(1) cos θ1
(1) cos θ1
· E+
exp(jkz1 z) − E−
exp(−jkz1 z) ,
ζ1
ζ1
sin θ1
Ex1 (y, z) .
Hz1 (y, z) = −
ζ1
(5.21)
(5.22)
(5.23)
Nel semispazio inferiore (mezzo 2) e’ invece presente un’onda diretta ed una
riflessa la cui direzione di propagazione risulta rispettivamente
b
k2 = sin θ2 yb − cos θ2 zb ,
b
k20 = sin θ2 yb + cos θ2 zb .
(5.24)
(5.25)
5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA
107
Analogamente al semispazio superiore, le componenti del campo totale nel
semispazio inferiore (mezzo 2) risultano:
h
i
(2)
(2)
Ex2 (y, z) = + exp(−jky2 y) E+ exp(jkz2 z) + E− exp(−jkz2 z) , (5.26)
Hy2 (y, z) = − exp(−jky2 y) ·
(5.27)
(2) cos θ2
(2) cos θ2
exp(jkz2 z) − E−
exp(−jkz2 z) ,
· E+
ζ2
ζ2
sin θ2
Hz2 (y, z) = −
Ex2 (y, z) ,
(5.28)
ζ2
dove ky2 = k2 sin θ2 e kz2 = k2 cos θ2 . All’interfaccia (z = 0) tra i due
semispazi i campi soddisfano le condizioni di continuita’ delle componenti
tangenziali
Ex1 (y, z)|z=0 = Ex2 (y, z)|z=0 ,
Hy1 (y, z)|z=0 = Hy2 (y, z)|z=0 ,
∀x, y ,
∀x, y .
(5.29)
(5.30)
Perche’ cio’ si verifichi per ogni valore della coordinata y dovra’ essere soddisfatta la condizione
ky1 = ky2 = ky ,
(5.31)
k1 sin θ1 = k2 sin θ2 .
(5.32)
ovvero la legge di Snell
Inserendo la relazione (5.31) nelle (5.29), (5.30) e’ facile verificare che in
z = 0 dovranno essere equivalentemente soddisfatte le relazioni
(1)
(1)
E+
(1)
(2)
(2)
E+ + E− = E+ + E− ,
cos θ1
(1) cos θ1
(2) cos θ2
(2) cos θ2
− E−
= E+
− E−
.
ζ1
ζ1
ζ2
ζ2
(5.33)
(5.34)
Si considerino adesso due linee di trasmissione caratterizzate rispettivamente
dai parametri:
Linea 1
kz1 = k1 cos θ1
Z1 = ζ1 / cos θ1 = ωµ1 /kz1
(1)
(1)
V+ ≡ E+
(1)
(1)
V− ≡ E−
Linea 2
kz2 = k2 cos θ2
Z2 = ζ2 / cos θ2 = ωµ2 /kz2
(2)
(2)
V+ ≡ E+
(2)
(2)
V− ≡ E−
108CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
E immediato verificare che la tensione e la corrente su tali linee rappresentano, a meno del fattore exp(−jkyn y), le componenti del campo totale nel
generico n–esimo semispazio:
Exn (y, z) = exp(−jkyn y) Vn (z) ,
Hyn (y, z) = − exp(−jkyn y) In (z) ,
sin θn
Vn (z) ,
Hzn (y, z) = − exp(−jkyn y)
ζn
(5.35)
(5.36)
(5.37)
dove
h
i
(n)
(n)
Vn (z) = V+ exp(jkzn z) + V− exp(−jkzn z) ,
"
#
(n)
(n)
V+
V−
In (z) =
exp(jkzn z) −
exp(−jkzn z) .
Zn
Zn
(5.38)
(5.39)
Inoltre, soddisfare le condizioni (5.33), (5.34) equivale a richiedere
V1 (z)|z=0 = V2 (z)|z=0 ,
I1 (z)|z=0 = I2 (z)|z=0 ,
(5.40)
(5.41)
e cioe’ a connettere le due linee in z = 0. Se ne deduce che al fine di risolvere
il problema di onda piana si possono equivalentemente studiare le due linee
di trasmissione precedentemente definite poste in cascata.
Esercizio 5.3 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto, polarizzata
perpendicolarmente ed avente ampiezza E+ = 1 V /m, incide su un semispazio dielettrico caratterizzato da una costante dielettrica εr = 4 formando
un angolo θ1 = 30◦ rispetto alla normale all’interfaccia vuoto/dielettrico.
Si determini l’ampiezza del campo elettrico nello spazio vuoto ad un’altezza
h = λ0 /4 dall’interfaccia.
Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.5 in cui:
kz1 = k1 cos θ1 ,
kz2 = k2 cos θ2 ,
(1)
(1)
Z1 = ζ1 / cos θ1 ,
Z2 = ζ2 / cos θ2
e V+ = 1 V ≡ E+ . Poiche’ il mezzo dielettrico e’ supposto indefinito per
z → −∞, nella linea di impedenza Z2 non sara’ presente alcuna onda riflessa
e la linea di impedenza Z1 puo’ essere considerata chiusa su un carico di
impedenza Zu = Z2 . L’ampiezza dell’onda riflessa nella linea di impedenza
5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA
z
(1)
V+
h
(1)
E_
^
k1
k z1
(1)
E_
0
k z2
(2)
z
z
h
z
0
Z1
y
E_
109
Z2
^
k2
Figura 5.5: Incidenza obliqua di una onda piana, polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza, su un semispazio dielettrico e suo circuito
equivalente.
Z1 , ed equivalentemente l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispazio
vuoto, risulta
(1)
(1)
(1) Z2
E− ≡ V− = V+
− Z1
=
Z2 + Z1
(1) ζ2 / cos θ2 − ζ1 / cos θ1
(1) ζ2 cos θ1 − ζ1 cos θ2
= V+
= V+
.
ζ2 / cos θ2 + ζ1 / cos θ1
ζ2 cos θ1 + ζ1 cos θ2
Facendo uso della legge di Snell, k1 sin θ1 = k2 sin θ2 , e’ possibile esprimere il
cos θ2 in funzione dell’angolo θ1 come:
s
2
p
k
1
cos θ2 = 1 − (sin θ2 )2 = 1 −
sin θ1 ,
k2
da cui
kz2 = k2
s
k1
1−
sin θ1
k2
s
2
k1
Z2 = ζ2 / 1 −
sin θ1
k2
= k2
2
r
=q
1−
εr1
(sin θ1 )2 ,
εr2
√
ζ0 / εr2
1−
εr1
(sin θ1 )2
εr2
.
110CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
Cio’ permette di scrivere l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispazio
superiore come
q
cos
√ θ1 − √1
1 − εεr1
(sin θ1 )2
εr1
r2
(1)
(1)
(1) εr2
q
E− ≡ V− = V+
=
cos
εr1
2
√ θ1 + √1
1
−
(sin
θ
)
1
εr2
εr1
εr2
q
cos θ1 − εεr2
− (sin θ1 )2
r1
(1)
q
= V+
,
2
cos θ1 + εεr2
−
(sin
θ
)
1
r1
(1)
(1)
√
1−√5
da cui, inserendo i dati del problema, E− = E+ 1+
= −0.382.
5
L’ampiezza del campo elettrico nel semispazio di provenienza dell’onda
piana incidente ad un’altezza h = λ0 /4 dall’interfaccia risulta percio’
h
i
(1)
(1)
|Ex1 (y, z)||z=h = exp(−jky1 y) E+ exp(jkz1 h) + E− exp(−jkz1 h) =
λ
2π
λ
2π
0
0
= 0.67 V /m .
cos θ1
− 0.382 exp −j
cos θ1
= exp j
λ0
4
λ0
4 5.3.2
Polarizzazione parallela (caso T Mz )
Si consideri ora un’onda piana incidente su un semispazio materiale avente
campo magnetico diretto parallelamente all’asse x e direzione di propagazione
b
k1 = sin θ1 yb − cos θ1 zb ,
(5.42)
dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale zb (Fig. 5.6).
Dualmente al caso di polarizzazione perpendicolare il campo totale nel generico n–esimo semispazio risulta:
"
#
(n)
(n)
E−
E+
exp(jkzn z) −
exp(−jkzn z) , (5.43)
Hxn (y, z) = exp(−jkyn y)
ζn
ζn
Eyn (y, z) = exp(−jkyn y) ·
h
i (5.44)
(n)
(n)
· E+ cos θn exp(jkzn z) + E− cos θn exp(−jkzn z) ,
Ezn (y, z) = ζn sin θn Hxn (y, z)
(5.45)
dove
(n)
(n)
H+ = E+ /ζn ,
kyn = kn sin θn ,
(n)
(n)
H− = −E− /ζn ,
kzn = kn cos θn .
(5.46)
(5.47)
5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA
(1)
z
E_
(1)
H_
111
^
(1)
k1
θ1
H_
θ1
^
k'1
(1)
E_
1
y
2
^
k'2
(2)
H_
(2)
H_
θ2
^
θ2 k2
Figura 5.6: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:
polarizzazione parallela (caso T Mz ).
Ponendo l’equivalenza
(n)
(n)
(5.48)
(n)
V−
(n)
E−
(5.49)
(5.50)
V+ ≡ E+ cos θn ,
≡
cos θn ,
= kn cos θn ,
kzn
Zn = ζn cos θn =
kzn
,
ωεn
(5.51)
le eqn. (5.43)–(5.44) assumono la forma
Hxn (y, z) = exp(−jkyn y) In (z) ,
Eyn (y, z) = exp(−jkyn y) Vn (z) ,
Ezn (y, z) = exp(−jkyn y)ζn sin θn In (z) ,
(5.52)
(5.53)
(5.54)
dove
h
i
(n)
(n)
Vn (z) = V+ exp(jkzn z) + V− exp(−jkzn z) ,
#
"
(n)
(n)
V−
V+
exp(jkzn z) −
exp(−jkzn z) .
In (z) =
Zn
Zn
(5.55)
(5.56)
Analogamente al caso di polarizzazione perpendicolare, imporre la continuita’ delle componenti tangenziali del campo all’interfaccia z = 0 tra i due
112CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
z
E_
(1)
V+
H_
k z1
Z1
2
k z2
Z2
3
k z3
Z3
1
0
y
=
Figura 5.7: Onda piana incidente su uno strato dielettrico e suo circuito
equivalente.
semispazi
Ey1 (y, z)|z=0 = Ey2 (y, z)|z=0 ,
Hx1 (y, z)|z=0 = Hx2 (y, z)|z=0 ,
∀x, y ,
∀x, y ,
(5.57)
(5.58)
equivale ad imporre
V1 (z)|z=0 = V2 (z)|z=0 ,
I1 (z)|z=0 = I2 (z)|z=0 ,
(5.59)
(5.60)
e quindi a porre in cascata le due linee equivalenti.
Esercizio 5.4 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto avente polarizzazione parallela incide con un angolo θ1 = 30◦ su uno strato dielettrico
di spessore d caratterizzato da una costante dielettrica relativa εr = 4. Si
determini lo spessore d per cui non si ha onda riflessa nel semispazio di provenienza dell’onda.
Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.7 in cui,
facendo uso della legge di Snell:
kz1 = kz3 = k0 cos θ1 =
2π
cos(π/6) ,
λ0
Z1 = Z3 = ζ0 cos θ1 = 120π cos(π/6) ,
5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA
kz2 = k2 cos θ2 = k0
√
113
√
2π p
π
15
εr cos θ2 =
εr − (sin θ1 )2 =
,
λ0
λ0
Z2 = ζ2 cos θ2 =
√
ζ0 p
εr − (sin θ1 )2 = 15π 15 .
εr
Per non avere onda riflessa nel semispazio di provenienza dell’onda incidente
si dovra’ equivalentemente realizzare un trasformatore a mezz’onda e quindi
imporre d = λz2 /2 dove con λz2 si e’ indicata la lunghezza d’onda nel tratto
di linea di impedenza Z2 . Essendo
2π
λ0
2λ0
= 2π √ = √ ,
kz2
π 15
15
√
lo spessore dello strato dielettrico risulta d = λ0 / 15 .
λz2 =
5.4
Il problema di N linee in cascata
Si vuole ora studiare il problema di N linee poste in cascata, o equivalentemente N strati piani su cui incide un’onda piana. A tal fine si prenda
in considerazione un generico tratto di linea di lunghezza `n caratterizzato
da una costante di propagazione kn ed una impedenza caratteristica Zn . Se
con Vn+1 , In+1 e Vn , In si indicano la tensione e la corrente rispettivamente
alla sezione z = 0 e z = `n (Fig. 5.8), dalla teoria generale delle linee di
trasmissione e’ possibile scrivere:
Vn = Vn+ exp(jkn `n ) + Vn− exp(−jkn `n ) ,
Vn+
Vn−
In =
exp(jkn `n ) −
exp(−jkn `n ,
Zn
Zn
(5.61)
(5.62)
dove
Vn+
Vn−
1
=
Vn+1 + In+1 Zn ) ,
2
1
=
Vn+1 − In+1 Zn .
2
(5.63)
(5.64)
Sostituendo le eqn. (5.63)–(5.64) nelle (5.61)–(5.62), si ottiene:
Vn = Vn+1 cos(kn `n ) + In+1 jZn sin(kn `n ) ,
j sin(kn `n )
+ In+1 cos(kn `n ) .
In = Vn+1
Zn
(5.65)
(5.66)
114CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
n
In
Vn
z
I n+1
Zn
Vn+1
0
jn
Figura 5.8: Generico tratto n della cascata di N linee.
Queste ultime relazioni possono essere convenientemente espresse in forma
matriciale
Vn+1
Vn
,
(5.67)
= Tn
In+1
In
definendo la matrice di trasmissione
cos(kn `n ) jZn sin(kn `n )
T n = j sin(kn `n )
.
cos(kn `n )
Zn
(5.68)
Tale forma risulta utile nel caso in cui si consideri la connessione di N tratti
di linea aventi caratteristiche diverse. Infatti per ognuno di essi e’ possibile,
dopo aver valutato la corrispondente matrice di trasmissione, scrivere una
relazione del tipo (5.67). Per i due generici tratti n–esimo e n+1–esimo
adiacenti tra loro e’ possibile scrivere:
Vn
Vn+1
(tratto n–esimo)
= Tn
,
(5.69)
In
In+1
Vn+1
Vn+2
(tratto n + 1–esimo)
= T n+1
,
(5.70)
In+1
In+2
da cui risulta evidente
Vn
Vn+2
= T n T n+1
.
In
In+2
(5.71)
Estendendo tale risultato al caso in cui si sia in presenza di N di tratti di
linea connessi in cascata e’ possibile scrivere
Vn
Vn+N
=T
,
(5.72)
In
In+N
5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA
I
Z
115
I N+1
A
V
Z
Z
Z
VN+1
Zu
A'
Figura 5.9: Cascata di N tratti di linea con caratteristiche diverse.
oppure
Vn+N
−1 Vn
,
=T
In
In+N
(5.73)
dove con T si e’ indicata la matrice risultante dal prodotto delle matrici di
trasmissione caratterizzanti i singoli tratti di linea, cioe’
#
"N −1
Y
(5.74)
T =
T n+i .
i=0
Esercizio 5.5 Si valuti il coefficiente di riflessione all’ingresso di una cascata di N tratti di linea terminata da un generico carico Zu .
Il coefficiente di riflessione alla sezione AA0 e’ legato all’impedenza ZAA0 =
V1 /I1 che la cascata degli N tratti di linea presenta a tale sezione dalla
relazione:
ΓAA0 =
ZAA0 − Z0
.
ZAA0 + Z0
La tensione V1 e la corrente I1 alla sezione AA0 risulta legata alla tensione
VN +1 e alla corrente IN +1 sul carico dalla relazione
t11 t12 VN +1
VN +1
V1
,
=
=T
t21 t22 IN +1
IN +1
I1
dove
#
"Y
N
t11 t12
T =
=
Ti
t21 t22
i=1
116CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
A
Z n-1
z
B
Zn
A'
Z BB'
B'
jn
Figura 5.10: Due tratti di linea in cascata terminati su un carico ZBB 0 .
e la matrice T i e’ definita come nell’eq. (5.68). L’impedenza Zu del carico e’
anche esprimibile come Zu = VN +1 /IN +1 da cui
V1
t11 t12 Zu
I
=
I1
t21 t22
1 N +1
e
V1 = t11 Zu + t12 IN +1 ,
I1 = t21 Zu + t22 IN +1 .
Ne segue che l’impedenza alla sezione AA0 e’ valutabile attraverso la relazione
ZAA0 =
t11 Zu + t12
V1
=
I1
t21 Zu + t22
e da essa il coefficiente di riflessone richiesto.
5.5
Teoria delle piccole riflessioni
Si consideri dapprima la configurazione schematizzata in Fig. 5.10. Indicato
con
ZBB 0 − Zn
(5.75)
Γn =
ZBB 0 + Zn
il coefficiente di riflessione di tensione alla sezione BB 0 , e’ possibile esprimere il coefficiente di riflessione subito a destra della sezione AA0 tramite la
relazione
Γ0n = Γn exp(−j2kn `n ) ,
(5.76)
5.5. TEORIA DELLE PICCOLE RIFLESSIONI
117
dove kn rappresenta la costante di propagazione nella linea di impedenza
Zn . Il carico ZBB 0 si presenta equivalentemente alla sezione AA0 come una
impedenza
ZAA0 = Zn
1 + Γ0n
,
1 − Γ0n
(5.77)
per cui il coefficiente di riflessione subito a sinistra della sezione AA0 puo’
essere espresso come:
ΓAA0
Zn −Zn−1
+ Γ0n
ZAA0 − Zn−1
Zn (1 + Γ0n ) − Zn−1 (1 − Γ0n )
Zn +Zn−1
=
=
=
.
n−1
0
ZAA0 + Zn−1
Zn (1 + Γ0n ) + Zn−1 (1 − Γ0n )
1 + ZZnn −Z
Γ
+Zn−1 n
(5.78)
Indicando con
Γn−1 =
Zn − Zn−1
,
Zn + Zn−1
il coefficiente di riflessione alla sezione AA0 risulta
Γn−1 + Γn exp(−j2kn `n )
.
ΓAA0 =
1 + Γn−1 Γn exp(−j2kn `n )
(5.79)
(5.80)
Si supponga ora che la discontinuita’ tra le impedenze Zn−1 e Zn , cosi’ come
tra le impedenze Zn e ZBB 0 , sia piccola e quindi sia valida la diseguaglianza
|Γn−1 Γn | 1. In tali ipotesi al denominatore della eq. (5.80) e’ possibile
trascurare rispetto all’unita’ il termine in cui appare la funzione esponenziale
e quindi approssimare il coefficiente di riflessione alla sezione AA0 tramite
l’espressione
ΓAA0 ' Γn−1 + Γn exp(−j2kn `n ) .
(5.81)
Attraverso la relazione approssimata (5.81) la riflessione alla sezione AA0 puo’
essere interpretata come la somma della riflessione diretta alla sezione AA0 ,
dovuta alla discontinuita’ introdotta dalle differenti impedenze caratteristiche
delle due linee di cui Γn−1 rappresenta il coefficiente di riflessione, e della
riflessione dovuta al carico con la relativa variazione di fase, ed eventualmente
di ampiezza, exp(−j2kn `n ) introdotta dal tratto di linea di impedenza Zn .
Se ora si considera una cascata di N tratti di linea, cosi’ come schematizzato in Fig. 5.9, e si definisce
Zn+1 − Zn
per n = 0, 1, . . . , N − 1
(5.82)
Γn =
Zn+1 + Zn
Zu − ZN
ΓN =
(5.83)
Zu + ZN
θn = kn `n
per n = 1, 2, . . . , N ,
(5.84)
118CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI
nell’approssimazione di piccole riflessioni e’ possibile stimare il coefficiente di
riflessione all’ingresso della cascata delle N linee come:
ΓAA0 = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ1 ) + Γ2 exp(−j2θ1 ) exp(−j2θ2 ) + . . . +
+ . . . + ΓN
N
Y
exp(−j2θi ) . (5.85)
i=1
Si consideri ora il caso in cui le linee siano prive di perdite, Zn = Rn , e la
lunghezza `n sia scelta in modo tale che la lunghezza elettrica di ogni linea
risulti identica, cioe’ θn = βn `n = θ per n = 1, 2, . . . , N . In tali ipotesi
ΓAA0 (θ) = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ) + Γ2 exp(−j4θ) + . . . + ΓN exp(−j2N θ) .
(5.86)
Si assuma inoltre che i coefficienti di riflessione risultino simmetrici1 , cioe’
Γ0 = ΓN , Γ1 = ΓN −1 , Γ2 = ΓN −2 , . . . ; cio’ permette di scrivere il coefficiente
di riflessione alla sezione AA0 nella forma:
ΓAA0 (θ) = exp(−jN θ) {Γ0 [exp(jN θ) + exp(−jN θ)]
+Γ1 [exp(j(N − 2)θ) + exp(−j(N − 2)θ)] + . . . } , (5.87)
dove l’ultimo termine in parentesi graffa risultera’ Γ N per N pari mentre
2
Γ N −1 [exp(jθ) + exp(−jθ)] per N dispari. In particolare la relazione (5.87)
2
puo’ essere riscritta nella forma di serie finita di Fourier sia per N pari
ΓAA0 (θ) = 2 exp(−jN θ) {Γ0 cos [N θ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]
1
+ . . . + Γn cos [(N − 2n)θ] + . . . + Γ N
2 2
, (5.88)
o
. (5.89)
che per N dispari
ΓAA0 (θ) = 2 exp(−jN θ) {Γ0 cos [N θ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]
+ . . . + Γn cos [(N − 2n)θ] + . . . + Γ N −1 cos θ
2
L’importanza del risultato risiede nel fatto che, scegliendo opportunamente
i coefficienti di riflessione Γn , che coincidono con i coefficienti della serie di
Fourier, e un numero N sufficiente di sezioni, e’ possibile sintetizzare qualsiasi
andamento del coefficiente di riflessione ΓAA0 in funzione della frequenza f a
cui la lunghezza elettrica θ e’ legata dalla relazione f = θvfn /2π`n , dove con
vfn si e’ indicata la velocita’ di fase misurata in una qualsiasi sezione n.
1
Tale ipotesi non implica tuttavia un andamento simmetrico delle impedenze Rn .