Corso base di Matematica

Corso base di Matematica
- I numeri -
Corso base di Matematica – I numeri
L’insieme N dei naturali
Fin dall’antichità è stata avvertita dall’uomo l’esigenza di “contare” le cose. Ad
es. gli animali al pascolo, i cacciatori e le prede, ecc.
Da questa istintività nasce appunto il primo insieme numerico: l’insieme dei
numeri naturali N.
I numeri naturali sono appunto quegli interi istintivamente concepiti.
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , 9 , 10 , 11 , … , 1356, 1357, … }
N. B.
I numeri naturali sono infiniti, mentre il sottoinsieme costituito dai primi 10
suoi elementi { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } rappresenta l’insieme
(finito) delle CIFRE DECIMALI, cioè i simboli attraverso i quali
rappresentiamo (componiamo) qualunque numero.
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A.A. 2013/14 Prof. L. Cirillo
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Operazioni nell’insieme N dei naturali
Delle 4 operazioni aritmetiche ( + , − , × , ÷ )
risultano ovunque definite in N (cioè il
risultato è ancora un numero naturale) la
somma (+) ed il prodotto (×).
∀n,m∈N ⇒ n+m∈N, n×m∈N
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Operazioni nell’insieme N dei naturali
La differenza (−) e la divisione (÷) tra due naturali invece
possono avere risultato non naturale.
Ad esempio, presi 6 ∈ N e 8 ∈ N , si ha
6–8∉N
e
6÷8 ∉N
∀n,m∈N ⇒ n–m∈N
se e solo se
∀n , m ∈ N ( m ≠ 0 ) ⇒ n ÷ m ∈ N
n≥m
se e solo se
∃! q ∈ N : n = m × q
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L’insieme Z degli interi
Per rendere ovunque definita l’operazione aritmetica di
sottrazione si amplia l’insieme
dei naturali costruendo
un nuovo insieme numerico
Z
N
(dall’iniziale della parola Zahl che in tedesco significa
numero) i cui elementi sono definiti come sottrazione di
coppie di elementi di
.
N
∀z∈Z,∃n,m∈N:z=(n–m)∨z=(m–n)
Es. – 5 = ( 0 – 5 ) = ( 1 – 6 ) = ( 2 – 7 ) = …
Z={…,
–3,–2,–1,0,+1,+2, …}={0,±1,±2,±3,…}
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Proprietà dell’insieme Z degli interi relativi
1. Non esiste il più piccolo dei numeri interi relativi e
neanche il più grande dei numeri interi relativi.
Pertanto non esistono né il minimo né il massimo
numero intero relativo.
∀z∈Z, z+1 ∈ Z ∧ z–1 ∈ Z
2. L’insieme Z degli interi è totalmente ordinato.
∀a,b∈Z, a≤b ∨ b≤a
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Operazioni nell’insieme Z degli interi
Delle 4 operazioni aritmetiche ( + , − , × , ÷ )
risultano ovunque definite in Z (cioè il
risultato è ancora un numero intero) la somma
(+) , la sottrazione (−) ed il prodotto (×).
∀n,m∈Z ⇒ n±m∈Z, n×m∈Z
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Corso base di Matematica – I numeri
Operazioni nell’insieme Z degli interi
La divisione (÷) tra due interi invece può avere risultato
non intero.
Ad esempio, presi 6 ∈ Z e 8 ∈ Z , si ha
∀n , m ∈ Z ( m ≠ 0 ) ⇒ n ÷ m ∈ Z
6÷8 ∉Z
se e solo se
∃! q ∈ Z : n = m × q
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Riduzione a forma frazionaria dei razionali
Se un numero non è intero, si dice decimale.
Es. 3,4567
Un numero decimale può essere semplice o periodico.
Si dice semplice se il numero di cifre dopo la virgola è finito.
Es. 3,4567
Un numero periodico può essere semplice o misto.
Si dice periodico semplice se tutte le cifre dopo la virgola si ripetono
con la medesima sequenza.
Es. 3,(4567) = 3,4567456745674567456745674567456745674567…
Si dice periodico misto se dopo la virgola ci sono cifre che non si
ripetono e cifre che si ripetono con la medesima sequenza.
Es. 3,4(567)= 3,4567567567567567567567567567567567567567…
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Riduzione a forma frazionaria dei razionali
L’algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma
frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre
(significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche
diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero
costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale
semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0
quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico
misto).
Così, ad es.
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34567
3,4567 =
10000
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Cifre significative che
compongono il numero
Cifre decimali
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Riduzione a forma frazionaria dei razionali
L’algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma
frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre
(significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche
diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero
costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale
semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0
quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico
misto).
Cifre significative che
compongono il numero
Così, ad es.
diminuite delle cifre
non periodiche
34567 − 3
3, 4 5 6 7 =
9999
Cifre decimali
periodiche
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Riduzione a forma frazionaria dei razionali
L’algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma
frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre
(significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche
diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero
costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale
semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0
quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico
misto).
Cifre significative che
compongono il numero
Così, ad es.
diminuite delle cifre
non periodiche
34567 − 34
3,4 5 6 7 =
9990
Cifre decimali
periodiche
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Cifre decimali non
periodiche
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Schema delle operazioni aritmetiche ovunque definite
+
−
×
N
•
Z
•
•
•
Q
•
•
•
N. B.
÷
•
•
La divisione per zero è impossibile in tutti gli insiemi numerici!!!
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L’insieme
I degli irrazionali
Secondo il filosofo e matematico greco Pitagora, la
realtà è di tipo razionale e così ogni sua misura
(numero).
Ippaso di Metaponto (discepolo del matematico di
Samo), propose un interessante quesito che mise
in dubbio la logica razionale dei pitagorici e che
aprì la strada alle grandezze incommensurabili.
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L’insieme
I degli irrazionali – Tesi di Ippaso
Dimostrazione per assurdo
1
x
Neghiamo la tesi, cioè ipotizziamo che la
lunghezza della diagonale del quadrato sia
un numero razionale, cioè x ∈
Q
Se la diagonale è un numero razionale allora si
può scrivere come rapporto tra due interi
1
x∈
Q
⇒∃a∈
Z,
b∈
N – { 0} :
x=
Si può ipotizzare che a e b siano primi tra loro , cioè MCD ( a , b ) = 1
a
b
Se, ad es. a = 6 e b = 4 allora MCD ( a , b ) ≠ 1 e la frazione a / b può
essere ridotta ai minimi termini, cioè con numeratore e denominatore non
ulteriormente semplificabili ; nell’es. MCD ( 6 , 4 ) = 2 ⇒ 6/ = 3
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4/
2
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L’insieme
I degli irrazionali – Tesi di Ippaso
Se a e b sono primi tra loro , cioè MCD ( a , b ) = 1,
allora anche i loro quadrati sono primi tra loro, e
cioè MCD ( a 2 , b 2 ) = 1
1
x
Ad es. a = 5 e b = 3 allora MCD ( a , b ) = 1 e
MCD ( 25 , 9 ) = 1
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo
rettangolo in figura (metà quadrato), si ha :
x2=12+12
1
Ma
a
x =
b
Cioè x 2 = 2
⇒
⎛a⎞
x2 = ⎜ ⎟
⎝b⎠
2
a2
=
b2
Pertanto, sostituendo la x si ha:
a2
2
2
=
2
⇒
a
=
2
⋅
b
b2
E ciò è assurdo giacché MCD ( a 2 , b 2 ) = 1. Se ne conclude che x ∉
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Q .□
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Esistono infiniti numeri irrazionali.
Un numero irrazionale deve essere :
1. Decimale (non può essere intero altrimenti
sarebbe razionale)
2. Illimitato (non può avere un numero finito di
cifre decimali altrimenti sarebbe razionale)
3. Aperiodico (le cifre dopo la virgola non
possono mai ripetersi con la medesima
sequenza altrimenti sarebbe razionale)
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Schema degli insiemi numerici
Insieme dei numeri NATURALI
N={0,1,2,…}
Insieme degli INTERI RELATIVI
Z={0,±1,±2,…}
Insieme dei RAZIONALI
Insieme degli IRRAZIONALI
Insieme dei REALI
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Q
I
⎧ a
⎫
=⎨
, a ∈ Z ∧ b ∈ N − {0} ⎬
⎩ b
⎭
⎧ decimali
⎪
= ⎨ illimitati
⎪aperiodici
⎩
R=Q ∪ I
N⊂Z⊂Q⊂R
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4
1
In conclusione, quando si “pensa” ad un numero, ad es. 4 si ha:
=
∈
∈
N
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=
⊆
Z
+
∈
⊆
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Q
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Insiemi numerici
numeri naturali
numeri razionali
numeri reali
Q
⎧a
⎫
= ⎨ , a ∈ Z ∧ b ∈ N − {0}⎬
⎩b
⎭
R
numeri irrazionali
I
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N ={0, 1, 2, … }
interi relativi
Z ={0, ± 1, ± 2, … }
⎧ decimali
⎪
= ⎨ illimitati
⎪aperiodici
⎩
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