www.matefilia.it Scuole italiane all`estero (Americhe) 2010 – Quesiti

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Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 – Quesiti
QUESITO 1
10π‘₯
Sia 𝛾 il grafico di 𝑦 = π‘₯ 2 +1 . Si trovi l’equazione della retta normale a 𝛾 nel punto (2, 4).
1
Il coefficiente angolare della normale nel punto di ascissa 2 è π‘š = − 𝑓′ (2) .
𝑓
′ (π‘₯)
10(π‘₯ 2 + 1) − 20π‘₯ 2 −10 π‘₯ 2 + 10
=
=
;
(π‘₯ 2 + 1 )2
(π‘₯ 2 + 1 )2
𝑓 ′ (2) = −
30
6
=− ;
25
5
π‘š=
5
6
5
La normale richiesta ha equazione: 𝑦 − 4 = 6 (π‘₯ − 2), 6𝑦 − 24 = 5π‘₯ − 10,
5π‘₯ − 6𝑦 + 14 = 0
QUESITO 2
Si determini il cono rotondo di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 30 cm.
Indichiamo con y l’altezza del cono e con x il suo raggio di base. Per il secondo teorema
di Euclide si ha: π‘₯ 2 = 𝑦(60 − 𝑦). Il volume del cono è:
1
1
𝑉 = πœ‹π‘… 2 β„Ž = πœ‹π‘₯ 2 𝑦
3
3
Tale volume è massimo se lo è 𝑧 = π‘₯ 2 𝑦 = 𝑦 2 (60 − 𝑦)
Risoluzione elementare.
𝑦 2 (60 − 𝑦) = (𝑦)2 (60 − 𝑦)1: si tratta del prodotto di due potenze con somma delle basi
costante (60); tale prodotto è massimo se le basi sono proporzionali agli esponenti,
quindi:
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𝑦 60 − 𝑦
4
=
, 𝑦 = 40 (π‘Žπ‘™π‘‘π‘’π‘§π‘§π‘Ž 𝑑𝑒𝑙 π‘π‘œπ‘›π‘œ π‘’π‘”π‘’π‘Žπ‘™π‘’ π‘Žπ‘–
𝑑𝑒𝑙 π‘Ÿπ‘Žπ‘”π‘”π‘–π‘œ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘ π‘“π‘’π‘Ÿπ‘Ž)
2
1
3
Il cono di volume massimo inscritto in una sfera di dato raggio è quello la cui altezza è i
4/3 del raggio della sfera (nel nostro caso altezza=40 cm).
Risoluzione analitica.
Dobbiamo trovare il massimo della funzione 𝑧 = 𝑦 2 (60 − 𝑦), π‘π‘œπ‘› 0 ≤ 𝑦 ≤ 60
Risulta:
𝑧 ′ = 120𝑦 − 3𝑦 2 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑦 2 − 40𝑦 ≤ 0: 0 ≤ 𝑦 ≤ 40
La funzione è quindi crescente se 0 < 𝑦 < 40 e decrescente se 40 < 𝑦 < 60 .
Per 𝑦 = 40 z (e quindi anche il volume del cono) assume il valore massimo.
QUESITO 3
Quale è la derivata di 𝑓(π‘₯) = 3πœ‹π‘₯ ? Si giustifichi la risposta.
πœ‹π‘₯ )
Possiamo riscrivere la funzione nella forma: 𝑓(π‘₯) = 𝑒 ln(3
Siccome la derivata di 𝑒 𝑓(π‘₯) è 𝑒 𝑓(π‘₯) βˆ™ 𝑓 ′ (π‘₯), abbiamo:
= 𝑒 πœ‹π‘₯𝑙𝑛(3)
𝐷(3πœ‹π‘₯ ) = 𝐷(𝑒 πœ‹π‘₯𝑙𝑛(3) ) = 𝑒 πœ‹π‘₯𝑙𝑛(3) βˆ™ (πœ‹ ln(3)) = 3πœ‹π‘₯ βˆ™ (πœ‹ ln(3)).
Allo stesso risultato si può arrivare osservando che: 𝐷(π‘Ž 𝑓(π‘₯) ) = π‘Ž 𝑓(π‘₯) βˆ™ ln(π‘Ž) βˆ™ 𝑓 ′ (π‘₯).
Ovviamente si può ottenere il risultato anche applicando la definizione di derivata (ma
non è richiesto esplicitamente di ricorrere a tale metodo).
QUESITO 4
Si dimostri che la media geometrica di due numeri positivi non è mai superiore alla loro
media aritmetica.
Detti a e b due numeri positivi, abbiamo:
π‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘Ž π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘‘π‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘π‘Ž = π‘šπ΄ =
π‘Ž+𝑏
,
2
π‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘Ž π‘”π‘’π‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž = π‘šπΊ = √π‘Žπ‘
Dobbiamo dimostrare che π‘šπΊ ≤ π‘šπ΄ , cioè che: √π‘Žπ‘ ≤
√π‘Žπ‘ ≤
π‘Ž+𝑏
2
⇔ π‘Žπ‘ ≤
(π‘Ž+𝑏)2
4
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⇒ 4π‘Žπ‘ ≤ (π‘Ž + 𝑏)2
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π‘Ž+𝑏
2
.
⇒ 0 ≤ (π‘Ž − 𝑏)2 : vero per ogni a e b.
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Osserviamo che due medie sono uguali quando i due numeri sono uguali; infatti, se a=b:
π‘Ž+𝑏
= π‘Ž , √π‘Žπ‘ = √π‘Ž2 = π‘Ž
2
N.B.
Il risultato vale anche per n numeri:
𝑛
√π‘₯1 π‘₯2 … π‘₯𝑛 ≤
π‘₯1 + π‘₯2 + β‹― + π‘₯𝑛
𝑛
QUESITO 5
La regione R del primo quadrante delimitata dal grafico di 𝑦 = 3𝑒 −π‘₯ e dalla retta π‘₯ = 𝑙𝑛3
è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari
all’asse x, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S.
Rappresentiamo la regione R:
La sezione quadrata ha per lato 𝐷𝐸 = 𝑓(π‘₯), e la sua area A(x) è quindi 𝑓 2 (π‘₯) = 9𝑒 −2π‘₯ .
Il volume V(S) è quindi dato da:
𝑏
ln(3)
∫ 𝐴(π‘₯)𝑑π‘₯ = ∫
π‘Ž
0
9𝑒
−2π‘₯
9 −2π‘₯ ln(3)
𝑑π‘₯ = [− 𝑒 ]
=
2
0
9
9
−2
= − [𝑒 −2 ln(3) − 1] = − [(𝑒 ln(3) ) − 1] =
2
2
9
9 1
9
8
= − (3−2 − 1) = − ( − 1) = − (− ) = 4
2
2 9
2
9
Quindi : 𝑉(𝑆) = 4 𝑒3
QUESITO 6
Un prisma a base quadrata ha altezza x e spigolo di base y tali che π‘₯ + 𝑦 = 3. Quale è il
suo volume massimo?
Il volume del prisma in questione è: 𝑉 = 𝑦 2 π‘₯ = 𝑦 2 (3 − 𝑦), π‘π‘œπ‘› π‘₯ ≥ 0 𝑒𝑑 𝑦 ≥ 0 .
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Metodo elementare.
𝑦 2 π‘₯ = (𝑦)2 βˆ™ π‘₯1 è il prodotto di due potenze la cui somma delle basi è costante (3), quindi
è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti:
𝑦 π‘₯
= , 𝑦 = 2π‘₯ 𝑒 π‘žπ‘’π‘–π‘›π‘‘π‘–, π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘₯ + 𝑦 = 3,
2 1
π‘₯ = 1 𝑒 𝑦 = 2.
Metodo analitico.
Dobbiamo trovare il massimo della funzione 𝑉 = 𝑦 2 (3 − 𝑦), π‘π‘œπ‘› 𝑦 ≥ 0. Risulta;
𝑉 ′ = 6𝑦 − 3𝑦 2 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑦 2 − 2𝑦 ≤ 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
V è quindi crescente da 0 a 2 e decrescente da 2 in poi: è quindi massimo per 𝑦 = 2;
essendo π‘₯ + 𝑦 = 3 si ha che:
Il prisma di volume massimo ha lato di base 2 e altezza 1.
QUESITO 7
1
Si disegni, nell’intervallo ] − πœ‹; πœ‹], il grafico della funzione 𝑓(π‘₯) = 2 |π‘π‘œπ‘ π‘₯| − 1
Il grafico della funzione si ottiene mediante i seguenti passi:
- Grafico di π‘Ž(π‘₯) = π‘π‘œπ‘ (π‘₯)
- Grafico di 𝑏(π‘₯) = |π‘π‘œπ‘ (π‘₯)|: si conferma la parte positiva e si ribalta la parte
negativa rispetto all’asse x
1
- Grafico di 𝑐(π‘₯) = 2 |cos(π‘₯)|: contrazione verticale di fattore 1/2.
-
1
Grafico di 𝑓(π‘₯) = 2 |π‘π‘œπ‘ π‘₯| − 1: traslazione verso il basso di 1.
I passi indicati sono rappresentati nel grafico seguente:
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QUESITO 8
Si consideri una parabola del fascio 𝑦 = π‘₯ 2 − π‘Žπ‘₯ e siano π‘Ÿ e 𝑠 le rette ad essa tangenti
rispettivamente nell’origine del sistema di riferimento e nel punto T di ascissa 2π‘Ž. Sia P il
punto di intersezione fra π‘Ÿ e 𝑠. Si calcoli:
𝑂𝑃
lim
π‘Ž→+∞ 𝑃𝑇
π‘Ž
π‘Ž2
Osserviamo che la parabola ha vertice in 𝑉 = (2 ; − 4 ), passa per l’origine degli assi
cartesiani e taglia l’asse x, oltre che in x=0, in x=a. Risulta 𝑇 = (2π‘Ž; 2π‘Ž2 ).
Cerchiamo le tangenti in O e T. Risulta:
𝑦 ′ = 2π‘₯ − π‘Ž, π‘žπ‘’π‘–π‘›π‘‘π‘–: π‘šπ‘‚ = −π‘Ž 𝑒𝑑 π‘š 𝑇 = 3π‘Ž
π‘Ÿ: 𝑦 − 0 = −π‘Ž(π‘₯ − 0): 𝑦 = −π‘Žπ‘₯ ;
𝑠: 𝑦 − 2π‘Ž2 = 3π‘Ž(π‘₯ − 2π‘Ž): 𝑦 = 3π‘Žπ‘₯ − 4π‘Ž2
Cerchiamo il punto P:
𝑦 = −π‘Žπ‘₯
𝑃: {
;
𝑦 = 3π‘Žπ‘₯ − 4π‘Ž2
{
𝑦 = −π‘Žπ‘₯
𝑦 = −π‘Žπ‘₯
2
2 ; { π‘₯ = π‘Ž ; 𝑃 = (π‘Ž; −π‘Ž )
−π‘Žπ‘₯ = 3π‘Žπ‘₯ − 4π‘Ž
Osserviamo che se a=0 T coincide con O e le due rette r ed s coincidono.
Risulta:
𝑂𝑃 = √π‘Ž2 + π‘Ž4 = |π‘Ž|√1 + π‘Ž2 ;
𝑃𝑇 = √π‘Ž2 + 9π‘Ž2 = |π‘Ž|√1 + 9π‘Ž2
Quindi:
|π‘Ž|√1 + π‘Ž2
𝑂𝑃
1 + π‘Ž2
1
= lim
= lim √
=
2
π‘Ž→+∞ 𝑃𝑇
π‘Ž→+∞ |π‘Ž|√1 + 9π‘Ž 2
π‘Ž→+∞ 1 + 9π‘Ž
3
lim
Con la collaborazione di Angela Santamaria
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