www.matefilia.it Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 – Quesiti QUESITO 1 10π₯ Sia πΎ il grafico di π¦ = π₯ 2 +1 . Si trovi l’equazione della retta normale a πΎ nel punto (2, 4). 1 Il coefficiente angolare della normale nel punto di ascissa 2 è π = − π′ (2) . π ′ (π₯) 10(π₯ 2 + 1) − 20π₯ 2 −10 π₯ 2 + 10 = = ; (π₯ 2 + 1 )2 (π₯ 2 + 1 )2 π ′ (2) = − 30 6 =− ; 25 5 π= 5 6 5 La normale richiesta ha equazione: π¦ − 4 = 6 (π₯ − 2), 6π¦ − 24 = 5π₯ − 10, 5π₯ − 6π¦ + 14 = 0 QUESITO 2 Si determini il cono rotondo di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 30 cm. Indichiamo con y l’altezza del cono e con x il suo raggio di base. Per il secondo teorema di Euclide si ha: π₯ 2 = π¦(60 − π¦). Il volume del cono è: 1 1 π = ππ 2 β = ππ₯ 2 π¦ 3 3 Tale volume è massimo se lo è π§ = π₯ 2 π¦ = π¦ 2 (60 − π¦) Risoluzione elementare. π¦ 2 (60 − π¦) = (π¦)2 (60 − π¦)1: si tratta del prodotto di due potenze con somma delle basi costante (60); tale prodotto è massimo se le basi sono proporzionali agli esponenti, quindi: Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 Sessione Ordinaria- Questionario 1/ 5 www.matefilia.it π¦ 60 − π¦ 4 = , π¦ = 40 (πππ‘ππ§π§π πππ ππππ π’ππ’πππ ππ πππ ππππππ πππππ π ππππ) 2 1 3 Il cono di volume massimo inscritto in una sfera di dato raggio è quello la cui altezza è i 4/3 del raggio della sfera (nel nostro caso altezza=40 cm). Risoluzione analitica. Dobbiamo trovare il massimo della funzione π§ = π¦ 2 (60 − π¦), πππ 0 ≤ π¦ ≤ 60 Risulta: π§ ′ = 120π¦ − 3π¦ 2 ≥ 0 π π π¦ 2 − 40π¦ ≤ 0: 0 ≤ π¦ ≤ 40 La funzione è quindi crescente se 0 < π¦ < 40 e decrescente se 40 < π¦ < 60 . Per π¦ = 40 z (e quindi anche il volume del cono) assume il valore massimo. QUESITO 3 Quale è la derivata di π(π₯) = 3ππ₯ ? Si giustifichi la risposta. ππ₯ ) Possiamo riscrivere la funzione nella forma: π(π₯) = π ln(3 Siccome la derivata di π π(π₯) è π π(π₯) β π ′ (π₯), abbiamo: = π ππ₯ππ(3) π·(3ππ₯ ) = π·(π ππ₯ππ(3) ) = π ππ₯ππ(3) β (π ln(3)) = 3ππ₯ β (π ln(3)). Allo stesso risultato si può arrivare osservando che: π·(π π(π₯) ) = π π(π₯) β ln(π) β π ′ (π₯). Ovviamente si può ottenere il risultato anche applicando la definizione di derivata (ma non è richiesto esplicitamente di ricorrere a tale metodo). QUESITO 4 Si dimostri che la media geometrica di due numeri positivi non è mai superiore alla loro media aritmetica. Detti a e b due numeri positivi, abbiamo: πππππ ππππ‘πππ‘πππ = ππ΄ = π+π , 2 πππππ ππππππ‘ππππ = ππΊ = √ππ Dobbiamo dimostrare che ππΊ ≤ ππ΄ , cioè che: √ππ ≤ √ππ ≤ π+π 2 ⇔ ππ ≤ (π+π)2 4 Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 Sessione Ordinaria- Questionario ⇒ 4ππ ≤ (π + π)2 2/ 5 π+π 2 . ⇒ 0 ≤ (π − π)2 : vero per ogni a e b. www.matefilia.it Osserviamo che due medie sono uguali quando i due numeri sono uguali; infatti, se a=b: π+π = π , √ππ = √π2 = π 2 N.B. Il risultato vale anche per n numeri: π √π₯1 π₯2 … π₯π ≤ π₯1 + π₯2 + β― + π₯π π QUESITO 5 La regione R del primo quadrante delimitata dal grafico di π¦ = 3π −π₯ e dalla retta π₯ = ππ3 è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S. Rappresentiamo la regione R: La sezione quadrata ha per lato π·πΈ = π(π₯), e la sua area A(x) è quindi π 2 (π₯) = 9π −2π₯ . Il volume V(S) è quindi dato da: π ln(3) ∫ π΄(π₯)ππ₯ = ∫ π 0 9π −2π₯ 9 −2π₯ ln(3) ππ₯ = [− π ] = 2 0 9 9 −2 = − [π −2 ln(3) − 1] = − [(π ln(3) ) − 1] = 2 2 9 9 1 9 8 = − (3−2 − 1) = − ( − 1) = − (− ) = 4 2 2 9 2 9 Quindi : π(π) = 4 π’3 QUESITO 6 Un prisma a base quadrata ha altezza x e spigolo di base y tali che π₯ + π¦ = 3. Quale è il suo volume massimo? Il volume del prisma in questione è: π = π¦ 2 π₯ = π¦ 2 (3 − π¦), πππ π₯ ≥ 0 ππ π¦ ≥ 0 . Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 Sessione Ordinaria- Questionario 3/ 5 www.matefilia.it Metodo elementare. π¦ 2 π₯ = (π¦)2 β π₯1 è il prodotto di due potenze la cui somma delle basi è costante (3), quindi è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti: π¦ π₯ = , π¦ = 2π₯ π ππ’ππππ, ππ π ππππ π₯ + π¦ = 3, 2 1 π₯ = 1 π π¦ = 2. Metodo analitico. Dobbiamo trovare il massimo della funzione π = π¦ 2 (3 − π¦), πππ π¦ ≥ 0. Risulta; π ′ = 6π¦ − 3π¦ 2 ≥ 0 π π π¦ 2 − 2π¦ ≤ 0, 0 ≤ π¦ ≤ 2 V è quindi crescente da 0 a 2 e decrescente da 2 in poi: è quindi massimo per π¦ = 2; essendo π₯ + π¦ = 3 si ha che: Il prisma di volume massimo ha lato di base 2 e altezza 1. QUESITO 7 1 Si disegni, nell’intervallo ] − π; π], il grafico della funzione π(π₯) = 2 |πππ π₯| − 1 Il grafico della funzione si ottiene mediante i seguenti passi: - Grafico di π(π₯) = πππ (π₯) - Grafico di π(π₯) = |πππ (π₯)|: si conferma la parte positiva e si ribalta la parte negativa rispetto all’asse x 1 - Grafico di π(π₯) = 2 |cos(π₯)|: contrazione verticale di fattore 1/2. - 1 Grafico di π(π₯) = 2 |πππ π₯| − 1: traslazione verso il basso di 1. I passi indicati sono rappresentati nel grafico seguente: Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 Sessione Ordinaria- Questionario 4/ 5 www.matefilia.it QUESITO 8 Si consideri una parabola del fascio π¦ = π₯ 2 − ππ₯ e siano π e π le rette ad essa tangenti rispettivamente nell’origine del sistema di riferimento e nel punto T di ascissa 2π. Sia P il punto di intersezione fra π e π . Si calcoli: ππ lim π→+∞ ππ π π2 Osserviamo che la parabola ha vertice in π = (2 ; − 4 ), passa per l’origine degli assi cartesiani e taglia l’asse x, oltre che in x=0, in x=a. Risulta π = (2π; 2π2 ). Cerchiamo le tangenti in O e T. Risulta: π¦ ′ = 2π₯ − π, ππ’ππππ: ππ = −π ππ π π = 3π π: π¦ − 0 = −π(π₯ − 0): π¦ = −ππ₯ ; π : π¦ − 2π2 = 3π(π₯ − 2π): π¦ = 3ππ₯ − 4π2 Cerchiamo il punto P: π¦ = −ππ₯ π: { ; π¦ = 3ππ₯ − 4π2 { π¦ = −ππ₯ π¦ = −ππ₯ 2 2 ; { π₯ = π ; π = (π; −π ) −ππ₯ = 3ππ₯ − 4π Osserviamo che se a=0 T coincide con O e le due rette r ed s coincidono. Risulta: ππ = √π2 + π4 = |π|√1 + π2 ; ππ = √π2 + 9π2 = |π|√1 + 9π2 Quindi: |π|√1 + π2 ππ 1 + π2 1 = lim = lim √ = 2 π→+∞ ππ π→+∞ |π|√1 + 9π 2 π→+∞ 1 + 9π 3 lim Con la collaborazione di Angela Santamaria Scuole italiane all’estero (Americhe) 2010 Sessione Ordinaria- Questionario 5/ 5 www.matefilia.it