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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MESSINA Facoltà di Ingegneria Corso di laurea in Ingegneria Industriale Corso di laurea in Ingegneria Navale Programma del corso di Analisi Matematica (12 C.F.U.) anno accademico 2009 -2010 Docente del corso : Dott.ssa Antonia Chinnı̀ Dipartimento di Scienze per l’Ingegneria e l’Architettura Facoltà di Ingegneria - Università di Messina Tel. 0903977324 - E-mail: [email protected] (mod. A) ( 6 C.F.U.) Nozioni preliminari Nozioni elementari di logica: connettivi logici e proprietà , predicati, quantificatori. Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni di ordine. Esempi. Numeri reali Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi relativi alle operazioni di addizione, di moltiplicazione ed alla relazione di ordine*. Gli insiemi IN, Z e Q. Non validità dell’assioma di completezza in Q. Il principio di induzione. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Insiemi limitati. Estremo superiore ed inferiore di un insieme: definizione e proprietà . Teorema di esistenza dell’estremo superiore e inferiore. Insiemi separati ed insiemi contigui. Caratterizzazione degli insiemi contigui. Intorno di un punto, distanza tra due punti, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti, insiemi chiusi e proprietà. Caratterizzazione degli insiemi chiusi*. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni reali di variabile reale Richiami sulle funzioni: dominio, condominio, immagine, immagine inversa, funzioni iniettive, funzioni surgettive, funzione composta, funzione inversa. Funzioni reali di variabile reale: insieme di definizione, grafico, funzioni pari, dispari e periodiche, funzioni monotone. Funzioni elementari e loro grafici. Limiti di funzioni Definizione di limite. Limiti infiniti e limiti all’infinito. Teoremi fondamentali sui limiti: teorema di unicità *, teorema del confronto e casi particolari, teorema della permanenza del segno. Operazioni con i limiti*. Forme indeterminate. Prodotto tra una funzione infinitesima e una funzione limitata, prodotto tra una funzione infinita e una funzione g verificante la condizione inf X |g| > 0*. Limite notevole limx→0 sinx x . Altri limiti notevoli*. Limite destro e limite sinistro. Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotone. Asintoti di una funzione. Infinitesimi ed infiniti. Funzioni asintoticamente uguali. 1 Cenni sulle successioni numeriche Definizione di successione numerica. Esempi. Successioni estratte. Limite di una successione. Teorema di esistenza del limite di una funzione*. Limite di successioni monotone*. Definizione di insieme sequenzialmente compatto. Caratterizzazione dei sottoinsiemi di lR sequenzialmente compatti *. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni numeriche. Funzioni continue Definizione di continuità in un punto. Operazioni con le funzioni continue*. Teorema della permanenza del segno. Esempi di funzioni continue. Teorema di continuità della funzione composta. Teorema di caratterizzazione della continuità in un punto*. Immagine continua di un insieme sequenzialmente compatto. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di esistenza dei valori intermedi e conseguenze. Punti di discontinuità di una funzione. Funzioni uniformemente continue. Relazione tra continuità e uniforme continuità. Teorema di Heine-Cantor. Calcolo differenziale Definizione di derivata. Significato geometrico di derivata. Derivate delle funzioni elementari. Relazione tra derivabilità e continuità . Teorema di derivazione della funzione composta. Estremi relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. Teorema di de l’Hôpital per la forma in∞ determinata 00 , teorema di de l’Hôpital per la forma indeterminata ∞ *. Teorema sul limite della derivata. Funzioni convesse: definizione e significato geometrico. Teorema 1 (legame tra convessità e derivata prima). Teorema 2 (legame tra convessità e derivata seconda). Relazione tra convessità e continuità* . Punti di flesso: definizione e condizioni sufficienti. Punti singolari di una funzione: punti angolosi, cuspidi e punti di flesso a tangente verticale. Differenziale di una funzione: definizione, significato geometrico e relazione tra derivabilità e differenziabilità. Formula di Taylor. Espressione del resto n-esimo nella forma di Peano. Corollario. Complemento alla formula di Taylor per la determinazione dei punti di estremo relativo proprio. Funzioni inverse Invertibilità di una funzione strettamente monotona. Lemma 1 (Stretta monotonia delle funzioni continue e invertibili su un intervallo)*. Lemma 2 (Teorema di continuità per funzioni monotone definite su un intervallo)*. Continuità della funzione inversa per funzioni continue e invertibili su un intervallo. Continuità della funzione inversa di una funzione continua e invertibile su un insieme sequenzialmente compatto *. Teorema di derivabilità della funzione inversa. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche e loro inverse. 2 (mod. B) ( 6 C.F.U.) Calcolo integrale Integrale di Riemann: definizione e significato geometrico. Criterio di integrabilità. Proprietà dell’integrale definito: linearità *, confronto*, additività*. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito di una funzione. Regole di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione (prima e seconda formula), integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati: definizioni. Criterio del confronto*, criterio dell’assoluta integrabilità*. Integrabilità della funzione f (x) = xα su ]0, 1] e su [1, +∞[. Primo criterio di integrabilità , secondo criterio di integrabilità. Applicazioni dell’integrale definito per il calcolo di aree e volumi. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili Elementi di topologia in lR2 : distanza tra due punti, intorno circolare, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi. Caratterizzazione degli insiemi aperti connessi *. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria per l’esistenza del limite. Definizione di funzione continua. Teorema di Weierstrass *, teorema di Heine Cantor *, teorema di esistenza dei valori intermedi*. Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una funzione. Differenziale di una funzione. Teorema del differenziale totale. Funzione composta, teorema sull’esistenza della derivata della funzione composta. Derivata direzionale di una funzione, teorema sull’esistenza delle derivate direzionali. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. Formula di Taylor al secondo ordine. Estremi relativi di una funzione: definizione, condizione necessaria del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente per funzioni di n variabili*. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano Curve nel piano: equazioni parametriche, traccia, curva chiusa, curva semplice. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione: definizione e proprietà. Baricentro di una curva regolare. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione. Forme differenziali su lR2 . Integrale di una forma differenziale: definizione e proprietà. Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale. Condizione necessaria. Criterio di esattezza. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali chiuse su insiemi aperti semplicemente connessi o aperti stellati *. Calcolo integrale per funzioni di più variabili Integrale doppio: definizione e proprietà. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in un integrale doppio. Coordinate polari. Baricentro di un dominio. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Integrale triplo: definizione. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilin- 3 driche. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza, formula di Stokes. Teorema sull’esattezza di una forma differenziale chiusa definita su un insieme aperto semplicemente connesso. Calcolo dell’area di un dominio regolare mediante le formule di Gauss-Green. Le dimostrazioni concernenti gli argomenti contrassegnati con * possono essere omesse. Testi consigliati Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, (terza edizione interamente riveduta e ampliata) Bollati Boringhieri Editore - Torino Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 1, Bollati Boringhieri Editore - Torino N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol 1 (parti 1 e 2), Liguori Editore - Napoli F.Buzzetti, E.Grassini-Raffaglio, A.Masconi Ajroldi, Esercizi di Analisi Matematica 1, Masson Italia Editore S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Matematica (volume 1) Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore P. Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol. 2 (parti 1 e 2), Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 2, Bollati Boringhieri Editore - Torino 4
