UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MESSINA
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria Industriale
Corso di laurea in Ingegneria Navale
Programma del corso di Analisi Matematica (12 C.F.U.)
anno accademico 2009 -2010
Docente del corso : Dott.ssa Antonia Chinnı̀
Dipartimento di Scienze per l’Ingegneria e l’Architettura
Facoltà di Ingegneria - Università di Messina
Tel. 0903977324 - E-mail: [email protected]
(mod. A) ( 6 C.F.U.)
Nozioni preliminari
Nozioni elementari di logica: connettivi logici e proprietà , predicati, quantificatori.
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano.
Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni di ordine. Esempi.
Numeri reali
Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi
relativi alle operazioni di addizione, di moltiplicazione ed alla relazione di ordine*.
Gli insiemi IN, Z e Q. Non validità dell’assioma di completezza in Q. Il principio
di induzione. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Insiemi limitati.
Estremo superiore ed inferiore di un insieme: definizione e proprietà . Teorema di
esistenza dell’estremo superiore e inferiore. Insiemi separati ed insiemi contigui.
Caratterizzazione degli insiemi contigui. Intorno di un punto, distanza tra due
punti, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione.
Insiemi aperti, insiemi chiusi e proprietà. Caratterizzazione degli insiemi chiusi*.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Funzioni reali di variabile reale
Richiami sulle funzioni: dominio, condominio, immagine, immagine inversa, funzioni iniettive, funzioni surgettive, funzione composta, funzione inversa. Funzioni
reali di variabile reale: insieme di definizione, grafico, funzioni pari, dispari e periodiche, funzioni monotone. Funzioni elementari e loro grafici.
Limiti di funzioni
Definizione di limite. Limiti infiniti e limiti all’infinito. Teoremi fondamentali sui
limiti: teorema di unicità *, teorema del confronto e casi particolari, teorema della
permanenza del segno. Operazioni con i limiti*. Forme indeterminate. Prodotto
tra una funzione infinitesima e una funzione limitata, prodotto tra una funzione
infinita e una funzione g verificante la condizione inf X |g| > 0*. Limite notevole
limx→0 sinx x . Altri limiti notevoli*. Limite destro e limite sinistro. Teorema di
esistenza del limite delle funzioni monotone. Asintoti di una funzione. Infinitesimi
ed infiniti. Funzioni asintoticamente uguali.
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Cenni sulle successioni numeriche
Definizione di successione numerica. Esempi. Successioni estratte. Limite di una
successione. Teorema di esistenza del limite di una funzione*. Limite di successioni
monotone*. Definizione di insieme sequenzialmente compatto. Caratterizzazione
dei sottoinsiemi di lR sequenzialmente compatti *. Criterio di convergenza di
Cauchy per le successioni numeriche.
Funzioni continue
Definizione di continuità in un punto. Operazioni con le funzioni continue*. Teorema della permanenza del segno. Esempi di funzioni continue. Teorema di continuità della funzione composta. Teorema di caratterizzazione della continuità in
un punto*. Immagine continua di un insieme sequenzialmente compatto. Teorema
di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di esistenza dei valori
intermedi e conseguenze. Punti di discontinuità di una funzione. Funzioni uniformemente continue. Relazione tra continuità e uniforme continuità. Teorema di
Heine-Cantor.
Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Significato geometrico di derivata. Derivate delle funzioni
elementari. Relazione tra derivabilità e continuità . Teorema di derivazione della
funzione composta. Estremi relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Ricerca
degli estremi assoluti di una funzione. Teorema di de l’Hôpital per la forma in∞
determinata 00 , teorema di de l’Hôpital per la forma indeterminata ∞
*. Teorema
sul limite della derivata. Funzioni convesse: definizione e significato geometrico.
Teorema 1 (legame tra convessità e derivata prima). Teorema 2 (legame tra convessità e derivata seconda). Relazione tra convessità e continuità* . Punti di flesso:
definizione e condizioni sufficienti. Punti singolari di una funzione: punti angolosi, cuspidi e punti di flesso a tangente verticale. Differenziale di una funzione:
definizione, significato geometrico e relazione tra derivabilità e differenziabilità.
Formula di Taylor. Espressione del resto n-esimo nella forma di Peano. Corollario.
Complemento alla formula di Taylor per la determinazione dei punti di estremo
relativo proprio.
Funzioni inverse
Invertibilità di una funzione strettamente monotona. Lemma 1 (Stretta monotonia delle funzioni continue e invertibili su un intervallo)*. Lemma 2 (Teorema
di continuità per funzioni monotone definite su un intervallo)*. Continuità della
funzione inversa per funzioni continue e invertibili su un intervallo. Continuità
della funzione inversa di una funzione continua e invertibile su un insieme sequenzialmente compatto *. Teorema di derivabilità della funzione inversa. Funzioni
inverse delle funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche e loro inverse.
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(mod. B) ( 6 C.F.U.)
Calcolo integrale
Integrale di Riemann: definizione e significato geometrico. Criterio di integrabilità.
Proprietà dell’integrale definito: linearità *, confronto*, additività*. Integrabilità
delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito
di una funzione. Regole di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
(prima e seconda formula), integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati: definizioni. Criterio del confronto*, criterio dell’assoluta integrabilità*.
Integrabilità della funzione f (x) = xα su ]0, 1] e su [1, +∞[. Primo criterio di
integrabilità , secondo criterio di integrabilità. Applicazioni dell’integrale definito
per il calcolo di aree e volumi.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Elementi di topologia in lR2 : distanza tra due punti, intorno circolare, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti,
insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi. Caratterizzazione degli insiemi
aperti connessi *. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria
per l’esistenza del limite. Definizione di funzione continua. Teorema di Weierstrass *, teorema di Heine Cantor *, teorema di esistenza dei valori intermedi*.
Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una
funzione. Differenziale di una funzione. Teorema del differenziale totale. Funzione
composta, teorema sull’esistenza della derivata della funzione composta. Derivata
direzionale di una funzione, teorema sull’esistenza delle derivate direzionali. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. Formula di Taylor al
secondo ordine. Estremi relativi di una funzione: definizione, condizione necessaria
del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente
per funzioni di n variabili*. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca
degli estremi assoluti di una funzione.
Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano
Curve nel piano: equazioni parametriche, traccia, curva chiusa, curva semplice.
Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione:
definizione e proprietà. Baricentro di una curva regolare. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione. Forme
differenziali su lR2 . Integrale di una forma differenziale: definizione e proprietà.
Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale. Condizione necessaria. Criterio di esattezza. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali chiuse
su insiemi aperti semplicemente connessi o aperti stellati *.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Integrale doppio: definizione e proprietà. Formule di riduzione. Cambiamento
di variabili in un integrale doppio. Coordinate polari. Baricentro di un dominio.
Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di
rotazione. Integrale triplo: definizione. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilin-
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driche. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza, formula di Stokes.
Teorema sull’esattezza di una forma differenziale chiusa definita su un insieme
aperto semplicemente connesso. Calcolo dell’area di un dominio regolare mediante
le formule di Gauss-Green.
Le dimostrazioni concernenti gli argomenti contrassegnati con * possono essere
omesse.
Testi consigliati
Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, (terza edizione interamente riveduta
e ampliata) Bollati Boringhieri Editore - Torino
Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 1, Bollati Boringhieri Editore - Torino
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol 1
(parti 1 e 2), Liguori Editore - Napoli
F.Buzzetti, E.Grassini-Raffaglio, A.Masconi Ajroldi, Esercizi di Analisi Matematica 1, Masson Italia Editore
S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Matematica (volume 1) Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica
due, Liguori Editore
P. Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol. 2 (parti
1 e 2),
Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 2, Bollati Boringhieri Editore - Torino
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