Tecniche di riduzione della dimensionalità (parte2)

Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Tecniche di riduzione della dimensionalità
(parte2)
Analisi statistica e matematico-finanziaria II
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Outline
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
1
Analisi delle Corrispondenze
Definizione a matrice dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla tabella a doppia entrata
Interpretazioni geometriche
Formalizzazione del problema
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
2
Analisi Corrispondence Multiple
Collegamento con il caso bivariato
Formalizzazione del problema
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Analisi Delle Corrispondenze
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Analisi multidimensionale di dati qualitativi
L’Analisi delle Corrispondenze rappresenta uno strumento per lo
studio delle relazioni tra due caratteri statistici qualitativi. La sua
generalizzazione al caso di più variabili qualitative si definisce
Analisi delle Corrispondenze Multiple.
La matrice dei dati
L’Analisi delle Corrispondenze si applica a coppie di variabili
qualitative:i risultati dell’osservazione dei caratteri su un collettivo
di n unità vengono riportati in una tabella a doppia entrata.
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella a doppia entrata
Si considerino due caratteri qualitativi A e B aventi
rispettivamente k e q modalità osservate su n unità statistiche.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Indipendenza
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Se le componenti di una variabile doppia (X, Y ) sono indipendenti
vale la seguente relazione
n̂ij =
ni. n.j
n..
con i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , h
Pertanto, data una distribuzione doppia di frequenze, il legame tra
le due componenti (mutabile) varierà tra una situazione di
indipendenza (assenza di legame) e un qualche grado di
connessione
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Indice quadratico di connessione (X 2 )
Gli indici per la misura della connessioni sono basati sulle
differenze tra le frequenze osservate sul collettivo nij e le
frequenze teoriche n̂ij , che si osserverebbero sul collettivo se le
mutabili considerate fossero indipendenti.
Indice quadratico di connessione (X 2 ) è dato dalla seguente
relazione
k X
h
X
(nij − n̂ij )2
X2 =
n̂ij
i=1 j=1
in caso di indipendenza, essendo nij = n̂ij , risulta X 2 = 0
il massimo valore dell’indice è dato dalla seguente
espressione: n × min(k − 1, q − 1)
Informazione limitata
L’utilizzo di una misura unica è utile a quantificare il legame
complessivo tra le variabili qualitative considerate. Tuttavia non
consente di descrivere la struttura delle relazioni che caratterizzano
le k modalità di A e le q modalità di B.
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Analisi delle Corrispondenze per visualizzare
tabelle di frequenza
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Un istogramma presenta un insieme di dati in una forma
diversa. Allo stesso modo l’Analisi delle Corrispondenze
trasforma una matrice in una rappresentazione grafica
(. . .). (Greenacre, 1985)
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Un semplice esempio
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Si considerino due variabili qualitative
motivo del viaggio
meta del viaggio
Norway
Canada
Greece
Germany
Sum
vacanza
6
1
4
2
13
vacanza/lavoro
1
3
25
2
31
lavoro
11
11
0
20
42
Sum
18
15
29
24
86
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Un semplice esempio
A. Iodice
Distribuzioni condizionate della variabile motivi del viaggio
rispetto alle modalità della variabile “meta del viaggio”:
rappresentano il tipo di viaggio in ciascun paese
indipendentemente dal totale dei viaggi fatti in quel paese.
Norway
Canada
Greece
Germany
Sum
vacanza
0.330
0.070
0.140
0.080
0.150
vacanza/lavoro
0.060
0.200
0.860
0.080
0.360
lavoro
0.610
0.730
0.000
0.830
0.490
Sum
1
1
1
1
1
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Triangular map
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabella di frequenze assolute: un esempio
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Si consideri la tabella di frequenze N che rappresenta le preferenze di 7
tipologie di consumatori rispetto a 4 differenti prodotti.
tipo A
tipo B
tipo C
tipo D
tipo E
tipo F
tipo G
Sum
item.1
69
148
170
159
122
106
40
814
item.2
37
45
65
57
26
21
7
258
item.3
7
14
12
12
6
5
1
57
item.4
5
22
29
28
18
23
14
139
Sum
118
229
276
256
172
155
62
1268
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabella di frequenze relative
A. Iodice
Per passare dalla tabella di frequenze assolute alla tabella F delle frequenze
relative dividendo gli elementi di N per il totale di tabella n.
F=
tipo A
tipo B
tipo C
tipo D
tipo E
tipo F
tipo G
Sum
item.1
0.054
0.117
0.134
0.125
0.096
0.084
0.032
0.642
item.2
0.029
0.035
0.051
0.045
0.021
0.017
0.006
0.203
item.3
0.006
0.011
0.009
0.009
0.005
0.004
0.001
0.045
item.4
0.004
0.017
0.023
0.022
0.014
0.018
0.011
0.110
Sum
0.093
0.181
0.218
0.202
0.136
0.122
0.049
1
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Le tabelle dei profili
Dalla tabella di frequenze relative è possibile passare alla
tabella dei profili riga e dei profili colonna. In particolare
profili riga: si ottiengono dividendo ciascun elemento di
F per il rispettivo marginale (totale) di riga,
fij
, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , q
fi.
profili colonna: si ottiengono dividendo ciascun
elemento di F per il rispettivo marginale (totale) di
colonna,
fij
, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , q
f.j
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabella dei profili riga
La tabella dei profili riga consente, ad esempio, di confrontare le scelte delle
diverse tipologie di consumatori relativamente ai prodotti considerati,
indipendentemente dal numero di prodotti acquistati da ciascuna tipologia di
consumatore.
Il profilo riga medio corrisponde al vettore dei marginali di colonna della
tabella F. Corrisponde alla media dei profili riga ponderati per le
rispettive masse
Le masse dei profili riga sono date dalla colonna dei marginali di riga di
F.
D−1
r F=
tipo A
tipo B
tipo C
tipo D
tipo E
tipo F
tipo G
profilo riga medio
item.1
0.585
0.646
0.616
0.621
0.709
0.684
0.645
0.642
item.2
0.314
0.197
0.236
0.223
0.151
0.135
0.113
0.203
item.3
0.059
0.061
0.043
0.047
0.035
0.032
0.016
0.045
item.4
0.042
0.096
0.105
0.109
0.105
0.148
0.226
0.110
Sum
1
1
1
1
1
1
1
1
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabella dei profili colonna
La tabella dei profili colonna consente di confrontare le distribuzioni delle
vendite di prodotti tra le diverse tipologie di consumatori , indipendentemente
dal numero delle vendite di complessive di ciascun prodotto.
Il profilo colonna medio corrisponde al vettore dei marginali di diga della
tabella F. Corrisponde alla media dei profili colonna ponderati per le
rispettive masse
Le masse dei profili colonna sono date dalla riga dei marginali di colonna
di F.
FD−1
c =
tipo A
tipo B
tipo C
tipo D
tipo E
tipo F
tipo G
sum
item.1
0.085
0.182
0.209
0.195
0.150
0.130
0.049
1
item.2
0.143
0.174
0.252
0.221
0.101
0.081
0.027
1
item.3
0.123
0.246
0.211
0.211
0.105
0.088
0.018
1
item.4
0.036
0.158
0.209
0.201
0.129
0.165
0.101
1
Sum
0.093
0.181
0.218
0.202
0.136
0.122
0.049
1
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Interpretazione geometrica dei profili
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Da un punto di vista geometrico un profilo corrisponde ad un vettore in uno
spazio multidimensionale. Tuttavia, i profili sono espressi in termini relativi, ed
è quindi necessario ponderare i singoli profili attraverso le masse per non
perdere l’informazione di partenza.
Notazione matriciale
Siano Dr e Dc matrici diagonali i cui elementi sono rispettivamente i
marginali di riga e di colonna della matrice F.
profili riga:
D−1
r F
profili colonna:
FD−1
c
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Distanza tra punti profilo
In ACP la distanza che caratterizza i punti nello spazio di riferimento è la
metrica euclidea. Tuttavia questa distanza tende a dare eccessiva importanza
alle modalità della variabile che presentano le frequenze più elevate,
trascurando le relazioni tra le modalità caratterizzate da frequenze basse.
distanza euclidea tra profili
Si considerino i profili A e B
D−1
r F=
tipo A
tipo B
tipo C
tipo D
tipo E
tipo F
tipo G
profilo riga medio
item.1
0.585
0.646
0.616
0.621
0.709
0.684
0.645
0.642
item.2
0.314
0.197
0.236
0.223
0.151
0.135
0.113
0.203
item.3
0.059
0.061
0.043
0.047
0.035
0.032
0.016
0.045
distanza euclidea:
v
uX
u q
f1j
f2j 2
d(A, B) = t
−
1.
2.
j=1
item.4
0.042
0.096
0.105
0.109
0.105
0.148
0.226
0.110
Sum
1
1
1
1
1
1
1
1
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Distanza tra punti profilo
distanza euclidea tra i profili riga A e B
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
v
uX
u q
f1j
f2j 2
d(A, B) = t
−
=
1.
2.
j=1
q
= (.585 − .646)2 + (.314 − .197)2 + (.059 − .061)2 + (.042 − .096)2 = .143
È necessario pertanto un sistema di pesi nel calcolo della distanza per rendere
omogeneo il contributo di ciasuna modalità alla determinazione della distanza
tra i profili. Si rende necessario adottare la distanza del chi-quadrato.
distanza del chi-quadrato tra i profili riga A e B
v
uX
u q 1
f1j
f2j 2
d(A, B) = t
−
=
f
1.
2.
j=1 .j
s
(.585 − .646)2
(.314 − .197)2
(.059 − .061)2
(.042 − .096)2
=
+
+
+
= .316
.642
.203
.045
0.110
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Matrice da analizzare, scelta della distanza, scelta dei pesi
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Una tecnica di analisi multidimensionale, è identificata da tre elementi: matrice di dati,la metrica e pesi
delle unità.
Analisi in componenti
principali
matrice di dati: tabella individui per
variabili X centrata e standardizzata
metrica: distanza euclidea tra i punti
nello spazio di rappresentazione
pesi delle unità:tutte le unità hanno
1
peso uguale a n
Analisi delle
Corrispondenze
matrice di dati: tabelle dei profili riga
−1
D−1
r F (colonna FDc )
metrica: distanza del chi-quadrato
D−1
tra i punti profilo riga (D−1
c
r
tra i punti profilo colonna)
pesi delle unità: ciascun punto ha un
peso pari alla propria massa: Dr per i
punti riga, Dc per i punti colonna.
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Interpretazione dell’inerzia
A. Iodice
Interpretazione dell’Inerzia
L’inerzia della nube dei profili riga è data dalla somma ponderata delle
distanze al quadrato di ciascun profilo dal baricentro (profilo riga medio). I
pesi della somma pi = fi. sono le masse dei profili.
Inerzia =
h
X
i=1
fi. ×
|{z}
pesi
2
k
X
fij
1
− f.j
f
fi.
j=1 .j
|
{z
}
distanza del chi-quadro tra profili e centroide
=
h X
k
X
(fij − fi. f.j )2
=
fi. f.j
i=1 j=1
φ2
|{z}
indice di connessione
questa relazione mostra che la rappresentazione grafica dei profili riga
rappresenta una decomposizione dell’indice quadratico di connessione χ2
(ricordando che φ2 =
χ2
)
n
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Matrice dei residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della CA è possibile analizzare la
tabella dei residui standardizzati.
tabella delle contingenze
La tabella delle frequenze relative (F)
A
B
C
D
E
F
G
P1
0.05
0.12
0.13
0.13
0.10
0.08
0.03
P2
0.03
0.04
0.05
0.04
0.02
0.02
0.01
P3
0.01
0.01
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
P4
0.00
0.02
0.02
0.02
0.01
0.02
0.01
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Matrice dei residui standardizzati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
vettori dei marginali
(totali) di riga
A
B
C
D
E
F
G
r
0.09
0.18
0.22
0.20
0.14
0.12
0.05
vettore dei marginali
(totali) di colonna
P1
P2
P3
P4
c
0.64
0.20
0.04
0.11
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Matrice dei residui standardizzati
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della CA è possibile analizzare la
tabella dei residui standardizzati.
centratura
la centratura della matrice F si ottiene sottraendo a ciascun valore il prodotto dei marginali di riga e di
colonna ad esso corrispondenti, formalmente fij − fi. f.j . Da un punto di vista algebrico questo
corrisponde a
F − rcT =
A
B
C
D
E
F
G
P1
-0.0053
0.0008
-0.0057
-0.0042
0.0091
0.0051
0.0002
P2
0.0102
-0.0013
0.0070
0.0039
-0.0071
-0.0083
-0.0044
P3
0.0013
0.0029
-0.0003
0.0004
-0.0014
-0.0016
-0.0014
P4
-0.0063
-0.0024
-0.0010
-0.0000
-0.0007
0.0047
0.0057
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Matrice dei residui standardizzati
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della CA è possibile analizzare la
tabella dei residui standardizzati.
standardizzazione
dopo aver effettuato la centratura della matrice F si procede alla standardizzazione, formalmente
fij −fi. f.j
q
. Da un punto di vista
fi. f.j
−1/2
−1/2
(F − rcT )Dc
=
S = Dr
S=
−1/2
Dr
(F
− rc
T
algebrico questo corrisponde a
−1/2
)Dc
=
A
B
C
D
E
F
G
P1
-0.0218
0.0023
-0.0151
-0.0117
0.0310
0.0183
0.0009
P2
0.0745
-0.0066
0.0331
0.0191
-0.0427
-0.0527
-0.0444
P3
0.0207
0.0324
-0.0032
0.0041
-0.0175
-0.0209
-0.0301
P4
-0.0620
-0.0174
-0.0064
-0.0003
-0.0055
0.0409
0.0776
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Matrice dei residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere la soluzione si
effettua la decomposizione in valori singolari, (SVD)
decomposizione in valori singolari
SV D(S) = UDα VT
dove U e l’autovettore di sinistra e rappresenta lo spazio delle righe, V e
l’autovettore di destra e rappresenta lo spazio delle colonne, Dα è la matrice
diagonale dei valori singolari, che sono la radice quadrata degli autovalori.
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Relazione tra EVD ed SVD
La decomposizione in valori singolari (SVD) è uno dei risultati dell’algebra
lineare più utilizzati in assoluto. La SVD consente di riscrivere una generica
matrice X come prodotto tra matrici UDα VT . Le matrici in questione sono
in stretta relazione con autovalori e autovettori. In particolare, se
X = UDα UT
XT X = EV D(XT X) = EV D(VDα UT UDα VT ) = VD2α VT
T
T
T
T
XX = EV D(XX ) = EV D(UDα V VDα U ) =
UD2α UT
i vettori singolari di destra (V) della matrice X corrispondono agli
autovettori della matrice XT X
i vettori singolari di sinistra (U) della matrice X corrispondono agli
autovettori della matrice XXT
i valori singolari della matrice X corrispondono alla radice quadrata
degli autovalori non nulli delle matrici XT X e XXT
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Matrice dei residui standardizzati
Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere
la soluzione si effettua la decomposizione in valori singolari,
(SVD)
1
2
3
4
1
0.1611
0.0000
0.0000
0.0000
2
0.0000
0.0617
0.0000
0.0000
3
0.0000
0.0000
0.0324
0.0000
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
valori singolari
Dα =
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
4
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Analisi
Corrispondence
Multiple
vettori singolari
1
2
3
4
5
6
7
1
-0.6267
-0.0937
-0.1815
-0.1059
0.2331
0.4470
0.5478
U
2
0.0888
-0.3761
0.3513
0.2401
-0.6108
-0.0937
0.5364
vettori singolari
3
0.2293
-0.7776
0.2252
-0.0882
0.5227
0.0611
-0.0853
4
-0.1885
0.1390
0.7076
-0.2089
-0.1655
0.5070
-0.3411
1
2
3
4
1
0.2067
-0.6946
-0.2839
0.6279
V
2
-0.5036
0.5269
-0.2269
0.6460
3
0.2485
0.1910
-0.9072
-0.2807
4
-0.8012
-0.4511
-0.2120
-0.3311
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Matrice dei residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Calcolo delle coordinate dei profili riga e colonna
coordinate delle righe
standard coords = Dr−1/2 U
coordinate delle colonne
standard coords = D−1/2
V
c
principal coords = Dr−1/2 UDα principal coords = Dc−1/2 VDα
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Rappresentazione grafica
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Figura: Principal Coords righe, Standard Coords colonne
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Rappresentazione grafica
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Figura: Standard Coords righe, Principal Coords colonne
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Rappresentazione grafica
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Figura: Principal Coords righe, Principal Coords colonne
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Analisi Delle Corrispondenze
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Analisi multidimensionale di dati qualitativi
L’Analisi delle Corrispondenze Multiple rappresenta uno
strumento per lo studio delle relazioni tra p caratteri
statistici qualitativi, ognuno caratterizzato da mj modalità
(j=1,. . . ,p). Un applicazione molto comune per l’ACM
consiste nell’utilizzo di tale metodo per visualizzare i risultati
di una indagine via questionario (domande in forma chiusa).
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Analisi Delle Corrispondenze
A. Iodice
La matrice dei dati
Si considerino i seguenti risultati di un’indagine riguardante gli sbocchi occupazionali di un campione di
389 laureati a cui sono state sottoposte 12 domande in forma chiusa.
Si riporta un esempio delle prime 5 righe ed 8 colonne della matrice di dati
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Genere
maschio
femmina
maschio
maschio
maschio
Diploma
maturità scientifica
maturità scientifica
maturità classica
maturità scientifica
maturit‡ scientifica
Residenza
altre province
altre province
Napoli
provincia di Napoli
altre province
Voto.di.diploma
voto tra 43 e 48
voto tra 36 e 42
voto tra 43 e 48
voto tra 49 e 54
voto tra 36 e 42
Voto.di.laurea
voti tra 96 e 105
voti tra 96 e 105
voti tra 96 e 105
voti tra 96 e 105
voti minori di 96
Frequenza.ai.corsi
meno del 30%
meno del 30%
tra il 30% ed il 50%
tra il 30% ed il 50%
tra il 30% ed il 50%
Età.attuale
tra 26 e 30 anni
oltre 30 anni
tra 26 e 30 anni
tra 26 e 30 anni
tra 26 e 30 anni
Materia.della.tesi.di.laurea
materie economiche
altre materie
materie economiche
materie giuridiche
materie giuridiche
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Tabella in codifica ridotta
Un tipo di codifica di dati relativi a n unità statistiche su cui
sono osservate p variabili qualitative consiste nella
costruzione della tabella di codifica ridotta R .
n righe corrispondenti alle unità
p colonne quante sono le variabili
il generico elemento rij della matrice R è tale che
rij → numero della modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Tabella in codifica ridotta
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Diploma
2
2
1
2
2
Genere
1
2
1
1
1
Residenza
3
3
1
2
3
Voto.di.diploma
2
1
2
3
1
Voto.di.laurea
2
2
2
2
1
Frequenza.ai.corsi
2
2
3
3
3
Età.attuale
2
3
2
2
2
Materia.della.tesi.di.laurea
1
5
1
2
2
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabelle di dati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Tabella in codifica disgiuntiva completa
Un tipo di codifica di dati relativi a n unità statistiche su cui
sono osservate p variabili qualitative consiste nella
costruzione della tabella di codifica disgiuntiva completa Z .
n righe corrispondenti alle unità
s colonne quante sono le modalità delle p variabili
il generico elemento zij della matrice Z è tale che
zij = 1 se l’unità i è caratterizzata dalla modalità
associata alla colonna j; zij = 0 altrimenti
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Tabella in codifica disgiuntiva completa
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
maschio
1
0
1
1
1
femmina
0
1
0
0
0
voti minori di 96
0
0
0
0
1
Napoli
0
0
1
0
0
voti tra 96 e 105
1
1
1
1
0
provincia di Napoli
0
0
0
1
0
voti tra 106 e 110
0
0
0
0
0
altre province
1
1
0
0
1
voto 110 e lode
0
0
0
0
0
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabelle di dati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabella di Burt
A. Iodice
Ottenuta la tabella in codifica disgiuntiva completa Z è si
ricava la tabella di Burt B = ZT Z una tabella a blocchidi
dimensioni s × s
blocchi diagonali: ciascun blocco diagonale è una
matrice diagonale i cui valori rappresentano le frequenze
delle modalità della variabile cui il blocco è associato.
blocchi extra-diagonali: ciascun blocco extra-diagonale
rappresenta una tabella a doppia entrata che incrocia
due delle p variabili considerate
Tabella D
Si definisce inoltre D la matrice diagonale i cui elementi
corrispondono agli elementi diagonali della tabella di Burt.
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabelle di dati
Tabella di Burt
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabelle di dati
Tabella di Burt
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tabelle di dati
Tabella di Burt
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
È possibile formalizzare il problema in maniera analoga al caso di due variabili, per fare questo occorre
definire opportunamente le matrici F, Dn , Ds .
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Tabella F,Dn , Ds
F=
1
n×p
Z
dove n × p rappresenta il totale di tabella della matrice Z: la somma degli elementi di
ciascuna delle n righe è infatti uguale a p.
Matrice diagonale dei marginali di riga della matrice F
Dn =
1
n
In
dove In rappresenta la matrice identità di dimensioni n × n.
Matrice diagonale dei marginali di colonna della matrice F
Ds =
1
n×p
D
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Matrice F
1
2
3
4
5
maschio
0.0002
0.0000
0.0002
0.0002
0.0002
1
2
3
4
5
femmina
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
voti tra 96 e 105
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0000
Napoli
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
provincia di Napoli
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
voti tra 106 e 110
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
altre province
0.0002
0.0002
0.0000
0.0000
0.0002
voto 110 e lode
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Matrice F
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
minore di 26 anni
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
maturità classica
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
tra 26 e 30 anni
0.0002
0.0000
0.0002
0.0002
0.0002
maturità scientifica
0.0002
0.0002
0.0000
0.0002
0.0002
oltre 30 anni
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
diploma tecnico
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
altri diplomi
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Tabelle di dati
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Matrice F
voto tra 36 e 42
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
0.0002
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
solo per esami
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
voto tra 43 e 48
0.0002
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
meno del 30%
0.0002
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
voto tra 49 e 54
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
tra il 30% ed il 50%
0.0000
0.0000
0.0002
0.0002
0.0002
voto tra 55 e 60
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
oltre il 50%
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Le tabelle dei profili
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
A questo punto è possibile ottenere le tabelle dei profili riga e colonna in maniera del tutto analoga al
caso delle Corrispondenze semplici. In questo caso bisogna tenere conto che i profili riga fanno
riferimento agli individui, mentre i profili colonna fanno riferimento alle modalità delle p variabili.
profili riga: si ottiengono dividendo ciascun elemento di F per il rispettivo marginale (totale) di
riga
−1
Dn F
profili colonna: si ottiengono dividendo ciascun elemento di F per il rispettivo marginale (totale)
di colonna,
−1
FDs
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione del problema: soluzione in Rs
A. Iodice
Analogamente al caso bivariato
La soluzione nello spazio degli individui
Analisi delle
Corrispondenze
Ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si perviene alla seguente formalizzazione
−1
T
−1
F Dn FDs u = λu
La soluzione si ottiene diagonalizzando la seguente matrice (nello spazio delle modalità)
T
−1
−1
S = F Dn FDs
S=F
−1
−1
Dn FDs
Z
|
n×p
{z
=
FT
=
1
p
T
Z ZD
−1
=
1
p
BD
−1
T
1
Z
−1
n×pD
1I
{z
n×p |
n
} |n{z } |
{z
}
−1
−1
Dn
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
che può essere espressa come segue
T
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
F
Ds
}
=
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione del problema: soluzione in Rn
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Analogamente al caso bivariato
La soluzione nello spazio delle modalità
Ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si perviene alla seguente formalizzazione
T
−1
−1
F Ds FDn v = λv
La soluzione si ottiene diagonalizzando la seguente matrice (nello spazio delle modalità)
T
−1
−1
S = F Ds FDn
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione del problema: soluzione in Rn
A. Iodice
Spazio modalità
il versore dell’asse principale è
u
Analisi delle
Corrispondenze
Spazio individui
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
asse principale
v
La proiezione di un vettore sull’asse di
versore u secondo la distanza del
chi-quadro si ottiene moltiplicando il
vettore per il fattore principale
−1
Ds u
fattore principale
Analisi
Corrispondence
Multiple
−1
Dn v
le coordinate principali dei profili riga
sono date dal prodotto dalla matrice
dei profili e il fattore principale
coordinata principale
−1
T
−1
ĉ = Ds F Dn v
ĉ =
−1
Dn F
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
×
−1
Ds u
| {z }
| {z }
matrice profili riga
fattore principale
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Autovalori
A. Iodice
La matrice Z identifica s punti nello spazio Rn . Tuttavia ognuno dei p blocchi che compongono Z è
caratterizzato da un autovalore banale, analogamente a quanto accade nel caso bivariato.
Il numero di autovalori
Il numero di autovalori non nulli è
s1 + (s2 − 1) + (s3 − 1) + . . . + (sp − 1) = s − p + 1
Nell’analisi centrata (baricentro Della nube traslato nell’origine degli assi) il numero di autovalori non
nulli
s−p
Dunque, la percentuale di variabilità spiegata è data da
λα
Ps−p
j=1
λα
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Autovalori
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
La percentuale di variabilità spiegata
λα
Ps−p
j=1
λα
Rappresenta una misura pessimistica del potere esplicativo della sintesi ottenuta.
motivo: la codifica disgiuntiva completa impone una sfericità artificiale della nube dei punti.
correzione autovalori Benzècri
λ
1
per λ > p
∗
=
p
p−1
2 λ−
1
p
2
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della MCA, in maniera del tutto
analoga a quanto detto per la CA, E’ possibile analizzare la
tabella dei residui standardizzati.
tabella delle contingenze
La tabella delle frequenze relative (F) ottenuta a partire da Z
1
2
3
4
5
maschio
0.0002
0.0000
0.0002
0.0002
0.0002
femmina
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
Napoli
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
0.0000
provincia di Napoli
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0000
altre province
0.0002
0.0002
0.0000
0.0000
0.0002
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
vettori dei marginali
(totali) di riga
1
2
3
4
5
x
0.0026
0.0026
0.0026
0.0026
0.0026
vettore dei marginali
(totali) di colonna
maschio
femmina
Napoli
provincia di Napoli
altre province
x
0.0490
0.0345
0.0393
0.0249
0.0193
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della CA è possibile analizzare la
tabella dei residui standardizzati.
centratura
la centratura della matrice F si ottiene sottraendo a ciascun valore il prodotto dei marginali di riga e di
colonna ad esso corrispondenti, formalmente fij − fi. f.j . Da un punto di vista algebrico questo
corrisponde a
F − nsT =
1
2
3
4
5
maschio
0.0001
-0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
femmina
-0.0001
0.0001
-0.0001
-0.0001
-0.0001
Napoli
-0.0001
-0.0001
0.0001
-0.0001
-0.0001
provincia di Napoli
-0.0001
-0.0001
-0.0001
0.0002
-0.0001
altre province
0.0002
0.0002
-0.0001
-0.0001
0.0002
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Per ottenere una soluzione della MCA è possibile analizzare
la tabella dei residui standardizzati.
standardizzazione
dopo aver effettuato la centratura della matrice F si procede alla standardizzazione, formalmente
fij −fi. f.j
q
. Da un punto di vista algebrico
fi. f.j
−1/2
−1/2
(F − nsT )Ds
=
S = Dn
questo corrisponde a
−1/2
1
2
3
4
5
maschio
0.0079
-0.0113
0.0079
0.0079
0.0079
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
−1/2
S = Dn
(F − nsT )Ds
=
femmina
Napoli
provincia di Napoli
-0.0095
-0.0101
-0.0081
0.0134
-0.0101
-0.0081
-0.0095
0.0113
-0.0081
-0.0095
-0.0101
0.0189
-0.0095
-0.0101
-0.0081
Analisi delle
Corrispondenze
altre province
0.0235
0.0235
-0.0071
-0.0071
0.0235
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere
la soluzione si effettua la decomposizione in valori singolari,
(SVD)
decomposizione in valori singolari
SV D(S) = UDα V
T
dove U e l’autovettore di sinistra e rappresenta lo spazio delle righe, V e l’autovettore di destra e
rappresenta lo spazio delle colonne, Dα è la matrice diagonale dei valori singolari, che sono la radice
quadrata degli autovalori.
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere
la soluzione si effettua la decomposizione in valori singolari,
(SVD)
Dα =
1
0.4678
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
2
0.0000
0.3859
0.0000
0.0000
0.0000
vettori singolari
1
2
3
4
5
1
-0.0201
-0.0553
-0.0037
0.0058
-0.0453
U
2
-0.0157
-0.0596
0.0124
-0.0442
-0.0357
3
0.0000
0.0000
0.3572
0.0000
0.0000
4
0.0000
0.0000
0.0000
0.3351
0.0000
5
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.3277
Analisi
Corrispondence
Multiple
vettori singolari
3
-0.0197
-0.0235
-0.0174
-0.0379
-0.0913
4
0.0661
-0.0624
0.0805
-0.0271
-0.0380
5
1
0.0068
1
-0.1569
0.0786
2
0.1859
-0.0138
3
0.0662
-0.0683
4
-0.0421
0.0639
5
-0.0481
V
2
0.1573
-0.1870
0.1754
-0.0450
-0.1982
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
valori singolari
1
2
3
4
5
A. Iodice
3
-0.1237
0.1441
-0.1503
0.3146
-0.1479
4
0.0155
-0.0195
0.2020
-0.1087
-0.1657
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
5
-0.2051
0.2456
0.0350
-0.1570
0.1299
Formalizzazione MCA residui standardizzati
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Calcolo delle coordinate dei profili riga e colonna
coordinate delle righe
standard coords = Dn−1/2 U
coordinate delle colonne
standard coords = D−1/2
V
s
principal coords = Dn−1/2 UDα principal coords = Ds−1/2 VDα
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi ACM
Autovalori
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Coordinate modalità
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Contributi modalità
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Qualità della rappresentazione delle modalità
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
Formalizzazione del
problema
Formalizzazione MCA
residui standardizzati
Risultati analisi ACM
Risultati analisi MCA
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
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geometriche
Formalizzazione del
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Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
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Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
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dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Rappresentazione delle modalità
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Corrispondenze
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A. Iodice
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dimensionalità
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A. Iodice
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Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
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Altra applicazione
Tecniche di
riduzione della
dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
Il data set è estratto dal sondaggio ISSP del 1993, si riferisce a rispondenti della Germania. Il numero di
attributi considerati è p = 7, il numero di unità statistiche è n = 871.
Ci sono quattro affermazioni rispetto alle quali si richiede agli intervistati di dare un giudizio. Ci sono
inoltre tre attributi di tipo demografico come genere, età and titolo di studio.
Le affermazioni
A Crediamo troppo nella scienza e troppo poco in fede e sentimenti.
B In generale, la scienza moderna comporta più problemi che vantaggi.
C Ogni intervento dell’uomo sulla natura non fa altro che peggiorare le cose.
D La scienza ci aiuterà a risolvere i problemi ambientali determinando pochi cambiamenti nel
nostro stile di vita.
Modalità degli attributi
A-D 1. condivido fortemente, 2. condivido abbastanza, 3. indifferente, 4. non condivido, 5. non
condivido affatto.
genere Due modalità.
età Sei modalità.
titolo di studio Sei modalità.
Analisi delle
Corrispondenze
Definizione a matrice
dei dati
Misura di connessione
Trasformazioni sulla
tabella a doppia
entrata
Interpretazioni
geometriche
Formalizzazione del
problema
Analisi
Corrispondence
Multiple
Collegamento con il
caso bivariato
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dimensionalità
(parte2)
A. Iodice
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problema
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problema
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problema
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problema
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problema
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problema
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problema
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problema
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