Evandro Cozzi
Giuseppe Della Monica
INTRODUZIONE ALLA MECCANICA
DELLE TERRE E DELLE ROCCE
Copyright © MMIX
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Raffaele Garofalo, 133 A/B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–2809–4
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
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I edizione: settembre 2009
Indice
11
Introduzione
15
Capitolo I
Richiami di algebra vettoriale
Rappresentazione intrinseca dei vettori, 16 – 1.1. Rappresentazione intrinseca dei vettori, 16 – 1.1.1. Operazioni sui vettori, 16 –
1.1.1.1. Somma di due vettori, 18 – REGOLA DEL PARALLELOGRAMMO, 19 – PROPRIETÀ DELLA SOMMA VETTORIALE, 20 –
1.1.1.2. Differenza tra due vettori, 20 – PROPRIETÀ DELLA DIFFERENZA TRA DUE VETTORI, 20 – 1.1.1.3. Prodotto di un vettore per
uno scalare, 22 – 1.1.1.4. Prodotto scalare o “interno”, 24 – 1.1.1.5.
Prodotto vettoriale o “esterno”, 25 – 1.2. Rappresentazione cartesiana dei vettori, 26 – 1.2.1. Coseni direttori, 28 – 1.2.2. Somma e
sottrazione, 29 – 1.2.2.1. Somma tra due vettori, 29 – 1.2.2.2. Differenza tra due vettori, 29 – 1.2.3. Prodotto interno, 30 – 1.2.4. Prodotto esterno, 31 – 1.3. Cenni di analisi vettoriale, 32 – 1.3.1. Gradiente, 34 – 1.3.2. Osservazioni, 35 – 1.3.3. Divergenza, 35 – 1.3.4.
Teorema della divergenza, 37 – 1.3.5. Rotore, 41 – 1.3.6. Circuitazione, 42 – 1.3.7 Teorema di Stokes, 42 – 1.3.8. Laplaciano di uno
scalare, 46 – 1.4. I Tensori, 46 – 1.4.1 Cambiamento di coordinate
per rotazione e traslazione di assi, 48 – 1.5. Diagonalizzazione di
una matrice quadrata, 49 – 1.6. Riepilogo, 57 – 1.7. Esercizi, 62
71
Capitolo II
Il tensore delle deformazioni
2.1. Corpo continuo, 71 – 2.2 La matrice rotazione, 79 – 2.3.
La matrice delle deformazioni, 80 – 2.4. Le componenti del
tensore della deformazione, 81 – 2.4.1. Deformazione lineare
specifica, 82 – 2.4.2. La deformazione angolare specifica, 83 –
2.4.3. Esempi di stili di deformazione, 85 – 2.5. La variazione
specifica di volume, 87 – 2.6. Direzioni principali, 90 – Appendice, 96
7
8
Indice
97
Capitolo III
Il tensore degli sforzi
3.1 Analisi del campo di forze interne in un mezzo continuo,
97 – 3.1.1. Teorema della divergenza, 99 – 3.2. Condizione di
equilibrio statico di un solido, 106 – 3.3. Stato dello sforzo in
un punto, 109 – 3.4. Assi principali del tensore degli sforzi,
113 – 3.5. Sforzo idrostatico o sferico e sforzo deviatorico, 116
121
Capitolo IV
Esercizi su invarianti dello sforzo
139
Capitolo V
Diagramma circolare dello sforzo
5.1. Stato dello sforzo piano, 141 – 5.2. Esercizi, 159 – 5.2.2
Calcolo degli sforzi principali, 159 – Appendice, 160
167
Capitolo VI
La legge di Hooke
6.1. Relazione lineare tra sforzo e deformazione, 167 – 6.2.
Comportamento elastico, 174 – 6.3. Energia elastica di deformazione, 176 – 6.3.1. Comportamento elastico–fragile, 187 – 6.3.2.
Comportamento elasto–plastico rammollente, 188 – 6.4. Principio di sovrapposizione, 191 – 6.5. Esercizi, 191 – 6.6. Rapporto
di Poisson, 193 – 6.7. Variazione volumetrica e costanti di Lamè,
197
201
Capitolo VII
Legge di Hooke generalizzata
7.1. Matrice dei termini di cedevolezza e di rigidità, 201 – 7.2. Il
modulo di scorrimento tangenziale, 207 – 7.3. Limiti del rapporto di Poisson, 212
Indice
221
Capitolo VIII
Proprietà di un mezzo granulare
8.1. Criterio di classificazione di un mezzo granulare, 221 –
8.2. Resistenza meccanica di un mezzo granulare, 224 – 8.3.
Condizioni di fagliamento di una struttura litologica semplice,
227 – 8.4. Stato dello sforzo in uno strato litosferico, 234
245
Capitolo IX
Stato dello sforzo in un terreno saturo
9.1. L’acqua in un mezzo granulare, 245 – 9.1.1. Terreno Secco, 246 – 9.1.2. Terreno saturo con acqua in quiete, 247 –
9.1.3. Terreno saturo con acqua in regime di filtrazione, 247 –
9.2. Proncipio di Terzaghi, 250 – 9.2.1. Le differenze, 254 –
9.2.2. Pressioni Neutre, 258 – 9.2.2. Pressioni Efficaci, 258 –
9.2.3. Pressioni Totali, 259 – 9.3. L’azione dell’acqua libera in
condizioni dinamiche, 260 – 9.3.1. Equazione di Continuità,
261 – 9.3.2. Equazione di Bernoulli, 262 – 9.3.3. Energia potenziale, 263 – 9.3.4. Energia cinetica, 263 – 9.3.5. Energia di
pressione, 263 – 9.4. Moti di filtrazione e Legge di Darcy, 270
277
Capitolo X
Equazione delle onde elastiche
10.1. Confronto tra le velocità delle onde sismiche di volume, 290
– 10.2. Rapporto tra vp e vs, 294 – 10.3. Rigidità sismica, 297 –
10.4. Coefficiente di Riflessione R, 302 – 10.4.2. Coefficiente di
Trasmissione T, 304
307
Capitolo XI
La reologia
11.1. Viscosità ed aderenza, 310 – 11.2 Legge di Newton o della viscosità, 312 – 11.3. Funzione di creep, 316 – 11.4. Viscoelasticità (modelli viscoelastici), 319 – 11.4.1. Solido di Maxwell, 319 – SOLIDO DI KELVIN & VOIGT, 322 – Appendice,
327
9
10
Indice
329
Capitolo XII
La risposta ad un segnale sinusoidale
12.1. Moduli complessi e tangente di perdita, 334 – 12.2. Analisi dei modelli di Kelvin–Voigt e Maxwell nel dominio della
frequenza, 338 – Appendice, 343
Capitolo I
Richiami di algebra vettoriale
La matematica è stata definita il linguaggio della fisica. Le leggi della fisica vengono scritte mediante equazioni matematiche che mettono in relazione le grandezze caratterizzanti il fenomeno che si vuole descrivere.
Le grandezze utilizzate per descrivere i fenomeni fisici possono essere
definite come scalari e/o vettoriali.
Grandezze scalari, definibili mediante un numero reale, come ad esempio
la temperatura di un generico punto di una stanza, la pressione ad una certa
profondità del mare ecc.
Grandezze vettoriali, quelle che nel generico punto dello spazio tridimensionale euclideo, possono essere individuate da tre numeri reali; questa terna,
adottando la rappresentazione intrinseca è definita da un numero reale non
negativo, una direzione ed un verso; se invece si adotta una rappresentazione
cartesiana, allora la terna è costituita dalle tre componenti spaziali.
Ad esempio una forza è una grandezza vettoriale, la cui azione è completamente definita specificando il suo modulo, la direzione di azione ed il verso; anche per definire la posizione di un punto nello spazio è necessario specificare oltre alla distanza che lo separa da un punto di riferimento, anche la
direzione ed il verso di percorrenza.
Si definiscono grandezze tensoriali, quelle grandezze che possono essere
individuate solo attraverso un certo numero di vettori.
La deformazione che subisce un corpo solido è descritta mediante il tensore delle deformazioni, così come lo stato dello sforzo in un corpo solido è
descritto dal tensore dello sforzo.
15
16
Capitolo I
1.1. Rappresentazione intrinseca dei vettori
Come detto precedentemente un vettore è rappresentato da un segmento
orientato, la retta che lo sostiene è definita direzione del vettore, la lunghezza del segmento è definita modulo del vettore l’orientazione del segmento
lungo la sua direzione si definisce verso.
Un estremo del segmento viene definito origine del vettore, l’altro invece
semplicemente estremo libero.
L’estremo libero di un vettore si indica con la punta di una freccia, nella
figura successiva è illustrata la rappresentazione intrinseca di due vettori.
La rappresentazione algebrica di un vettore
è indicata da una lettera mir r r
nuscola sormontata da una freccia es: a b c .
1.1.1. Operazioni sui vettori
Nell’insieme dei vettori possono essere definite una serie di operazioni,
tra cui la somma, la differenza e anche il prodotto.
1.1.1.1. Somma di due vettori
r
r
Se consideriamo due vettori a e b , che condividono la stessa retta di
sostegno o che comunque hanno due rette di sostegno parallele, dalla loro
r
somma si ottiene il vettore c , il cui modulo è dato dalla soma dei moduli, la
direzione è quella dei vettori di partenza ed il verso è quello definito dal segno, risultante dalla somma.
Richiami di algebra vettoriale
17
Quanto appena detto deriva da una proprietà dei vettori e cioè
Un vettore può essere traslato lungo la sua retta di sostegno e la retta di sostegno può essere traslata parallelamente a se stessa.
Se le rette di sostegno dei due vettori non sono parallele, come nello
schema illustrato nella figura successiva allora si ricorre all’uso della regola
del parallelogrammo, costruito proprio grazie alle due proprietà appena enunciate;
Grazie a queste, la configurazione sopra illustrata può essere trasformata
nelle due successive configurazioni equivalenti:
Dalla combinazione di queste due configurazioni si costruisce un parallelogrammo come quello illustrato nella figura successiva.
18
Capitolo I
Questo parallelogrammo è caratterizzato da spigoli opposti con caratteristiche diverse, lo spigolo A è caratterizzato dalla sovrapposizione delle origini dei due vettori, mentre nello spigolo B convergono gli estremi liberi dei
due vettori.
Gli spigoli C e D sono equivalenti poiché in ognuno di questi punti si sovrappongono l’estremo libero di un vettore cono l’origine dell’altro.
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMO
r
r
r
Si definisce vettore somma tra i vettori a e b il vettore c la cui direzione è individuata dalla retta che unisce i punti A e B del parallelogrammo, il
modulo del vettore somma è pari alla distanza che separa questi due punti ed
r
il verso è quello che va dal punto A, origine del vettore c , al punto B estremo libero.
L’espressione che descrive l’operazione di somma è la seguente:
Richiami di algebra vettoriale
19
r r r
a+b =c
La direzione di un vettore è riferita ad una direzione principale per mezzo
di un angolo.
Per orientare due vettori nello spazio si ricorre all’angolo tra loro compreso, come illustrato nella figura successiva
Il modulo del vettore somma si ottiene risolvendo il triangolo che nel parallelogrammo è indicato con i punti ABC.
r r r
Questo triangolo è costruito con i moduli dei vettori a , b e c .
r
r
I dati per risolvere questo problema sono: modulo di a ; modulo di b ;
angolo compreso tra i due vettori dati θ.
r
In questa configurazione il modulo del vettore c si ottiene risolvendo il
triangolo ACB o ADB, applicando il teorema dei coseni definito come la generalizzazione del teorema di Pitagora:
c = a + b − 2 a b ⋅ cos(π − θ )
2
2
2
PROPRIETÀ DELLA SOMMA VETTORIALE
r
r
r
r
commutativa a +rb = b + a r
r
r r
r
associativa a + b + c = a + b + c
(
)
(
)
20
Capitolo I
1.1.1.2. Differenza tra due vettori
r
r
La differenza tra il vettore a ed
r il vettore b si esegue operando la somr
ma tra il vettore a e l’opposto di b .
PROPRIETÀ DELLA DIFFERENZA TRA DUE VETTORI
r
r
r r r
a − b = a + (−b ) = d
r
v
Considerando sempre i due
r vettori a e b , la loro differenza, che in questo caso genera il vettore d , si ottiene secondo lo schema della figura successiva:
Anche in questo caso il modulo del vettore differenza si ottiene ricorrendo al teorema dei coseni, quindi:
d 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos(θ )
r
v
l’angolo θ è sempre l’angolo compreso tra i vettori a e b che in questa
geometria è anche l’angolo compreso tra i due lati noti.
1.1.1.3. Prodotto di un vettore per uno scalare
r
r
Il prodotto tra una quantità salare α ed un vettore a genera un vettore b car
r
ratterizzato rdalla stessa retta di sostegno del vettore a e verso concorde
r ad a , il
modulo di b è definito dal prodotto tra lo scalare α ed il modulo di b :
Richiami di algebra vettoriale
21
r
r
b =α ⋅a
r
r
b =α ⋅ a
r
osservando l’ultima espressione possiamo dedurre che il vettore b è nullo se
r
è nullo lo scalare α oppure se èr nullo il vettore a .
r
In particolare avremo a = b quando α = 1
Per terminare, definendo gli scalari α e β appartenenti all’insieme dei
numeri reali α , β ∈ R possiamo scrivere le espressioni derivanti dalle proprietà commutativa ed associativa:
(α ⋅ β ) ⋅ ar = α (β ⋅ ar )
r
r
r
r
b = (α + β ) ⋅ a = α ⋅ a + β ⋅ a
(ar + br )⋅ α = α ⋅ ar + α ⋅ br
Il prodotto tra uno scalare ed un vettore si può essere scritto anche nel seguente modo:
r
r
b = α ⋅ a ⋅ sˆ
in questa espressione il carattere vettoriale è espresso dal parametro ŝ , poiché le quantità che lo precedono sono di natura scalare; questo parametro è
r
un vettore che non modifica il modulo α ⋅ a , quindi è un vettore caratterizzato da un modulo unitario, questo particolare vettore è definito versore.
Il versore evidenzia le caratteristiche direzionali del generico vettore, per
quanto appena detto un vettore può essere definito dalla seguente espressione vettoriale:
r r
b = b ⋅ sˆ
r
i vettori b ed ŝ hanno la stessa retta di sostegno.
22
Capitolo I
1.1.1.4. Prodotto scalare o “interno”
Il prodotto scalare tra due vettori è una quantità scalare, il cui valore si ottiene dal prodotto dei moduli dei due vettori, per il coseno dell’angolo
compreso:
ϑ = a ⋅ b ⋅ cos(θ )
Il prodotto scalare tra due vettori ortogonali tra loro è nullo.
in termini vettoriali questa operazione si scrive:
(
) (
r r
r r
ϑ = a×b = b ×a
)
questa scrittura vuole evidenziare che questo prodotto gode della proprietà
commutativa.
Il prodotto scalare tra un vettore e sé stesso, è una quantità scalare pari al
quadrato del suo modulo quindi:
r r r2
v ×v = v
il prodotto scalare tra un versore e sé stesso è pari all’unità:
2
eˆ × eˆ = eˆ = 1
con questa proprietà possiamo ottenere l’espressione del teorema di Carnot o
dei coseni: presi tre vettori complanari con diverse direzioni, possiamo costruire il seguente triangolo:
Richiami di algebra vettoriale
r
23
r
Il vettore somma a + b possiamo indicarlo nel seguente modo:
r r r
c =a +b
L’espressione che descrive il prodotto scalare tra il vettore somma e se
stesso è la seguente:
(
)(
r r r r r r
c ×c = a +b × a +b
)
sviluppando il prodotto scalare al secondo membro avremo:
(
) (
) (
)
r r
r r
r r r r
r r
c × c = (a × a ) + b × b + a ⋅ b ⋅ cos γ + b ⋅ a ⋅ cos γ =
r r
2
2
2
c = a + b + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
(
)
dalla figura risulta anche che l’angolo compreso tra i vettori è γ = π − α ,
dove l’angolo α è l’angolo compreso tra i due lati noti del triangolo, quindi
operando la sostituzione avremo
(
)
r r
c 2 = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(π − α )
Applicando le formule di addizione e sottrazione degli angli avremo:
24
Capitolo I
cos(π − α ) = cos π ⋅ cos α + senπ ⋅ senα = − cos α
sostituendo questa quantità avremo
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos α
Il teorema di Carnot è la generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale
descrive lo stesso sistema nel caso particolare dell’angolo α =
π
2
1.1.1.5. Prodotto vettoriale o “esterno”
Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore e si definisce con la seguente scrittura,
(
r r r
v = a ∧b
)
il modulo di questo vettore si ottiene dalla seguente relazione:
v = a ⋅ b ⋅ sin (θ )
la direzione è quella normale al piano che contiene i due vettori di partenza,
il verso è quello che un osservatore posto sull’origine dei due vettori vede
ruotare in senso antiorario il primo vettore per sovrapporsi al secondo coprendo l’angolo più piccolo; il modulo è dato dall’area del parallelogrammo,
come illustrato nello schema della figura successiva.
Richiami di algebra vettoriale
25
Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa quindi:
(
) (
r r
r r r
v = a ∧b = −b ∧a
)
1.2. Rappresentazione cartesiana dei vettori
La rappresentazione intrinseca dei vettori è spesso sostituita dalla più
comoda rappresentazione cartesiana, che è ottenuta fornendo le tre proiezioni del segmento orientato lungo gli assi cartesiani del sistema di riferimento
adottato.
In uno spazio cartesiano a tre dimensioni, un punto P{x, y, z} , viene inr
dividuato da un raggio vettore v il cui modulo è dato dalla misura del segmento OP , dove l’estremo O coincide con l’origine del sistema di riferimento cartesiano adottato.
Le proiezioni di questo segmento sugli assi coordinati si definiscono i
moduli delle componenti cartesiane del vettore, queste coincidono con le coordinate cartesiane del punto P:
OX = x
OY = y
OZ = z
r
Le tre componenti cartesiane sono legate al vettore v per mezzo dalla
seguente relazione vettoriale:
26
Capitolo I
r
r r
r
v = xi + yj + zk
Le quantità iˆ; ˆj; kˆ sono vettori di modulo unitario le cui direzioni sono
quelle positive degli assi x; y; z, questi tre parametri formano quella che viene definita base ortonormale dello spazio.
r
Le tre componenti scalari di v , sono x; y; z queste vengono definite
come le proiezioni del vettore sui tre assi coordinati, i loro valori si ottengono dalle seguenti relazioni:
r
v x = x = v ⋅ cos(α )
r
v y = y = v ⋅ cos(β )
r
v z = z = v ⋅ cos(γ )
r
questo risultato si ottiene operando il prodotto scalare tra il vettore v ed i
versori della base ortonormale
r
r
r
x = v × iˆ = v ⋅ iˆ ⋅ cos(α ) = v ⋅ cos(α )
r
r
r
y = v × ˆj = v ⋅ ˆj ⋅ cos(β ) = v ⋅ cos(β )
r
r
r
z = v × kˆ = v ⋅ kˆ ⋅ cos(γ ) = v ⋅ cos(γ )
usando il simbolismo delle matrici un vettore può essere rappresentato mediante una matrice riga o colonna:
vX
r
v = vY = (v X
v
Z
vY
vZ )
1.2.1. Coseni direttori
I tre angoli che compaiono come l’argomento del coseno nelle tre
espressioni precedenti, sono quelli che definiscono la direzione del vetr
tore v ; quindi α è l’angolo formato tra il vettore e l’asse X, β è l’an-
Richiami di algebra vettoriale
27
golo formato tra il vettore e l’asse Y, γ è l’angolo formato tra il vettore
e l’asse Z.
Questi tre parametri sono definiti coseni direttori; nel seguito questi parametri verranno indicati anche nel seguente modo:
l = cos α , m = cos β , n = cos γ
Come è stato precedentemente detto le componenti cartesiane di un vettore sono definite dalla misura delle sue proiezioni lungo gli assi coordinati,
quindi il versore ê , che caratterizza una generica direzione dello spazio, sarà
definito dalle seguenti componenti cartesiane:
eX = eˆ ⋅ cosα = cosα
eY = eˆ ⋅ cos β = cos β
eZ = eˆ ⋅ cos γ = cos γ
Possiamo quindi concludere che le componenti cartesiane del generico
versore sono i coseni direttori della retta che lo sostiene.
r
Consideriamo ora il vettore v , questo può essere scritto come il prodotto
del suo modulo per il versore associato alla retta che lo sostiene.
r r
v = v ⋅ eˆ
Isolando il versore al primo membro otteniamo la seguente espressione:
r
v v X i + vY j + vZ k
eˆ = r =
v
v X2 + vY2 + vZ2
Il terzo membro possiamo scriverlo come la somma di tre quantità:
eˆ =
vX
v +v +v
2
X
2
Y
2
Z
iˆ +
vY
v +v +v
2
X
2
Y
2
Z
ˆj +
vZ
v +v +v
2
X
2
Y
I coefficienti dei tre versori sono proprio i coseni direttori,
2
Z
kˆ
28
Capitolo I
eˆ = iˆ ⋅ cosα + ˆj ⋅ cos β + kˆ ⋅ cos γ
Oppure:
r
v
eˆ = r = iˆ ⋅ cos α + ˆj ⋅ cos β + kˆ ⋅ cos γ
v
Usando il simbolismo matriciale avremo:
cosα
ê = cos β
cos γ
nel caso particolare della base dello spazio avremo:
1
0
0
ˆ
iˆ = 0 ; ˆj = 1 ; k = 0
0
0
1
Come abbiamo detto precedentemente la relazione vettoriale, che lega il
vettore alle sue componenti cartesiane è:
r
v = v x iˆ + v y ˆj + v z kˆ
questa relazione può essere scritta anche con il simbolo di sommatoria,
quindi
3
)
v = v1eˆ1 + v2 eˆ2 + v3eˆ3 = ∑ vi ⋅ ei
i =1
1.2.2. Somma e sottrazione
In un riferimento cartesiano le operazioni tra vettori si eseguono come di
seguito:
Richiami di algebra vettoriale
29
1.2.2.1. Somma tra due vettori
(
) (
r r
a + b = a x ⋅ iˆ + a y ⋅ ˆj + a z ⋅ kˆ + bx ⋅ iˆ + by ⋅ ˆj + c z ⋅ kˆ
)
Mettendo in evidenza i versori della base ortonormale avremo:
r r
a + b = (a x + bx ) ⋅ iˆ + (a y + by )⋅ ˆj + (a z + bz ) ⋅ kˆ
(
)
Dove: (a x + bx ) , a y + by e (a z + bz ) sono i moduli delle componenti
cartesiane del vettore somma.
Il vettore somma con il simbolismo matriciale può essere espresso nel seguente modo:
a X + bX
a + b = aY + bY
a +b
Z
Z
1.2.2.2. Differenza tra due vettori
(
) (
r r
a − b = a x ⋅ iˆ + a y ⋅ ˆj + a z ⋅ kˆ − bx ⋅ iˆ + by ⋅ ˆj + c z ⋅ kˆ
)
Mettendo in evidenza i versori della base ortonormale avremo:
r r
a − b = (a x − bx ) ⋅ iˆ + (a y − b y ) ⋅ ˆj + (a z − bz ) ⋅ kˆ
(
)
Dove: (a x − bx ) , a y − by e (a z − bz ) sono i moduli delle componenti
cartesiane del vettore differenza.
Il vettore differenza, con il simbolismo matriciale può essere espresso nel
seguente modo:
a X − bX
a − b = aY − bY
a −b
Z
Z
