Programma del corso - Dipartimento di Matematica

Programma di Analisi Matematica n.1 n. 2 CFU 14
Laurea in Matematica (triennale)
AA 2007/2008
Prof. Giuseppe Muni,
Esercitazioni: Dott.ssa Sandra Lucente
Preliminari.
Connettivi e quantificatori. Unione, intersezione, complementare e prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni funzionali e funzioni tra insiemi. Immagine diretta e immagine reciproca. Applicazioni ingettive, surgettive e bigettive.
Restrizioni e prolungamenti di funzioni. Applicazione composta di applicazioni. Applicazione invertibile e sua
inversa. Relazioni d’ordine e di totale ordine su un insieme. Relazioni di equivalenza.
Insiemi numerici
Numeri naturali ℕ, interi ℤ, razionali ℚ e loro strutture. Principio di induzione. Binomio di Newton. Disuguaglianza
di Bernoulli.
Assiomi dei numeri reali ℝ e conseguenze. Insiemi numerici limitati e non limitati (inferiormente, superiormente).
Maggioranti, minoranti, minimo, massimo di un insieme (unicità). Estremo inferiore, estremo superiore e loro
proprietà caratteristiche. Completezza di ℝ e incompletezza di ℚ. Densità di ℚ e del suo complementare in ℝ. ℝ è
archimedeo. ℝ è separato.
Numeri complessi, forma geometrica, algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Formule di De Moivre, radici di un
numero complesso. Polinomi e loro fattorizzazione in ℂ e in ℝ.
Funzioni: nozioni generali
Funzioni limitate, non limitate (inferiormente, superiormente). Minimi, massimi, minoranti, maggioranti, estremo
inferiore, estremo superiore di una funzione. Monotonia, simmetrie e periodicità di una funzione. Esistenza della
radice ennesima, costruzione della funzione esponenziale e logaritmo. Funzioni elementari e loro grafici. Riepilogo
delle proprietà di trigonometria. Equazioni e disequazioni. Operazioni elementari sui grafici di funzione.
Limiti di funzioni
Topologia di ℝ: insiemi aperti e chiusi, intorni di un punto, punti aderenti ad un insieme e punti di accumulazione.
Funzioni regolari per 𝑥 → 𝑥0 e loro limiti. Limiti notevoli. Funzioni convergenti, divergenti positivamente, negativamente. Funzioni localmente limitate in 𝑥0 . Teorema: ogni funzione convergente in 𝑥0 è localmente limitata.
Teorema della permanenza delle diseguaglianze. Teorema della convergenza obbligata e del confronto. Operazioni
delle funzioni regolari e loro limiti, forme indeterminate. Teorema sulla regolarità della composta di funzioni. Limiti
a destra e a sinistra di 𝑥0 . Teorema sui limiti delle funzioni monotone. Massimo e minimo limite per funzioni in un
punto 𝑥0 . Criterio di convergenza di Cauchy per funzioni. Infiniti e infinitesimi. Il simbolo 𝑜(𝑓 ).
Successioni numeriche
Successioni regolari e loro limiti. Ogni successione convergente è limitata. Teorema della conservazione delle disuguaglianze per successioni. Teorema della convergenza obbligata e di confronto per successioni. Teorema sul limite
𝑛
delle successioni monotone. Il numero di Nepero come limite della successione (1 + 1/𝑛) . Operazioni con successioni regolari e loro limiti. Legami tra i limiti delle funzioni per 𝑥 → 𝑥0 e limiti delle successioni che hanno 𝑥0 come
limite. Successioni estratte da una successione. Teorema sul limite delle successioni estratte. Massimo e minimo
limite di una successione e loro proprietà caratteristiche. Valori di aderenza di una successione. Relazione tra i
valori di aderenza e i limiti delle successioni estratte convergenti. Teorema: il massimo (risp. il minimo) limite
di una successione è il più grande (risp. il più piccolo) valore di aderenza della successione. Teorema di BolzanoWeierstrass: da ogni successione numerica limitata si può estrarre una convergente. Caratterizzazione degli insiemi
limitati. Successioni di Cauchy, criterio di convergenza di Cauchy. Criterio del rapporto per limiti di successioni.
Criteri di Cesaro (media aritmetica e geometrica, radice ennesima).
Funzioni continue
Funzioni continue e loro proprietà. Primo e secondo teorema di Weierstrass. Teorema di Bolzano per funzioni
continue in un intervallo. Teorema degli zeri. Funzioni lipschtziane. Funzioni uniformemente continue. Teorema
di prolungamento. Teorema di Cantor. Punti di discontinuità ed eventuale prolungamento continuo. Punti di
discontinuità di una funzione monotona. Continuità dell’inversa di una funzione continua 𝑓 : 𝐴 → ℝ con 𝐴 intervallo
oppure 𝐴 chiuso e limitato.
Calcolo differenziale
Funzioni derivabili in un punto. Definizione di derivata e continuità delle funzioni derivabili. Derivate a destra e
a sinistra. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Derivate delle
funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata delle funzioni composte. Derivata delle funzioni inverse.
Derivate di ordine superiore. Punti di massimo e di minimo relativo. Il teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di
Cauchy, di Lagrange. Funzioni con derivata nulla, funzioni con derivata limitata. Funzioni crescenti in un punto.
Relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia della funzione. I teoremi di L’Hôpital. Funzioni convesse
in un punto. Relazione tra convessità e derivata seconda. Funzioni convesse in un intervallo. Punti di flesso. Asintoti
verticali, orizzontali e obliqui al grafico di funzione. Studio del grafico di una funzione.
Polinomi di Taylor. Formula di Taylor col resto di Peano. Formula di Taylor con il resto di Lagrange. Applicazione
del teorema di Taylor per la determinazione di punti di massimo, minimo e flesso di una funzione. Sviluppi di Taylor
per funzioni elementari.
Calcolo integrale
Misura secondo Peano Jordan in ℝ2 e in ℝ. Sottoinsiemi contigui di ℝ. Partizioni di intervalli chiusi e limitati.
Funzioni integrabili secondo Riemann su un intervallo chiuso e limitato e loro integrale. Significato geometrico.
Criteri di integrabilità. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni continue. Proprietà delle
funzioni integrabili e del loro integrale. I teoremi della media integrale. La funzione integrale e le sue principali
proprietà. Il teorema sull’esistenza di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula di Taylor con
resto integrale. Integrali indefiniti. Integrali indefiniti elementari e immediati. Integrazione delle funzioni razionali.
Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrali generalizzati: integrazione di una funzione su una semiretta, o di una funzione illimitata su un intervallo
limitato. Principio del confronto. Convergenza e assoluta convergenza.
Serie numeriche.
Successioni definite per ricorrenza. Definizione e prime generalità sulle serie. La serie di Mengoli. Le serie telescopiche. La serie geometrica. Applicazione alla rappresentazione decimale. La serie armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di Cauchy per serie. Resto ennesimo di una serie. Il carattere di
una serie non cambia alternandone un numero finito di termini. Serie a termini non negativi. Criteri di confronto.
Criterio del confronto asintotico. Criterio di condensazione di Cauchy. La serie armonica generalizzata. Criterio
degli infinitesimi. Criterio della radice, criterio del rapporto e confronto sulla loro efficacia. Criterio di Raabe. Serie
assolutamente convergenti. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. La serie armonica
a segno alterno. Criterio dell’integrale.
Serie in campo complesso. Il prodotto alla Cauchy di due serie (cenni). Proprietà associativa per serie, riordinamenti
e serie incondizionatamente convergenti (cenni). Relazione tra gli sviluppi di Taylor e la somma di una serie (cenni).
Prodotti infiniti (cenni)
Testi consigliati:
∙ Acerbi E., Buttazzo G., Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editore.
∙ G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri Editore.
∙ P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, vol. I Parte 1, Parte 2, Liguori Editore.
∙ A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2, Liguori Editore.
Si consulti la pagina web www.dm.uniba.it∖˜lucente∖didattica∖0708∖didattica0708.html.