cenni di matematica finanziaria 22 05 2012

Cenni di Matematica Finanziaria
Corso: Economia ed estimo forestale ed ambientale.
S. Severini (Università della Tuscia, Viterbo)
1
Saggio di interesse
Cn  C0  I
I  C0  r  Cn  C0  C
Cn  C0  C0  r  C0  1  r   M
Cn  C0 C
r

 C%
C0
C0
Cn capitale al periodo finale
C0 capitale al periodo iniziale
I interesse maturato sul capitale
r saggio di interesse (%)
M montante
Vari regimi di interesse. I più importanti ai nostri fini sono:
Interesse semplice: l’interesse maturato sul capitale si somma al capitale che lo
ha generato al termine di un periodo inferiore o uguale ad un anno.
Interesse composto discontinuo annuo: l’interesse maturato sul capitale si
somma al capitale che lo ha generato al termine di ogni anno.
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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Interesse semplice
I  C0  r  t
M  C0  I  C0  1  r  t 
t il tempo è espresso come frazione
dell’anno (es. 250/365 giorni)
q = (1 + r)
Interesse composto discontinuo annuo
t si assume pari a 1
C0
C1  C0  1  r 
C2  C1  1  r   C0  1  r    1  r 
q = (1 + r)
.....
Cn  Cn 1  1  r   C0  1  r   .....  1  r   C0  1  r   C0  q n
n
S. Severini
(Università della Tuscia,
n volte
Viterbo)
3
Posticipazioni e anticipazioni di un valore
monetario
Posticipazione
1  r n  q n
n
0
tempo
Anticipazione
1
1
 n
n
1  r  q
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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Annualità
Aggregazione in un Valore Capitale di una serie di importi
annuali costanti o variabili (Ci riferiremo alle COSTANTI)
Classificazione:
Durata:
• limitate: importi annui sono in numero finito (n)
• illimitate: importi annui sono in numero indefinito
Periodo di riferimento:
• anticipate: importi annui si realizzano a inizio anno
• posticipate importi annui si realizzano a fine anno
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
5
Accumulazione finale di annualità posticipate (a
fine anno) costanti (a) limitate per n anni (An)
Per l’accumulazione iniziale (A0), anticipare all’attualità
il valore finale (dividendo An per qn).
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
6
Accumulazione annualità limitate posticipate (a fine anno) costanti
Accumulazione _ finale :
n  n 1
An  a  q n 1  a  q n  2  a  q n 3  .....  a  q    a  q n  n 

 a q
n 1
q
n2
 .....  q
n  n 1
q
nn
  a  q
n 1
q
n2

qn 1
qn 1
 .....  q  1  a 
 a
q 1
r
Accumulazione _ iniziale :
qn 1 1
A0  An  n  a 
 n
r
q
q
1
Accumulazione annualità limitate anticipate (a inizio anno) (aa) costanti
q n 1 1
Accumulazione _ iniziale : A0   aa  q  
 n
r
q
qn 1
Accumulazione _ finale : An  A0  q   aa  q  
r
n
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
Poiché:
aa = a q
7
Accumulazione di annualità illimitate costanti
Accumulazione iniziale (Non ha senso l’accumulazione finale):
• n tende all’infinito
• a ed r sono costanti
n
1 
q 1  n 
n
 q 
q 1
a


A0  lim a 

lim

n 
r  q n n r
qn

a
1  a
a
 lim 1  n    1 
r n   q  r
r
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
8
Periodicità
Valori economici che ricorrono in intervalli temporali costanti
superiori ad un anno (es. durata del turno)
• t intervallo temporale della periodicità (es. 16 anni)
Periodicità:
• Limitate e Illimitate
• Posticipate o Anticipate (Vedremo solo le prime)
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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Accumulazione finale di periodicità posticipate costanti
(P), di durata t, finite (che si ripetono per n volte) (Ant)
0
t
2t
(n-1)t
nt
Per l’accumulazione iniziale (A0), anticipare all’attualità
il valore finale (dividendo Ant per qnt).
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Viterbo)
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Accumulazione di periodicità limitate
posticipate costanti (P)
Accumulazione _ finale :
Ant  P 
q
nt
P = valore della periodicità
t = durata del periodo in anni (es. turno)
1
n = numero di volte che si verificano le
periodicità
q 1
t
Accumulazione _ iniziale :
A0  Ant 
1
q
nt
 P
q nt  1

1
q  1 q nt
t
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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Accumulazione iniziale di periodicità illimitate
Periodicità posticipate:
 q nt  1 1 
 q nt  1 
1
A0  lim  P  t
 nt   P  t
 lim  nt 



n 
n   q
q

1
q
q

1





1
1 
1
 P t
 lim 1  nt   P  t
q  1 n   q 
q 1
Periodicità anticipate (Pa):
Prima si trasforma la periodicità anticipata (Pa) in posticipata (P) (P = Pa
qn) e poi si usa la formula sopra:

A0  Pa  q
n
  q 1
1
t
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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Fasi della soluzione di problemi di
matematica finanziaria
•
•
•
•
•
•
Definizione dei dati disponibili (Dati e U.M.)
Rappresentazione grafica del problema
Identificazione del quesito
Procedimento (Formule da applicare)
Obiettivi preliminari (passaggi intermedi)
Obiettivo finale
S. Severini (Università della Tuscia,
Viterbo)
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