CAPITOLO 1
Le isometrie nel piano
1. ISOMETRIE CON GEOGEBRA
Gli strumenti per eseguire trasformazioni geometriche si trovano nella nona icona. Nelle esercitazioni che seguono cercheremo di riconoscere le principali proprietaÁ delle isometrie, con particolare riguardo alle simmetrie assiali.
Esercitazione 1. Simmetrie, traslazioni e rotazioni
Disegniamo un triangolo ABC nel piano euclideo e troviamo:
1. il suo simmetrico rispetto a un punto O del piano;
2. il suo simmetrico rispetto a una retta r che assumiamo come asse di simmetria;
3. il suo corrispondente nella traslazione di un vettore ~
v assegnato;
4. il suo corrispondente in una rotazione di ampiezza attorno a un punto P.
Punto 1. Simmetria centrale
Disegniamo un triangolo ABC e un punto O; mediante il Menu contestuale visualizziamo poi le lettere in corrispondenza dei vertici.
Per costruire il triangolo simmetrico di ABC rispetto ad O usiamo lo strumento 9-Simmetrico rispetto a un punto;
la breve guida a lato della barra degli strumenti grafici ci dice che dobbiamo cliccare prima sull'oggetto da trasformare, nel nostro caso il triangolo ABC, e poi sul centro di simmetria, nel nostro caso il punto O.
Subito viene disegnato il triangolo A 0 B 0 C 0 ; notiamo che i punti che si corrispondono vengono indicati con la stessa lettera munita di un apice.
Per meglio evidenziare la procedura di costruzione,
tracciamo le rette che passano per i punti simmetrici:
tali rette evidentemente passano tutte per O (in figura
abbiamo modificato lo stile del tratto scegliendo la rappresentazione a puntini).
Scegliendo adesso un punto qualsiasi sul lato AB e troviamo il suo simmetrico rispetto ad O; dal menu contestuale di questi due punti spuntiamo la voce Traccia
attiva. Se adesso facciamo scorrere il primo punto
su AB, anche il suo simmetrico scorre su A 0 B 0 e delle
successive posizioni dei due punti rimane traccia sul foglio di lavoro.
Evidenziamo adesso gli angoli dei due triangoli con lo
strumento 8-Angolo, cliccando prima su un triangolo e
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Tema 2 - Cap. 1: LE ISOMETRIE NEL PIANO
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poi sull'altro (degli angoli viene indicata anche la misura in gradi e da essa possiamo giaÁ anticipare la congruenza
degli angoli corrispondenti).
Individuiamo le proprietaÁ di questa trasformazione usando il comando 10-relazione tra due oggetti:
l
l
l
cliccando su una coppia di angoli corrispondenti, per esempio su quelli di vertici A e A 0 ci viene comunicato
che i due angoli sono uguali (non viene usato in GeoGebra il termine "congruenti");
cliccando su una coppia di segmenti corrispondenti, per esempio su AB e A 0 B 0 ci viene comunicato che i due
segmenti hanno la stessa lunghezza (nella versione attuale viene detto che i due segmenti non sono uguali ma
che hanno la stessa lunghezza, versioni successive potrebbero aver corretto questo errore);
cliccando sui due triangoli, ci viene comunicato che sono uguali.
In modo del tutto analogo si deve procedere per soddisfare alle altre richieste; diamo solo alcuni cenni sui passi
da seguire, ricordando che si deve poi mostrare, tracciando opportuni segmenti, la procedura di costruzione.
Punto 2. Simmetria rispetto a una retta r
l
Si disegna la retta r asse di simmetria.
l
Si attiva lo strumento 9-Simmetrico rispetto a una retta e si clicca prima sul triangolo ABC e poi sulla retta r.
Punto 3. Traslazione di vettore ~
v
l
Si disegna un vettore con lo strumento 3-Vettore tra due punti.
l
Si attiva lo strumento 9-Trasla di un vettore e si clicca prima sul triangolo ABC e poi sul vettore.
Punto 4. Rotazione di ampiezza attorno a un punto P
l
Si attiva lo strumento 9-Ruota intorno a un punto di un angolo.
l
Si clicca sul triangolo ABC e poi sul punto P centro della rotazione.
l
Nella finestra di dialogo che si apre, si indica l'ampiezza dell'angolo e si sceglie il verso di rotazione orario oppure antiorario.
Esercitazione 2. Prodotto di isometrie
Dopo aver disegnato un triangolo ABC studiamo a che cosa equivale il prodotto di:
1. due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari
2. due simmetrie assiali con gli assi paralleli
3. due simmetrie assiali con gli assi fra loro incidenti in modo qualsiasi
4. due simmetrie centrali.
Punto 1. Prodotto di simmetrie assiali con gli assi perpendicolari
Disegnato il triangolo ABC e due rette a e b tra loro perpendicolari che si intersecano in O, troviamo il simmetrico di ABC rispetto alla retta a; successivamente il simmetrico del triangolo A 0 B 0 C 0 ottenuto rispetto alla retta b.
Tracciamo adesso i segmenti che uniscono i punti A e
A 00 , B e B 00 , C e C 00 ; tutti questi segmenti passano per
O che eÁ anche il loro punto medio (si puoÁ verificare
con lo strumento 2-Punto medio). I due triangoli ABC e
A 00 B 00 C 00 sono quindi simmetrici rispetto al punto O.
Questo conferma che: il prodotto di due simmetrie
assiali con gli assi perpendicolari equivale ad una
simmetria centrale avente centro nel punto di intersezione degli assi.
2
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Punto 2. Prodotto di simmetrie assiali con gli assi paralleli
In una nuova finestra grafica disegniamo un altro triangolo ABC e due rette a e b tra loro parallele; troviamo poi il
triangolo simmetrico di ABC rispetto ad a e poi il simmetrico di quest'ultimo rispetto a b.
Tracciamo ora i vettori che congiungono i punti omologhi A e A 00 , B e B 00 , C e C 00 . Usiamo lo strumento 10-Relazione tra due oggetti e clicchiamo prima sul vettore AA 00 e poi su BB 00 ; la finestra di dialogo che si apre ci comunica che i due vettori sono uguali. La stessa cosa capita quando clicchiamo su BB 00 e poi su CC 00 .
Possiamo allora concludere che ABC e A 00 B 00 C 00 si corrispondono in una traslazione di vettore AA 00 .
Per comprendere se esiste una relazione fra questo vettore e i due assi di simmetria, tracciamo il vettore che
esprime la distanza tra le due rette parallele:
l
l
da un punto di a tracciamo la perpendicolare ad a e determiniamo il punto di intersezione con b
tracciamo il vettore ~
z che unisce questi due punti con verso dalla retta a alla retta b.
Costruiamo adesso un vettore ~
s che sia uguale al doppio del vettore ~
z:
l
nella barra di inserimento scriviamo
l
confermiamo con INVIO.
s2z
Nella Vista Grafica viene visualizzato il vettore ~
s.
Usando lo strumento 10-Relazione tra due oggetti
confrontiamo il vettore ~
s con uno qualunque dei vettori
00
00
00
AA , BB , CC : i due vettori sono uguali.
Dunque:
il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi
paralleli equivale ad una traslazione di vettore
perpendicolare agli assi e di modulo doppio della
loro distanza.
Punto 3. Prodotto di simmetrie assiali con gli assi fra loro incidenti in modo qualsiasi
Disegniamo due rette a e b incidenti in un punto O ma
non perpendicolari ed eseguiamo le due simmetrie,
prima rispetto alla retta a e poi alla retta b.
Definiamo adesso l'angolo fra le due rette (orientato
da a verso b) ed eseguiamo una rotazione del triangolo
ABC attorno ad O di ampiezza pari a 2 (il verso di rotazione eÁ orario oppure antiorario a seconda di come si
sono scelte le rette a e b; nella figura il verso eÁ orario).
Nella rotazione il triangolo ABC corrisponde di nuovo al
triangolo A 00 B 00 C 00 .
Abbiamo cosõÁ verificato che:
il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi incidenti in O e che formano un angolo di ampiezza
eÁ equivalente a una rotazione di ampiezza 2
e
centro O.
Punto 4. Prodotto di simmetrie centrali
Dopo aver di nuovo costruito un triangolo ABC, fissiamo due punti P e Q che rappresentano i centri delle due simmetrie. Costruiamo il simmetrico di ABC rispetto al punto P e poi il simmetrico di quest'ultimo rispetto al punto Q.
Per evidenziare le due simmetrie tracciamo anche i segmenti che uniscono i punti omologhi dei triangoli che si
corrispondono e, per evitare possibili confusioni, usiamo il Menu contestuale per modificare lo stile del tratto (nella
figura che segue abbiamo scelto la linea a puntini).
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Per capire in quale trasformazione si corrispondono il
triangolo ABC e il triangolo A 00 B 00 C 00 , usando lo strumento 3-Vettore tra due punti, tracciamo il vettore
!
!
PQ e il vettore AA 00 (nella figura abbiamo modificato
lo stile attraverso il Menu contestuale e li abbiamo evidenziati rispettivamente in rosso e in verde con un tratto di spessore piuÁ marcato).
Troviamo poi il punto medio M del segmento AA 00 e
!
definiamo il vettore AM .
Mediante lo strumento 10-relazione tra due oggetti ve! !
rifichiamo che i due vettori PQ e AM sono uguali.
Abbiamo cosõÁ verificato che:
il prodotto di due simmetrie centrali equivale a
una traslazione di vettore doppio della distanza
tra i due centri.
2. ISOMETRIE CON CABRI
Gli strumenti per eseguire trasformazioni nel piano si trovano nell'icona Trasforma riportata a lato. Quelli che ci servono in questo capitolo sono solo i primi
quattro ed eÁ immediato capire a quale isometria si riferiscono. Vediamo dunque
come utilizzare questi strumenti.
Esercitazione 1. La simmetria assiale
Per trovare il simmetrico di un oggetto geometrico rispetto a una retta occorre
eseguire in sequenza ordinata queste operazioni:
l
selezionare lo strumento Simmetria assiale
l
indicare l'oggetto da trasformare
l
indicare l'asse di simmetria.
In genere l'asse di simmetria eÁ una retta o una sua parte, vale a dire che si puoÁ trovare il simmetrico di un oggetto
rispetto a un segmento o a un lato di un poligono; in questi casi viene assunta come asse di simmetria la retta a
cui appartiene quel segmento o quel lato.
Per renderti conto di come funzionano le cose, disegna nel foglio di lavoro un triangolo ABC e una retta r ed
esegui poi queste operazioni dopo aver attivato lo strumento Simmetria assiale:
l
l
clicca prima sul triangolo (quando avvicini il cursore compare il messaggio Simmetrico di questo triangolo) e poi
sulla retta (compare il messaggio Rispetto a questa retta); trovi cosõÁ il simmetrico di ABC rispetto a r
clicca prima sulla retta (compare il messaggio Simmetrica di questa retta) e poi su un lato del triangolo, per
esempio AB (compare il messaggio Rispetto a questo lato del triangolo); trovi cosõÁ la retta simmetrica di r rispetto ad AB.
Nella figura di pagina seguente, a sinistra eÁ rappresentato il risultato della prima operazione, a destra il risultato
della seconda, dove eÁ la retta del lato AB che viene considerata asse di simmetria. Devi quindi prestare attenzione
all'ordine con cui selezioni gli oggetti: prima l'oggetto di cui si vuole trovare il simmetrico, poi l'asse di simmetria;
in ogni caso il messaggio che compare quando avvicini il cursore ti guida nella scelta.
Verifichiamo adesso le proprietaÁ della simmetria assiale riferendoci inizialmente alla trasformazione di sinistra dell'immagine:
n nascondi il triangolo ABC (rimangono in evidenza i suoi vertici) e poi, con la stessa procedura, determina il
simmetrico di A 0 B 0 C 0 rispetto allo stesso asse r : ottieni di nuovo il triangolo ABC di partenza; la simmetria assiale eÁ quindi involutoria
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n disegna una retta s perpendicolare all'asse di simmetria e trova la sua trasformata: apparentemente
non accade nulla perche la retta trasformata coincide con se stessa. In realtaÁ se ti poni nella modalitaÁ
Puntatore e sposti il mouse sulla retta, compare il
messaggio "Quale oggetto?" perche le rette sono
due, sovrapposte. Possiamo allora dire che s eÁ
una retta unita
n prendi adesso un punto P su s e trova il suo trasformato: tale punto appartiene ancora a s ma non
coincide con P, cioeÁ non eÁ unito: le rette perpendicolari all'asse sono dunque rette unite ma non sono
rette di punti uniti.
Esercitazione 2. Le altre isometrie
Con procedure analoghe si eseguono le altre isometrie; vediamo quali sono le operazioni da eseguire.
n Simmetria centrale
Si seleziona lo strumento Simmetria centrale, si indica per primo l'oggetto da trasformare, si indica per secondo il centro della simmetria. Se il centro eÁ un punto giaÁ rappresentato nel foglio di lavoro, basta avvicinare il
cursore (compare il messaggio Rispetto a questo punto) e cliccare; se il centro non eÁ ancora stato disegnato,
si deve cliccare nel punto desiderato.
n Traslazione
Per eseguire una traslazione occorre assegnare il vettore di traslazione mediante lo strumento Vettore dell'icona Rette; il vettore viene disegnato cliccando nell'ordine nel punto origine e nel secondo estremo del vettore.
Si seleziona poi lo strumento Traslazione e si indica l'oggetto da trasformare e poi il vettore della traslazione.
n Rotazione
Per eseguire una rotazione occorre assegnare un punto (il centro della rotazione) e un angolo. L'angolo deve
essere disegnato prima di utilizzare questo strumento e puoÁ essere dato in diversi modi:
l cliccando su un angolo gia
Á rappresentato; in questo caso il verso della rotazione eÁ orario se l'arco eÁ stato
definito prendendo i punti in senso antiorario, eÁ antiorario in caso contrario.
l indicando l'ampiezza in gradi dell'angolo mediante lo strumento Numeri dell'icona Visualizza: scrivendo un
numero positivo la rotazione eÁ in verso antiorario, scrivendo un numero negativo eÁ in verso orario.
Fissati il centro e l'ampiezza, per eseguire una rotazione si deve procedere come per le altre trasformazioni:
indicare per primo l'oggetto a cui applicare la rotazione, per secondo il centro e per ultimo l'angolo.
Verifichiamo adesso le proprietaÁ di queste isometrie: disegna un segmento AB che useremo come oggetto da
trasformare ed esegui queste operazioni.
n Trova il simmetrico A 0 B 0 di AB rispetto ad un punto O e, usando gli opportuni strumenti, verifica che:
l AB ed il suo trasformato sono paralleli
l AB ed A 0 B 0 hanno la stessa lunghezza
l la simmetria centrale e
Á involutoria.
n Disegna un vettore ~
v ed applica ad AB la traslazione del vettore scelto; verifica che:
l AB ed il suo corrispondente nella traslazione sono paralleli e hanno la stessa lunghezza
l la traslazione non e
Á involutoria.
n Dopo aver indicato le seguenti ampiezze di angoli: 180, 60, fissa un punto O nel foglio di lavoro e, considerando sempre AB come oggetto iniziale, esegui le seguenti rotazioni di centro O:
l
di ampiezza 180 e verifica che A 0 B 0 si ottiene anche mediante la simmetria di centro O
l
di ampiezza
60 e verifica che la rotazione non eÁ involutoria.
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Esercitazione 3. Il prodotto di trasformazioni
Con Cabri eÁ facile anche vedere che cosa si ottiene eseguendo un prodotto di trasformazioni; verifichiamo per
esempio che il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi incidenti eÁ una rotazione di ampiezza uguale al doppio dell'angolo formato dai due assi.
Disegna dunque due rette r e s (gli assi di simmetria) e un segmento AB; esegui poi queste operazioni:
l
trova il simmetrico di AB rispetto a r e chiamalo CD
l
trova il simmetrico di CD rispetto a s e chiamalo EF
l
l
l
definisci l'angolo formato dalle due rette r e s e
trova la sua ampiezza
definisci l'angolo di rotazione uguale al doppio
dell'angolo (puoi usare la calcolatrice di Cabri e
trascinare il risultato nel foglio di lavoro in modo
che al variare dell'ampiezza di vari in corrispondenza anche ; ricorda poi di attribuire il segno
corretto all'ampiezza ottenuta)
nascondi il segmento EF (rimane la traccia dei suoi
estremi) e trova il corrispondente di AB nella rotazione di ampiezza .
Salvo errori di approssimazione, l'ultimo segmento
trovato si sovrappone al segmento EF.
Esercitazione 4. Il ruolo delle simmetrie assiali
Abbiamo visto nella parte teorica del volume di base il ruolo fondamentale assunto dalla simmetria assiale nel
gruppo delle isometrie; sappiamo infatti che vale il seguente teorema:
ogni isometria si puoÁ ottenere mediante il prodotto di al piuÁ tre simmetrie assiali
Possiamo eseguire la dimostrazione usando Cabri. Segui la costruzione sulle immagini che seguono.
Poiche una isometria eÁ completamente individuata dalla trasformazione di tre punti non allineati, ci serviamo di
una coppia di triangoli congruenti e facciamo vedere che si corrispondono nel prodotto di al massimo tre simmetrie assiali; evidenziamo bene i diversi passaggi.
n Disegniamo due triangoli congruenti ABC e A 0 B 0 C 0 nel foglio di lavoro (possiamo usare la costruzione vista nel
secondo capitolo della prima area e disegnare due triangoli di cui sono assegnati i tre lati nascondendo poi gli
oggetti che sono serviti per la costruzione).
n I punti A e A 0 si corrispondono nella simmetria avente per asse la retta r che possiamo costruire come asse del
segmento AA 0 .
n Costruiamo il triangolo A 0 B1 C1 che eÁ il corrispondente di ABC nella simmetria di asse r (triangolo di colore blu
nella prima figura).
n Il triangolo A 0 B1 C1 , che eÁ congruente ad ABC, eÁ anche congruente al triangolo A 0 B 0 C 0 ; possiamo quindi dire
che A 0 B1 A 0 B 0 e percioÁ A 0 appartiene all'asse s del segmento B 0 B1 ; disegniamo questo asse (in verde scuro
nella seconda figura) e troviamo il simmetrico A 0 B 0 C2 del triangolo blu (in colore giallo).
n In quest'ultima simmetria B 0 eÁ il simmetrico di B1 , A 0 eÁ un punto unito ed il triangolo A 0 B 0 C 0 eÁ congruente al
triangolo giallo; questo significa che la retta del lato A 0 B 0 eÁ asse del segmento C 0 C2 .
n Il triangolo A 0 B 0 C 0 eÁ quindi il corrispondente del triangolo giallo nella simmetria avente per asse la retta A 0 B 0 .
In definitiva, il triangolo A 0 B 0 C 0 si ottiene dal triangolo ABC mediante il prodotto delle tre simmetrie aventi per assi
le rette r, s e A 0 B 0 .
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ESERCIZI
1. Verifica che il prodotto di due rotazioni di centro O rispettivamente di ampiezza e equivale a una rotazione dello stesso centro e ampiezza .
2. Disegna un qualunque triangolo ABC e costruisci il suo simmetrico rispetto alla retta del lato AC; indicato
con B 0 il corrispondente del vertice B, costruisci il simmetrico del triangolo ottenuto rispetto alla retta del lato
B 0 C. Individua:
a. gli elementi uniti nella prima e nella seconda simmetria
b. in quale trasformazione si corrispondono il primo ed il terzo triangolo.
3. Verifica che la simmetria assiale eÁ una trasformazione involutoria, mentre la rotazione non lo eÁ.
4. Disegna un triangolo e due vettori ~
ve!
w ; applica al triangolo la traslazione di vettore ~
v e, al suo trasformato,
la traslazione di vettore !
w . Verifica che il prodotto delle due traslazioni equivale a una traslazione che ha
!
~
come vettore v w .
5. Disegna un triangolo ABC isoscele sulla base BC e traccia la retta dell'altezza AH; individua il suo corrispondente nella simmetria avente per asse AH. Quali osservazioni puoi fare? Ci sono punti e rette unite?
6. Disegna un triangolo ABC e applica ad esso la simmetria avente per asse la retta di AB; al triangolo ottenuto
applica la simmetria avente per asse la retta di BC. Individua la trasformazione nella quale si corrispondono
ABC e l'ultimo triangolo ottenuto.
7. Disegna due segmenti congruenti e paralleli AB e CD e individua le simmetrie nelle quali essi si corrispondono.
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7
Approfondimento
La topologia e l'anello di MoÈbius
Nelle isometrie molti sono gli invarianti: le lunghezze dei segmenti, le ampiezze degli angoli, l'allineamento dei punti, l'incidenza e il parallelismo;
vi sono peroÁ trasformazioni in cui ben poco si conserva.
Anche se questo tipo di trasformazioni sembra piuÁ
complesso a prima vista da descrivere e da studiare, esso eÁ tuttavia il primo che si usa. Un bambino
di 3-4 anni, in effetti, disegna la figura umana mettendo un ovale al posto della testa, qualcosa che
ricorda un triangolo o un rettangolo al posto del
corpo e delle linee piuÁ o meno lunghe al posto delle gambe e della braccia; eÁ interessante poi notare
che egli disegna due piccoli cerchi e una specie di
arco all'interno dell'ovale della testa per disegnare
occhi e bocca.
Un bambino possiede quindi giaÁ le relazioni di linea aperta/chiusa e di interno/esterno.
Uno dei piuÁ recenti ed interessanti rami della matematica, nato nella seconda metaÁ del XIX secolo, eÁ
la topologia, la quale studia appunto le proprietaÁ
delle figure geometriche sottoposte a deformazioni
che ne modificano radicalmente forma e dimensioni. La topologia, in altre parole, si occupa di un
particolare tipo di trasformazioni geometriche, dette appunto trasformazioni topologiche, in cui sussistono particolari invarianti quali ad esempio la distinzione interno/esterno, la percorribilitaÁ continua, etc.
In figura 1 puoi vedere un esempio di come un oggetto che presenta due fori puoÁ essere trasformato
senza che le sue proprietaÁ topologiche si modifichino: la figura finale, seppur diversa per forma e dimensioni, puoÁ essere ottenuta dalla prima per deformazioni continue, senza strappi.
Figura 1
8
Tema 2 - Cap. 1: LE ISOMETRIE NEL PIANO
Lo studio della topologia ha portato a considerare
molti aspetti curiosi della realtaÁ, che, pur rispondendo a una formulazione teorica rigorosa, possono essere visti come piacevoli giochi.
Se prendi una striscia di carta e chiedi a un tuo
amico quante "facce" ha, egli ti risponderaÁ sicuramente due. Puoi scommettere peroÁ che sei in grado
di costruire una superficie con una sola faccia. Come?
Prendi una striscia rettangolare e, dopo aver fatto
compiere ad uno degli estremi un mezzo giro, incolla le due estremitaÁ ottenendo in questo modo
un anello come in figura 2. Se ora provi a percorrere con un pennarello la striscia a partire da un
suo punto, ti accorgerai che ritorni al punto di partenza dopo aver percorso tutte e due le facce del
rettangolo iniziale. La superficie che hai costruito
ha quindi una sola faccia.
Figura 2
Una superficie di questo tipo eÁ detta nastro o anello di MoÈbius, in quanto venne studiata dall'astronomo tedesco Augustus MoÈbius (1790-1868), il quale fu il primo ad analizzare le sorprendenti proprietaÁ di questo nuovo aspetto della geometria.
Sebbene una superficie come l'anello di MoÈbius
possa apparire solo un divertente gioco matematico, essa ha trovato applicazioni in altri campi, ad
esempio in fisica come modello della ricerca sulle
particelle subatomiche. PiuÁ in generale possiamo
dire che la topologia eÁ utilissima nei piuÁ diversi settori, dalla pianificazione della viabilitaÁ su un territorio al disegno dei circuiti integrati dei computer.
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1 La
a.
b.
c.
d.
e.
figura B si ottiene dalla figura A tramite:
la simmetria di centro P
una rotazione di centro Q
la simmetria rispetto alla retta `
una traslazione
la simmetria rispetto a una retta del piano non tracciata in figura.
a:
2 Il diagramma a fianco viene ruotato attorno all'origine. Quale fra le seguenti eÁ la figura
che eÁ stata ottenuta?
a.
b.
c.
d.
3 Quanti assi di simmetria possiede la figura a lato?
a. 2
b. 4
c. 6
e. nessuna delle precedenti
e.
e:
d. 8
e:
4 Fissiamo un punto O nell'intersezione di due linee di un foglio a quadretti
e indichiamo le quattro direzioni parallele alle linee come Nord, Sud, Est,
Ovest (il Nord in alto). Muoviamoci, partendo da O, di un quadretto verso
Est, poi due verso Nord, tre verso Ovest, quattro verso Sud, cinque verso
Est e cosõÁ via. Dopo 1997 passi, in che punto ci troviamo rispetto al punto
iniziale O?
a. 1996 quadretti a Nord di O
b. 998 quadretti a Sud e 999 quadretti a Est di O
c. 999 quadretti a Ovest e 998 quadretti a Nord di O
d. 999 quadretti a Nord e 999 quadretti a Ovest di O
b:
e. 998 quadretti a Est e 998 quadretti a Sud di O.
5 Ci sono cinque sagome di cartoncino identiche che sono bianche da un lato e nere dall'altro lato. Poste
su un tavolo esse si trovano nelle posizioni in figura, quattro mostrano la faccia nera e una quella bianca.
Qual eÁ la sagoma bianca?
a.
b.
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c.
d.
e.
Tema 2 - Cap. 1: LE ISOMETRIE NEL PIANO
d:
9
6 Si consideri una retta r ed un triangolo ABC che giace in uno dei due semipiani individuati da r. Detti A 0 ,
B 0 , C 0 i punti simmetrici di A, B, C rispetto a r, si conduca da A 0 la parallela a BC, da B 0 la parallela ad
AC e da C 0 la parallela ad AB. Si dimostri che queste tre rette passano per uno stesso punto.
7 Dato un triangolo scaleno ABC, sia C 0 il punto simmetrico di C rispetto alla retta AB. Siano: a la retta
simmetrica della retta C 0 A rispetto alla retta CC 0 , M il punto intersezione di a con la retta CB. Analogamente, sia b la retta simmetrica di C 0 B rispetto a CC 0 , e sia N il punto intersezione di b con la retta CA. Si
dimostri che le rette CC 0 , AB, MN passano per uno stesso punto.
8 Nel Far West due fiumi rettilinei scorrono parallelamente alla distanza di 10km. Lo stregone di un villaggio indiano, che si trova nella sua capanna, deve raccogliere un'ampolla d'acqua da ciascuno dei due
fiumi e portare le ampolle al villaggio per la cerimonia della preghiera a ManituÁ. Qual eÁ la minima distanza del percorso che deve compiere, sapendo che la capanna e il villaggio sono equidistanti dai due
fiumi e distano fra loro 48km?
p
b:
a. 48
b. 52
c. 53
d. 58
e.
482 102
Il geotista, ovvero il geometra artista
Le isometrie sono le trasformazioni che piuÁ vengono usate nell'arte in genere, dalla pittura, all'architettura, alla
scultura. Si possono realizzare simpatiche costruzioni applicando i concetti imparati a questo proposito; basta
avere qualche specchio, delle pietruzze colorate, sagome di cartone, colori a tempera, un po' di colla e .... tanta
fantasia.
Pitture simmetriche
I bambini amano usare i colori e, con la fantasia che solo un bimbo puoÁ
avere, riconoscono nel risultato delle loro opere immagini e figure fantastiche: draghi, fiori dalle forme inconsuete, cieli sconfinati pieni di nuvole, fiamme che si innalzano fino al limite del disegno.
Ma tutte queste immagini sono spesso gemelle, non esiste un drago senza il suo compagno, un fiore solitario, una nuvola spaiata, una fiamma
che brucia in solitudine.
Probabilmente anche tu, da piccolo, stendevi dei grumi di colore all'interno di un foglio piegato a metaÁ, bianco, giallo, blu, rosso, arancio; poi
chiudevi ben bene il foglio e premevi con le mani sul colore che si
espandeva all'interno della piegatura. Quando riaprivi il foglio, la magia
era compiuta: nelle due metaÁ, perfettamente simmetriche, le tue figure
fantastiche.
La camera a specchi
Prepara un piano di cartone sul quale disegnare una serie di angoli tutti con un
lato in comune come in figura: un angolo retto, un angolo di 60 e uno di 45 .
Procura poi due specchi piani rettangolari uguali e disponili ad angolo lungo il
lato piuÁ corto; uniscili sul retro con un pezzo di nastro adesivo, in modo peroÁ
che sia possibile modificare l'ampiezza dell'angolo di apertura.
10
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Appoggia i due specchi sul piano e aprili a 90 .
Metti un oggetto qualsiasi, per esempio una pietruzza colorata, una moneta o un disegno geometrico colorato,
all'interno dello spazio delimitato dagli specchi.
Se ti metti di fronte alla struttura cosõÁ preparata, quanti sono gli oggetti che vedi riprodotti?
Ripeti l'esperienza modificando l'angolo di apertura a 60 . Questa volta quanti sono gli oggetti?
Che cosa succede quando l'angolo diventa di 45 ?
Modifichiamo adesso la camera mettendo i due specchi a 60 e ponendo un terzo specchio davanti ai primi
due. Nella precedente esperienza l'oggetto che hai posto fra i due specchi si era riprodotto per 5 volte formando, insieme all'oggetto reale, un esagono. L'aggiunta del terzo specchio riproduce l'esagono coprendo interamente la superficie delimitata dai tre specchi eseguendo una caratteristica pavimentazione.
Muovendo l'oggetto la pavimentazione cambia di continuo creando effetti di simmetria molto piacevoli e in
continua evoluzione.
Un'ultima domanda: sai spiegare perche abbiamo considerato angoli di apertura di 90 , 60 e 45 ?
Il caleidoscopio
I principi della camera a specchi descritta nell'esercizio precedente si applica nella costruzione dei caleidoscopi. Puoi costruirne uno procurandoti il seguente materiale:
- un tubo di cartone, puoÁ andare bene anche quello che avanza dai rotoli di carta per la cucina
- alcuni specchi, oppure, molto piuÁ pratica da utilizzare, della plastica adesiva a specchio che si puoÁ comprare
in un qualsiasi colorificio
- del cartone da ritagliare
- pezzetti di plastica colorata
- dischi di plastica trasparente che si puoÁ ricavare dalle scatole di confezioni delle camicie.
Come prima cosa costruisci un cerchio di cartone in modo da chiudere una
delle estremitaÁ del tubo.
Inserisci i pezzetti di plastica colorata sul fondo e poi appoggia i dischi trasparenti in modo peroÁ che i pezzetti colorati si possano muovere anche scorrendo
gli uni sugli altri.
Ritaglia poi tre strisce uguali di plastica a specchio e accostali in modo da formare un triangolo equilatero; la dimensione delle strisce deve essere tale da
poter essere inserita nel tubo di cartone. Se il diametro del tubo eÁ di 5cm,
quanto deve essere lungo il lato che va a formare il triangolo equilatero?
Una volta inserita questa struttura nel tubo (le facce a specchio devono risultare all'interno del solido a base triangolare), richiudilo con un altro disco di
plastica trasparente e appoggia su di esso un secondo disco di cartone al quale
avrai fatto un foro del diametro di circa 1cm.
Il caleidoscopio eÁ pronto; guardando all'interno del tubo attraverso il foro del
disco superiore e ruotandolo otterrai immagini ogni volta diverse che pavimentano l'intera superficie osservata, conservando sempre una struttura simmetrica.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 2 - Cap. 1: LE ISOMETRIE NEL PIANO
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