Appunti di matematica
Equazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado
Un’equazione è di secondo grado se può essere scritta nella forma:
ax 2 + bx + c = 0
dove a, b, c sono numeri.
Esempi
3x 2 + 7 x + 1 = 0 ;
4x 2 − x + 2 = 0 ; − x 2 + 5x − 8 = 0
Nota. Necessariamente a ≠ 0 perché, in caso contrario, l’equazione sarebbe di primo
grado.
Esempio
2 x + 3 = 0 → equaz. di 1° grado perchè a = 0
L’equazione scritta nella forma:
▪ ax 2 + bx + c = 0 si dice COMPLETA
▪ ax 2 + bx = 0 con c = 0 si dice SPURIA
▪ ax 2 + c = 0 con
▪ ax 2 = 0 con
b = 0 si dice PURA
b = 0 e c = 0 si dice MONOMIA
EQUAZIONI SPURIE
5x 2 − 3x = 0
Tali equazioni non hanno il termine noto (c=0), cioè quello senza la x.
Svolgimento
1. Raccogliere la x a fattor comune x ⋅ (5 x − 3) = 0
2. Per la legge dell’annullamento del prodotto (una moltiplicazione è zero quando uno
dei due fattori è zero), si ha:
x = 0;
5x − 3 = 0
L’equazione di 2° grado si è scomposta in due equazioni di 1° grado.
3. Risolvere separatamente le due equazioni di 1° grado.
x = 0 ⇒ x1 = 0
5x − 3 = 0
⇒ 5 x = +3 (si porta il numero − 3 a destra dell ' uguale cambiato di segno)
5x 3
( si divide per 5 sia a sin istra che a destra dell ' uguale)
⇒
=
5 5
3
⇒ x=
5
Conclusione: un’equazione spuria ammette sempre due soluzioni reali, una delle quali è
nulla (cioè uguale a zero).
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Equazioni di secondo grado
EQUAZIONI PURE
Tali equazioni non hanno il termine con la x, cioè quello con la x (b=0).
Caso a)
▪ 6x 2 − 7 = 0
Svolgimento
6 x 2 − 7 = 0 ⇒ 6 x 2 = 7 ( portare il numero − 7 a destra dell ' uguale cambiato di segno )
6x 2 7
(dividere per 6 sia a sin istra che a destra dell ' uguale)
⇒
=
6
6
7
( semplificare dove possibile )
⇒ x2 =
6
7
7
( > 0, quindi è possibile fare la radice quadrata )
⇒ x=±
6
6
7
7
x2 = −
6
6
L’equazione ammette due soluzioni reali e opposte.
⇒ x1 = +
Caso b)
▪ 3x 2 + 1 = 0
Svolgimento
3 x 2 + 1 = 0 ⇒ 3 x 2 = −1 ( portare il numero + 1 a destra dell ' uguale cambiato di segno)
3x 2 − 1
=
(dividere per 3 sia a sin istra che a destra dell ' uguale)
3
3
−1
⇒ x2 =
( semplificare dove possibile )
3
−1
⇒
< 0 non è possibile fare la radice quadrata di un numero negativo
3
⇒ IMPOSSIBILE
⇒
L’equazione non ammette soluzioni.
Conclusione: Un’equazione spuria o ammette due soluzioni reali e opposte o non
ammette soluzioni.
EQUAZIONI MONOMIE
Tali equazioni hanno solo il termine con la x2, (b=0 e c=0).
▪ 6x 2 = 0
Svolgimento
6 x 2 = 0 ⇒ 6 ⋅ x ⋅ x = 0 per la legge dell ' annullamento del prodotto
⇒ x1 = 0
x2 = 0
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Equazioni di secondo grado
Conclusione: Un’equazione monomia ammette sempre soltanto due soluzioni nulle.
EQUAZIONI COMPLETE
Per determinare le soluzioni di un’equazione di 2° grado completa, scritta nella forma:
ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c ≠ 0
occorre calcolare il discriminante (si legge “delta”):
∆ = b 2 − 4ac
Si hanno i seguenti casi
1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0
L’equazione ammette due soluzioni (o radici) reali e distinte, che sono:
−b± ∆
⇒
2a
Esempio
2 x 2 − 3x + 1 = 0
a = 2 b = −3 c = 1
x1, 2 =
x1 =
−b− ∆
2a
x2 =
−b+ ∆
2a
∆ = b 2 − 4ac = (− 3) − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 9 − 8 = 1 > 0
2
Il delta trovato è maggiore di zero; l’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte, che sono:
x1, 2 =
− (− 3) ± 1 3 ± 1
=
⇒
2⋅2
4
x1 =
3 +1 4
= =1
4
4
x2 =
3 −1 2 1
= =
4
4 2
2. ∆ = b 2 − 4 ac = 0
L’equazione ammette due soluzioni (o radici) reali e coincidenti, che sono:
−b± ∆ −b± 0 −b±0 −b
b
x1, 2 =
x1 = x 2 = −
=
=
=
⇒
2a
2a
2a
2a
2a
Esempio
4x 2 + 4x + 1 = 0
a = 4 b = 4 c =1
∆ = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 16 − 16 = 0
x1 = x 2 = −
b
4
1
=− =−
2a
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2
Il delta trovato è maggiore di zero; l’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte, che sono:
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x1, 2 =
− (− 3) ± 1 3 ± 1
=
⇒
2⋅2
4
Equazioni di secondo grado
x1 =
3 +1 4
= =1
4
4
x2 =
3 −1 2 1
= =
4
4 2
3. ∆ = b 2 − 4 ac < 0
L’equazione non ammette soluzioni. Si dice anche che l’equazione è impossibile.
Esempio
3x 2 + 2 x + 1 = 0
a =1 b = 2 c =1
∆ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 4 − 12 < 0 ⇒ Nessuna soluzione
Qualche curiosità storica
Furono i Babilonesi, nel II millennio a.C. a scoprire i metodi di risoluzione delle
equazioni di primo e secondo grado.
Le conoscenze dei Babilonesi, ignorate dai matematici greci, furono ritrovate da
Difante nel IV secolo d.C. e trasmesse all’Occidente dall’arabo Al-Harizmi verso la
fine dell’VIII secolo – inzio del IX.
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