h(x)

Liceo “A. Volta” - 13 maggio 2016
SIMULAZIONE DELLA SECONDA PROVA SCRITTA – CLASSI QUARTE
LICEO SCIENTIFICO NUOVO ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA - Durata della prova: 5 ore.
Nome del Candidato:_______________________________________________Classe__________
Prima di consegnare indicare qui  numeri di esercizi svolti:
Problema n°_____ Quesito n°___ Quesito n°___ Quesito n°___ Quesito n°___ Quesito n°___
È richiesto di risolvere
uno dei due problemi
quattro quesiti scelti tra i primi sei (1-2-3-4-5-6)
uno scelto tra gli ultimi quattro (7-8-9-10)
PROBLEMA 1
Del triangolo isoscele ABC conosci la misura della base: AB  3 e la misura dei lati obliqui:
BC  AC  1; indica con α gli angoli alla base e con γ l’angolo al vertice.
a) Determina l’ampiezza e le funzioni goniometriche (seno, coseno e tangente) degli angoli α e γ
del triangolo ABC.
b) Costruisci esternamente al triangolo la semicirconferenza di diametro AB e sia P un suo punto;
posto PÂB  x , esprimi in funzione di x la somma y  f  x  dei quadrati dei lati del triangolo
APC.
c) Dopo
aver
verificato
che
un’espressione
analitica
della
funzione
è
f  x   2  3 cos 2 x  3 sin x cos x , scrivi nella forma più opportuna l’espressione analitica
di f e traccia il suo grafico nell’intervallo 0; , mettendo in evidenza il tratto relativo al
problema.
d) Determina il valore massimo ymax assunto dalla funzione e il valore dell’angolo x per quale si
ottiene tale massimo.
PROBLEMA 2
x'  ax   a  2 y
.


y
'

a

2
x

3
ay

3

a


Sono date le equazioni 
a) Determina per quali valori di a si ha un’affinità diretta, un’affinità indiretta, un’equivalenza.
b) Fra tutte le affinità σ determina quella che fa corrispondere al punto P1;2 il punto P'  4;1
.
c) Determina la tipologia dell’affinità trovata nel punto b, la sua inversa e gli eventuali elementi
uniti.

d) Considera la traslazione  di vettore v 1 : 1 e determina la trasformazione T     .
Considera la circonferenza  di centro l’origine e raggio e trova l’equazione della trasformata
' di  attraverso T verificando che la T trasforma la circonferenza in un’altra circonferenza.
Cosa puoi osservare confrontando i due centri e i due raggi?
1
QUESTIONARIO
1) Una gru sta caricando un container su una nave ancorata al
molo; la gru è alta 6,2 m e il suo braccio mobile è lungo 7,8
m. Per tenerlo sospeso, la fune che regge il container è
vincolata alla base della gru e il tratto tra la cima del braccio
mobile e il punto di vincolo della fune è di 12,5 m. Qual è
l’angolo che il braccio mobile forma con la gru? A quale
distanza da terra si trova il punto estremo del braccio
mobile?
2) La tela di un dipinto rettangolare di 120 cm per 80 cm è circondata da una cornice avente la stessa
larghezza lungo tutti i lati della tela. Sapendo che la cornice occupa un’area di 0,96 m 2, determina la
larghezza della cornice. Ritieni che la tela e il quadro completo di cornice siano simili? (giustifica la
risposta). Fissato un opportuno sistema di riferimento, sai individuare l’equazione di una
trasformazione che trasforma il contorno della tela nel contorno della cornice?
3) L’altezza h(x) dal suolo (in metri) di una prefissata cabina di una ruota panoramica all’stante t,
misurato in secondi, dall’istante di partenza (t0 = 0) è ben modellizzato dalla seguente funzione:

 
h x   18  17 sen t   .
2
 20
-
Ricava periodo di rotazione, ampiezza e codominio della h(x).
A quale altezza dal suolo si trova la cabina all’istante di partenza?
Durante i primi due minuti di corsa, in quali istanti la cabina si trova a 18 m dal suolo? Dopo
quanto tempo dall’inizio della corsa la cabina si trova per la prima volta a 26,5 m dal suolo?
4) Un lago australiano è inavvertitamente venuto a contatto con un’alga non autoctona. I biologi sanno
che quest’alga è molto aggressiva e temono che possa ricoprire velocemente tutta la superficie del
lago. La letteratura a questo riguardo dice che l’alga è in grado di raddoppiare la propria estensione
ogni 4 giorni. Indicando con S0 la superficie del lago inizialmente occupata quando i biologi si sono
accorti della presenza dell’alga, qual è la legge che regola la sua crescita? Inoltre gli scienziati
hanno calcolato che nel giro di 64 giorni l’alga potrebbe ricoprire l’intero lago. Sapendo che il lago
ha una superficie di 32000 m2, quanto vale S0? Infine l’intervento che viene normalmente utilizzato
per sconfiggere l’alga non è più efficace quando questa ha superato un quarto dell’estensione
massima che può essere coperta. Entro quale giorno va fatto l’intervento?
5) In 1967, dr. Christian Barnard, in South Africa, staggered the world by performing the first heart
transplant. There was 1 transplant in 1967; in 1987 there were 1418 such transplants. Assume that
the number of heart transplants performed per years grows exponentially. Using the formula
N  N 0 e kt
find the exponential growth function that fits the data. Use your answer to predict the
number of heart transplants in 2020.
2
6) Per realizzare un grande murale raffigurante l’effigie di Topolino, è necessario stampare uno
schema di partenza, come quello riportato in figura, utilizzando un grande plotter, in grado di
riprodurre l’immagine a grandezza naturale. Il software che gestisce il plotter necessita in primo
luogo, dell’equazione di tutte le curve che devono essere rappresentati, che sono tutti coniche o
archi di coniche. Scrivi le equazioni di tutte le coniche rappresentate e di tutte le coniche cui
appartengono gli archi rappresentati (viso, naso, occhio destro e sinistro, conica dell’arco che
interseca gli occhi, coniche degli archi della bocca, orecchio destro e sinistro) tenendo conto di
quanto segue:
tutta la figura è simmetrica rispetto all’asse y –
nel murale si utilizza come unità di misura il
metro, che corrisponde alla stessa unità di
misura del piano cartesiano in figura – l’ellisse
che rappresenta il naso ha centro in B e assi di
misura 6 m e 4 m – l’ellisse che rappresenta
l’occhio destro ha centro in G, asse maggiore
uguale all’asse maggiore dell’ellisse che
rappresenta il naso e asse minore uguale alla
metà dell’asse minore dell’ellisse che
rappresenta il naso – l’arco che interseca gli
occhi è un arco di ellisse, con centro nel punto
B e semiasse verticale lungo 1 m in più rispetto
al semiasse verticale dell’ellisse che
rappresenta il naso – gli archi che delimitano la
bocca sono archi di parabole aventi asse
verticale che hanno entrambe vertice sull’asse
y – la distanza OA è uguale a 16 m – la retta
AF è parallela all’asse x.


7)
Risolvi in C l’equazione z  3  i z  i 3  0 . Dopo aver constatato che le soluzioni z1 e z2
sono rispettivamente un numero reale e un numero immaginario puro, calcola le radici cubiche
complesse di z2 (ossia del numero immaginario puro), rappresenta le radici cubiche nel piano di
Gauss e determina area e perimetro del poligono da esse individuato. Cosa individuano, nel piano di
Gauss, le radici n-esime di z2?
8)
Determina il dominio delle seguenti funzioni:
2
b) g  x  
a) f  x   lnsin x  cos x  1
9)
arcsin x 
1
arccos x
Considera il triangolo ABC e, in accordo alle notazioni standard, indica gli angoli interni nel
seguente modo:   BÂC ,   AB̂C ,
  AĈB. Sono note le seguenti informazioni:
1
cos    , AB  4 AC  6. Senza utilizzare la calcolatrice scientifica determinare area e
4
perimetro del triangolo ABC e la tangente degli angoli  e  .
10) Risolvi le seguenti disequazioni:
a) log 2 log 1 x  6  0
b)
x 2  6x  2 x  3
2
3