Teoria dei Segnali Aleatori
Processi Ergodici
Esercizio 1
Si studi il seguente limite di una successione di variabili aleatorie considerando i vari tipi di
convergenza conosciuti
lim e
−n θ
n →∞
,
dove θ è una variabile aleatoria distribuita uniformemente nell’intervallo [-1/2, 1/2].
Esercizio 2
Si consideri il processo x(k,t) = Acos(2πft - ϕ), con f e ϕ variabili aleatorie indipendenti.
Sapendo che sia f che ϕ sono caratterizzate da una densità di probabilità uniforme, con f
distribuita tra f1 e f2, e ϕ tra -π e π, si studi la stazionarietà del processo e se ne calcoli la
densità spettrale di potenza media. Il segnale x(k,t) viene fatto passare attraverso un
derivatore ideale.
Detto y(k,t), il segnale all’uscita del derivatore, si determini il valor medio e la potenza media
di y(k,t), e se ne studi l’ergodicità in media.
Esercizio 3
Un processo stocastico è definito dalla relazione x(k,t) = A + n(k,t), dove n(k,t) è un rumore
bianco, Gaussiano, a media nulla, avente densità spettrale di potenza media pari a N0/2, e
A è una variabile aleatoria indipendente da n(k,t) avente densità di probabilità pari a:
1
f A (a ) =
e
8π
−(a − μ )2
8
.
Dopo aver verificato la stazionarietà di x(k,t) si chiede di calcolarne la densità spettrale di
potenza media. Il processo x(k,t) viene, poi, fatto passare attraverso un filtro passa basso
ideale avente banda B, producendo un nuovo processo y(k,t). Si chiede di studiare
l’ergodicità in media di y(k,t).
Esercizio 4
Sia {Xi} una sequenza di variabili aleatorie aventi valor medio μ e varianza σ2. Date due
variabili aleatorie della sequenza Xm e Xn, si indichi con Cmn la loro covarianza. Sapendo
che Cmn = 0 per |m-n| > 2, si calcoli il valore del seguente limite:
⎡⎛ 1
lim E ⎢⎜
N →∞
⎢⎣⎝ N
⎞
Xi − μ ⎟
∑
i =1
⎠
N
2
⎤
⎥
⎥⎦
Sugg. Si consideri la sequenza {Xi} come un processo stocastico stazionario tempodiscreto e si proceda in maniera analoga a quanto fatto per lo studio dell’ergodicità in valor
medio di un processo.
Processi Gaussiani
Esercizio 5
Sia x una variabile aleatoria con densità di probabilità nota e sia:
y=ax+b
una nuova variabile aleatoria generata da x. Si calcoli la densità di probabilità di y.
Esercizio 6
Siano x e y due variabili aleatorie Gaussiane, indipendenti e a media nulla con varianza
rispettivamente σ2x e σ2y. Si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria z così
definita:
z=x-2y
Inoltre si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria w:
w=ax+by
al variare dei parametric a e b.
2
2
[Sugg. La trasformata di Fourier s(t ) = e −πt è pari a s ( f ) = e −πf ]
Esercizio 7
All’ingresso di un sistema lineare tempo invariante viene posto un rumore bianco e
Gaussiano avente densità spettrale di potenza media N0/2. Si indichi con y(k,t) il processo
all’uscita del filtro. Sapendo che la risposta impulsiva del filtro è h(t) = rect(t/T), si
considerino le variabili aleatorie Z = y(k,T) e W = y(k,2T), e si calcoli la probabilità che la
quantità Δ = Z – W sia minore di 0.
Esercizio 8
A partire da un processo stocastico stazionario, Gaussiano e a media nulla x(k, t),
caratterizzato da un’autocorrelazione Hxx(τ) = 2e-|τ|, viene formato un nuovo processo y(k,
t) = x(k, t - a) - x(k, t + a). Si calcoli la densità spettrale di potenza di y(k, t) e la sua
potenza media. Si considerino, quindi, le variabili aleatorie z = x(k, t*-1) e w = x(k, t*+1) e
si calcolino fz(z), fw(w) e fzw(z, w).
Esercizio 9
Un processo stocastico bianco, Gaussiano a media nulla con densità spettrale bilatera di
potenza media pari a N0/2 è posto in ingresso ad un filtro passa basso ideale con banda
B. Si determini la funzione di autocorrelazione del processo y(k,t) in uscita al filtro e la
probabilità che a un generico istante t*, y(k,t*) sia maggiore di A. Assumendo τ = 1/2B si
considerino le variabili aleatorie y(k,t) e y(k,t+τ) e si determini la loro densità di probabilità
congiunta giustificando rigorosamente l’espressione trovata.
Esercizio 10
Data la seguente densità di probabilità:
xy > 0
⎧2 N x N y
⎪2 N N
y=0 x≥0
⎪
f XY ( x, y ) = ⎨ x y
⎪2 N x N y x = 0 y ≥ 0
⎪⎩ 0
altrove
calcolare le densità di probabilità marginali fx(x) e fy(y), le densità di probabilità
condizionate fx,y(x|y) e fx,y(y|x) e studiare la scorrelatezza.
Esercizio 11
Date due variabili aleatorie X e Y mutuamente Gaussiane, aventi media nulla e varianza
rispettivamente pari a σ2x e σ2y, si costruiscano due nuove variabili aleatorie Z = X + aY e
W = X - aY, e se ne studi l’indipendenza al variare del parametro a.
Esercizio 12
A partire da un rumore bianco, Gaussiano a media nulla n(k,t) avente densità spettrale di
potenza media pari a N0/2 e un processo stocastico stazionario in senso lato x(k,t),
indipendente da n(k,t), Gaussiano a media nulla, avente autocorrelazione Hxx(τ) =
sinc2(τB), viene costruito un segnale y(k,t) = n(k,t) + x(k,t). Il segnale y(k,t) viene fatto
passare per un filtro passa basso ideale avente banda [-2B, 2B] ottenendo in uscita il
segnale z(k,t). Il segnale in uscita al filtro viene campionato in tre istanti t1 = 0 e t2 = 1/(2B)
e t3 = 1/B, producendo tre variabili aleatorie Z1 = z(k,0), Z2 = z(k,1/(2B) e Z3 = z(k,1/B). Si
chiede di determinare la densità di probabilità congiunta di Z1, Z2 e Z3.
Esercizio 13
Un segnale x(k,t) = s(t) + n(k,t) è formato da un segnale utile s(t) = rect(t – ½), a cui è
sovrapposto un rumore n(k,t) bianco e Gaussiano, indipendente da s(t). x(k,t) viene posto
in ingresso ad un sistema lineare tempo invariante caratterizzato da una risposta impulsiva
h(t) = rect(t – ½). Sapendo che la densità spettrale bilatera di potenza media Snn(f) = N0/2,
si calcoli:
a. l’energia del segnale utile all’uscita del filtro;
b. la potenza del rumore all’uscita del filtro;
Il segnale y(k,t) in uscita al filtro viene campionato ad un istante di tempo tc. Tale istante di
tempo non è definito con esattezza e può essere assimilato ad una variable aleatoria
distribuita uniformemente tra 0 e 2. Si calcoli la probabilità che y(k,tc) sia maggiore di 0.5.
Esercizio 14
Un processo stocastico Gaussiano x(k,t), avente valor medio nullo e funzione di
autocorrelazione Hxx(t) = Atr(t/10), è collegato all’ingresso di un SLTI avente risposta
impulsiva h(t) = rect(t/6) e produce all’uscita il processo y(k,t). Si calcoli la densità di
probabilità congiunta delle variabili aleatorie (V,W,Y) con V = y(k,0), W = y(k,2) e Y =
y(k,2).
Esercizio 15
Due variabili aleatorie X e Y congiuntamente Gaussiane hanno varianza, rispettivamente,
pari a σ2 e 2σ2. Sapendo che entrambe le variabili hanno valor medio nullo e che la loro
correlazione è pari a -σ2, si mostri che f(x|y), cioè la densità di probabilità della variabile
aleatoria X condizionata al valore assunto dalla variabile Y, è ancora una Gaussiana e se
ne calcoli il valor medio e la varianza
[Sugg. Data una matrice A, la sua inversa può essere ricavata mediante la formula:
A-1[i,j] = (-1)i+j det(Aji)/det(A) dove Aji è la matrice che si ottiene eliminando la j-esima riga
e la i-esima colonna di A]
Esercizio 16
L’autocorrelazione Hxx(τ) di un processo stocastico Gaussiano a media nulla x(k,t) è pari a
sinc(τ/a) (a > 0). A partire da x(k,t) viene costruito un nuovo processo y(k,t) = x(k,t-a) +
x(k,t+2a). Dopo aver verificato la stazionarietà in senso lato di y(k,t), se ne determini la
densità spettrale di potenza media e se ne studi l’ergodicità in media. Si consideri quindi la
seguente stima del valor medio di y(k,t)
m=
1
N
N
∑ x(k , nT )
c
n =1
con Tc = a. Si chiede di determinare la densità di probabilità di m e di valutarne la varianza
per N che tende all’infinito.
Scomposizione dei segnali a banda stretta
Esercizio 17
Si ricavi l’espressione analitica delle componenti in fase e in quadratura, nonché della
trasformata di Hilbert, del segnale x(t) avente lo spettro mostrato in figura.
X(f)
f
-3B
-B
B
3B
Esercizio 18
Un rumore a media nulla, bianco e Gaussiano n(k,t) avente densità spettrale di potenza
media pari a N0/2 viene fatto passare attraverso un filtro passa banda ideale avente banda
B e frequenza centrale f0 >> B. In seguito l’uscita del filtro viene fatta passare attraverso
un derivatore ideale, dando origine a un segnale a banda stretta y(k,t). Dette yi(k,t) e
yq(k,t) le componenti in fase e in quadratura di y(k,t) rispetto alla frequenza centrale f0, si
determini la densità di probabilità del processo z(k,t) = yi(k,t) + yq(k,t).
Esercizio 19
Un rumore bianco, Gaussiano a media nulla n(k,t) avente densità spettrale di potenza
media pari a N0/2, viene fatto passare attraverso un filtro passa banda ideale avente
frequenza centrale f0 e banda 2B. Dette zi(k,t) e zq(k,t) le componenti in fase e in
quadratura del segnale all’uscita del filtro, ottenute considerando come frequenza centrale
fc = f0 – B, si determini la potenza media del processo y(k,t) = zi(k,t) + zq(k,t).
