Finanza Aziendale
Corso progredito
A.A. 2005-2006
_____________
“Aspetti del rischio e rendimento dei
titoli obbligazionari”
1
Obiettivo
Studiare i titoli obbligazionari con riferimento
principalmente:
alle loro caratteristiche fondamentali
al concetto di struttura dei tassi per scadenza
al tema del rendimento effettivo lordo a scadenza
ai diversi concetti di rischio e di valutazione del
rischio
ad un possibile modello di gestione del portafoglio
2
I titoli obbligazionari nell’ambito dei
titoli a reddito fisso
¾ il concetto di titoli a reddito fisso
¾ principali differenze rispetto ai titoli a reddito
variabile
¾ le diverse tipologie di titoli a reddito fisso, con
riferimento:
a) al soggetto emittente: titoli del debito pubblico,
obbligazioni societarie e internazionali
b) alle caratteristiche tecniche: obbligazioni a cedola
fissa, variabile e senza cedola (zero coupon)
c) alle modalità di rimborso: a scadenza, a date
prefissate (e per gruppi di obbligazioni) e con piano
di ammortamento
3
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (1)
garanzia (collateral): la garanzia può essere costituita
su attività reali del soggetto emittente: essa rende più
facile la collocazione del prestito sul mercato, il cui
rischio è infatti ridotto in funzione della garanzia
prestata
clausola di anticipato rimborso (call provision): essa
attribuisce la facoltà, al soggetto emittente, di
rimborsare
un
prestito
obbligazionario
anticipatamente rispetto alla scadenza originaria
4
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (2)
fondo di ammortamento (sinking fund): essi
prevedono che la società emittente ritiri, alle
scadenze previste contrattualmente, quote del prestito
obbligazionario, attraverso il metodo dell’estrazione
a sorte o dell’acquisto sul mercato di un certo
numero di obbligazioni
5
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (3)
piano di ammortamento:
ammortamento esso implica un rimborso
graduale del prestito e può seguire una duplice
metodologia: quella della rata costante (cosiddetto
ammortamento francese) e quella della quota capitale
costante (cosiddetto ammortamento italiano)
6
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (4)
Ammortamento a rata costante
VA= R * a n┐i;
R = VA/a n┐i
poiché VA = VR0 = importo capitale iniziale, allora:
C1 = R - VR0* i
C2 = R - VR1* i, con VR1 = (VR0 - C1)
C3 = R - VR2* i, con VR2 = (VR1 - C2)
................
Ck = R - VRk – 1 * i
7
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (5)
Con:
VA = VR0 = importo capitale iniziale;
VA = valore attuale di una rendita immediata posticipata
attualizzata al tasso i per n anni;
R = rata costante;
VR = valore residuo del prestito da ammortizzare;
Ck = quota di capitale rimborsata al termine del periodo k
8
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (6)
Andamento grafico dell’ammortamento a rata costante
100
80
Rata
Quota interessi
Quota capitale
60
40
20
0
1
2
3
4
9
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (7)
Ammortamento a quota capitale costante
R1 = VN/n + r * VN
Con:
R1 = valore della rata alla fine del primo periodo
VN/n = quota costante di capitale rimborsato
r * VN = interesse da corrispondere alla prima scadenza
10
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (8)
Andamento grafico dell’ammortamento a quota
capitale costante
100
80
Rata
Quota interessi
Quota capitale
60
40
20
0
1
2
3
4
11
Elementi di disciplina contrattuale dei
titoli obbligazionari (9)
clausola di salvaguardia (protective covenant): esse
rappresentano una ulteriore garanzia di buon esito
dell’investimento obbligazionario, dal momento che
esse obbligano l’azienda al rispetto di determinati
limiti finanziari. Per esempio, esse possono fissare
l’ammontare di debito che può essere assunto, dei
dividendi erogabili e degli stipendi direzionali
12
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (1)
¾ il concetto di rendimento di un investimento
finanziario
¾ il concetto di REL o di yield to maturity
¾ il REL come misura relativa del rendimento di
un investimento in titoli obbligazionari
13
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (2)
Matematicamente, il REL si determina a partire dal suo
valore corrente, cioè dal suo prezzo, ovvero dalla
seguente formula fondamentale:
fondamentale
P =
n
∑
t =1
FC t
t
(1 + i )
P = valore di equilibrio di un’attività o prezzo corrente
FC = flussi di cassa ottenibili dall’investimento
obbligazionario
i = tasso di rendimento effettivo lordo a scadenza (REL)
14
dell’investimento
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (3)
Alcune riflessioni sulla formula fondamentale appena
considerata:
analogia con la formula fondamentale di valutazione
dei titoli azionari
l’investimento in titoli obbligazionari con cedole, che
venga effettuato oggi per un importo pari al prezzo
(P), consente l’ottenimento di un tasso di rendimento
r solo se le cedole periodicamente percepite vengono
reinvestite al medesimo tasso di rendimento r
15
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (4)
tra il prezzo (P) ed il REL, che è poi il rendimento
richiesto dal mercato, si stabilisce una relazione
inversa
la formula indicata e le prossime che seguiranno si
basano sul principio della composizione discreta
di calcolo degli interessi corrisposti agli
obbligazionisti
16
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (5)
Quali sono gli elementi fondamentali per la
determinazione del REL?
¾ I flussi di cassa a cui ha diritto il possessore del
titolo sulla base di quanto stabilito all’atto
dell’emissione del titolo stesso
¾ Il tasso di interesse che misura i proventi
corrisposti a titolo di interesse per ogni unità di
capitale impiegato nell’intervallo considerato
¾ Il profilo temporale che è definito dai periodi che
intercorrono tra la data di acquisto del titolo e i
momenti in cui si verificano le entrate dei singoli17
flussi di cassa
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (6)
In effetti, la loro quantificazione permette di calcolare il
REL, sviluppando la formula fondamentale già vista:
C1
C2
C2n
1000
Po =
+
+...+
+
1
2
2n
2n
(1+ r / 2) (1+ r / 2)
(1+ r / 2) (1+ r / 2)
dove: Po = prezzo corrente
1.000 = valore nominale
C = cedole semestrali
n = numero di anni alla scadenza
r = tasso di sconto appropriato, capitalizzato
semestralmente
18
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (7)
Poiché il flusso di pagamenti delle cedole costituisce una
rendita, la formula appena indicata può essere
alternativamente espressa così:
Po = C*FSRr/2,2n + 1000*FSr/2,2n
dove:
FSR = fattore di sconto di una rendita
FS = fattore di sconto
19
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (8)
Risolvendo la formula fondamentale per il tasso di
sconto “medio” (cioè per r), si ottiene quindi il REL
Nel caso di uno zero-coupon bond con scadenza tra due
anni, quotato € 857,63 e capitale rimborsato pari a V
= 1.000, il calcolo del REL è relativamente semplice:
1000
V
1000
;857,63 =
Po =
;r =
− 1 = 0,0798 = 7,98%
2
2
857,63
(1 + r )
(1 + r )
20
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (9)
E’ anche possibile calcolare il REL di un’obbligazione che
preveda il pagamento periodico di interessi, conoscendo
il prezzo corrente, la cedola e gli anni alla scadenza. Vi
sono due metodologie:
la determinazione approssimativa del rendimento
effettivo (RELA)
la stima del rendimento effettivo per interpolazione
21
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (10)
Il metodo approssimativo determina il rendimento
effettivo di un’obbligazione ponendo a rapporto le
erogazioni nette medie e l’investimento medio nei titoli;
in formula, utilizzando la simbologia precedente:
2C + [(1000 − Po ) / n ]
RELA =
(1000 + Po ) / 2
22
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (11)
Un esempio di calcolo del RELA
Si consideri un bond con cedola 10%, scadenza fra 20 anni,
quotato € 900 e rimborsabile a € 1.000.
100 + [(1000 − 900) / 20] 105
RELA =
=
= 0,111 = 11,1%
(1000 + 900) / 2
950
23
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (12)
Il metodo di stima del rendimento effettivo a scadenza
per interpolazione ha per obiettivo l’individuazione
del tasso interno di rendimento, cioè di quel tasso che
eguaglia il valore attuale dei flussi di cassa futuri
associati al titolo, al suo valore corrente.
Operativamente occorre procedere per tentativi, scontando i
flussi di cassa a tassi diversi finché non si individuano
due tassi “sufficientemente vicini”, che costituiscano gli
estremi di un intervallo all’interno del quale è compreso
il REL cercato.
24
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (13)
Un esempio di calcolo del rendimento effettivo lordo a
scadenza utilizzando il metodo di stima del
rendimento effettivo a scadenza per interpolazione
Utilizzando i parametri dell’esempio precedente, si richiami
la formula già analizzata (avendo, come si ricorda, un
tasso annuo nominale, capitalizzato semestralmente e
una durata dell’obbligazione di 20 anni, quotata 900):
Po = C*FSRr/2,2n + 1000*FSr/2,2n
si può ricavare che il REL sia compreso tra il 10% e il 12%
25
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (14)
Si calcola infatti il valore corrente con r = 10%
Po = 50*FSR0,05,40 + 1.000*FS0,05,40
Po = 50*17,159 + 1.000*0,142 = 1.000
E poi il valore corrente con r = 12%
Po = 50*FSR0,06,40 + 1.000*FS0,06,40
Po = 50*15,046 + 1.000*0,097 = 849,3
Poiché sulla base dei valori correnti ottenuti, l’intervallo in
cui cade il REL è compreso tra il 10% e il 12%, si
procede ad effettuare l’interpolazione per individuare il
26
REL cercato:
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (15)
2%
Per r = 10%
Per r = REL
Per r = 12%
Po = 1.000
Po = 900
Po = 849,3
100
150,7
Dato che 2% : 150,7 = x : 100, allora
100
REL = 10% +
⋅ (2%) = 11,33%
150,7
27
Il rendimento effettivo lordo a scadenza
(REL) dei titoli obbligazionari (16)
Si noti che la stima del REL è tanto più precisa, quanto più
piccolo è l’intervallo prescelto.
Il REL corretto si ricava quindi da un processo ripetitivo
che utilizza intervalli sempre più piccoli e pertanto
quest’ultimo metodo, a differenza di quello
approssimativo per il calcolo del REL, è più laborioso.
Tuttavia i computer e alcuni tipi di calcolatrici consentono
una rapida determinazione del REL cercato ed, inoltre,
per la maggior parte degli impieghi, un’interpolazione
“manuale” su intervalli dell’1% o 2% conduce ad una
stima del REL soddisfacente.
28
La struttura dei tassi per scadenza (1)
Il REL può essere concepito come tasso medio di
redditività di un investimento obbligazionario
Un approfondimento
Il REL coincide esattamente con il rendimento
richiesto dal mercato solo nel caso degli zero
coupon
29
La struttura dei tassi per scadenza (2)
In effetti, quando si considerano i titoli con cedola, il
rendimento effettivo diviene un indicatore di
redditività che riflette tanti tassi di interesse quanti
sono i flussi di cassa percepiti dal momento
dell’acquisto del titolo fino alla sua scadenza:
C
C
C
V
Po =
+
+...+
+
(1+ 0r1) (1+ 0r2)
(1+ 0rn) (1+ 0rn)
30
La struttura dei tassi per scadenza (3)
Ogni tasso di interesse sconta le singole cedole ed il valore
di rimborso (pertanto ogni singolo flusso di cassa), in
relazione allo specifico periodo di scadenza.
I singoli tassi di interesse relativi a diversi periodi di
maturazione delle cedole e del capitale, si definiscono
tassi “spot” o a pronti relativi a ciascun periodo di
riferimento, espressi su base annua. L’insieme di
questi tassi si definisce struttura dei tassi per
scadenza.
scadenza
L’esempio seguente chiarisce perché il REL può essere
concepito come tasso medio di redditività di un
investimento obbligazionario:
obbligazionario
31
La struttura dei tassi per scadenza (4)
Si considerino tre titoli con le seguenti caratteristiche
Titolo
A
B
C
Cedola annua
0
6
5,5
Prezzo
95,29
96,6
91,43
Vita residua (anni)
1
2
3
Valore di rimborso
100,00
100,00
100,00
Rendimento effettivo
4,94%
7,90%
8,88%
32
La struttura dei tassi per scadenza (5)
Il prezzo di ciascun titolo viene espresso in questo
modo:
Titolo A:
A
100
95 , 29 =
1, 0494
In questo caso il 4,94% è il rendimento effettivo e
contemporaneamente è anche il tasso spot per
investimenti ad un anno.
33
La struttura dei tassi per scadenza (6)
Titolo B:
B
6
106
96 , 6 =
+
1, 079
(1, 079 ) 2
Nella formula, i flussi di cassa sono scontati al
rendimento effettivo.
effettivo
Tuttavia il prezzo di mercato può essere espresso in
funzione dei tassi spot, a partire dalla seguente
espressione:
34
La struttura dei tassi per scadenza (7)
6
106
96 , 6 =
+
1 + 4 , 94 %
1 + 0r 2
a
0 2
r
=
1 + 0r 2 − 1 =
106
6
96 , 6 −
1 + 4 ,94 %
− 1 = 7 ,9973 %
dove or2a esprime il tasso spot a due anni di
investimento espresso su base annua.
35
La struttura dei tassi per scadenza (8)
Pertanto il prezzo del titolo B può anche essere espresso
in funzione dei tassi spot ad un anno e a due anni su
base annua:
6
106
96 , 6 =
+
1, 0494
(1, 079973 ) 2
36
La struttura dei tassi per scadenza (9)
Analogamente anche per il Titolo C i flussi di cassa
possono essere scontati ad un tasso unico
rappresentativo del rendimento effettivo:
5 ,5
5 ,5
105 , 5
91 , 43 =
+
+
2
1, 0888
(1, 0888 )
(1, 0888 ) 3
Anche in questo caso il prezzo di mercato può essere
espresso in funzione dei tassi spot, ricavando il
tasso spot a tre anni su base annua ed essendo
conosciuti gli altri elementi ed in particolare i tassi
spot ad un anno (4,94%) e a due anni (7,9973%):
37
La struttura dei tassi per scadenza (10)
5 ,5
5 ,5
91 , 43 =
+
1 + 4 , 94 %
(1 + 7 , 9973 %)
r = 1 + 0r 3 − 1 =
a
0 3
2
105 , 5
+
1 + 0r 3
105,5
3
3
5,5
5,5
91,43 −
−
1 + 4,94% (1 + 7,9973%)2
− 1 = 8,997%
dove or3a esprime il tasso spot a tre anni di investimento
espresso su base annua.
38
La struttura dei tassi per scadenza (11)
E’ interessante notare che, sulla base dei risultati
ottenuti, i singoli tassi spot ricavati possono essere
considerati come equivalenti ai rendimenti
effettivi di titoli zero coupon con scadenza,
rispettivamente, di 1, 2 e 3 anni.
39
La struttura dei tassi per scadenza (12)
Una precisazione sulla natura dei tassi spot
Un tasso spot a due anni può essere interpretato come il
rendimento di un investimento a due anni ad un
tasso uniperiodale “x”
Un tasso spot a tre anni come il rendimento di un
investimento a tre anni ad un tasso uniperiodale “y”
Un tasso spot a n anni come il rendimento di un
investimento a n anni ad tasso uniperiodale “z”
40
La struttura dei tassi per scadenza (13)
Nella realtà, però, i tassi di interesse non sono uguali
nei diversi sotto periodi.
Infatti, il tasso spot ad un anno è generalmente diverso
dal tasso spot che il mercato potrà quotare tra un
anno per impieghi della stessa durata.
Quindi, per esempio, il tasso a pronti a due anni può
essere interpretato come il risultato di un
investimento di capitale per un anno al tasso a
pronti ad un anno con il successivo reinvestimento
del montante per il secondo anno ad un tasso pari al
cosiddetto tasso a termine o tasso implicito o
tasso forward per l’anno successivo.
41
La struttura dei tassi per scadenza (14)
Vale quindi la seguente equazione:
(1 + r ) = (1 + r )(1 +
0
2
0 1
1
f 2)
Quindi, il tasso forward per il periodo tra il 1° ed il 2°
anno è un rendimento implicito nel tasso spot con
scadenza tra due anni.
Si noti poi che il generico tasso di rendimento richiesto
dagli investitori rt, che poi è il tasso di sconto
utilizzato per determinare il prezzo dei titoli, è uguale
a:
rt = (tasso reale privo di rischio)t + (inflazione attesa)t +
(premio per il rischio)t
42
dove t costituisce uno specifico periodo di tempo.
La struttura dei tassi per scadenza (15)
Alcune teorie che cercano di fornire una spiegazione
all’andamento della struttura dei tassi per
scadenza
la teoria delle aspettative
la teoria del premio per la liquidità
la teoria della segmentazione dei mercati
43
La struttura dei tassi per scadenza (16)
La teoria delle aspettative
Essa sostiene l’indifferenza per un investitore ad
investire una somma in un titolo a reddito fisso per
un periodo di n anni oppure ad impiegare la stessa
somma, disinvestirla al termine di ogni anno e
reinvestirla per ogni anno successivo fino all’anno n.
44
La struttura dei tassi per scadenza (17)
Tale ipotesi si traduce matematicamente nella seguente
formula:
(1+ r 1, n ) = (1 + r 1 ) (1+ r 2) (1 + r 3 ) … (1 + r n )
n
dove:
r1,n = rendimento effettivo a scadenza di un titolo che ha
durata dal periodo di tempo corrente al periodo n
(calcolato sulla base del prezzo corrente del titolo
che scade l’anno n)
ri = tassi uniperiodali attesi
45
La struttura dei tassi per scadenza (18)
In base alla teoria delle aspettative:
1. si considera il REL
2. si calcola il tasso forward implicito per ogni anno,
cioè il tasso uniperiodale atteso riferito a ciascun
anno
3. una volta calcolato il tasso uniperiodale, si è anche
individuato il tasso spot atteso dal mercato riferito al
periodo corrente
46
La struttura dei tassi per scadenza (19)
Un esempio di calcolo di tasso forward:
Scadenza del
titolo
Rendimento a
scadenza r1,n,%
Tassi forward rt,%
1 anno
7,97
r1 = 7,97
2 anni
8,86
r2 = 9,76
47
La struttura dei tassi per scadenza (20)
Il tasso forward per l’anno 2 si calcola in questo modo:
r2 =
(1+r1,2)
(1+r1)
2
2
(1,0886 )
-1=
-1 = 9,76%
(1,0797 )
Dall’uguaglianza tra il tasso forward ed il tasso atteso
per ciascun periodo discendono le regole decisionali
per l’investitore:
48
La struttura dei tassi per scadenza (21)
Se l’investitore suppone che i tassi spot attesi siano
superiori a quelli impliciti nella struttura dei tassi
per scadenza (che, in base alla teoria delle
aspettative, coincidono con i tassi spot attesi dal
mercato), egli dovrà investire in un titolo a breve
scadenza, per poi reinvestire la somma smobilizzata
a tassi superiori a quelli attesi dal mercato
Viceversa, se l’investitore si attende tassi inferiori a
quelli impliciti, egli avrà convenienza ad investire a
lunga scadenza
49
La struttura dei tassi per scadenza (22)
La teoria del premio di
liquidità
Presupposti
I rendimenti a scadenza appaiono generalmente
crescenti e comunque superiori ai tassi correnti,
mentre i tassi a pronti non sono associati ad alcun
tipo di trend
50
La struttura dei tassi per scadenza (22)
Conseguenza
Gli investitori richiedono un premio come compenso
per investire a più lungo termine, perché temono
perdite in conto capitale dovute ad incrementi nei
51
tassi di interesse
La struttura dei tassi per scadenza (23)
Risultato
Per favorire la collocazione di emissioni
obbligazionarie, i titoli a lungo termine devono
offrire un maggiore rendimento
52
La struttura dei tassi per scadenza (24)
La teoria della
segmentazione dei
mercati
Presupposti
Presenza di specifici elementi di differenziazione tra
singoli segmenti del mercato finanziario, in cui sono
scambiati titoli con scadenze diverse
53
La struttura dei tassi per scadenza (25)
Conseguenza
Gli investitori decidono in quale mercato investire in
relazione alle esigenze di impiego delle proprie
disponibilità
54
La struttura dei tassi per scadenza (26)
Risultato
Creazione di segmenti di mercato indipendenti e
passaggio degli investitori da un mercato all’altro
solo se mutano i rendimenti relativi e tenuto conto
55
dei relativi rischi
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (1)
Il rendimento effettivo a scadenza fin qui considerato è
un rendimento effettivo ex ante o promesso perché
esso si basa sulle ipotesi che:
1. il titolo venga tenuto fino alla scadenza
2. i pagamenti delle cedole siano completamente e
immediatamente reinvestiti ad un tasso pari al
REL
3. tutti i pagamenti delle cedole e della quota capitale
siano effettuati puntualmente alle scadenze
prefissate
56
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (2)
Se una o più di queste ipotesi non si verifica, il
rendimento effettivo ex post o realizzato si discosta
necessariamente dal rendimento promesso.
In questa parte vengono affrontati in particolare gli
effetti del mancato verificarsi delle ipotesi 1. e 2.;
mentre il rischio associato ai pagamenti verrà
discusso nell’ambito della parte dedicata al rischio
57
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (3)
Il mancato possesso del titolo fino alla scadenza
Si tratta di una condizione che può non verificarsi sia
per scelta della società, sia dell’investitore. Infatti:
a) l’emittente
può
decidere
di
rimborsare
anticipatamente il titolo, se ciò è contrattualmente
previsto e se i tassi di interesse scendono
sensibilmente
b) l’investitore può decidere di alienare il titolo prima
della scadenza.
58
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (4)
Nel caso a), poiché l’emittente può decidere di
rimborsare anticipatamente il titolo, l’investitore
dovrebbe calcolare il rendimento promesso fino alla
prima data di rimborso anticipato.
Analogamente a quanto visto per il calcolo del REL, il
rendimento alla prima data di rimborso anticipato
può essere determinato sia utilizzando la via
dell’interpolazione, sia quella del calcolo
approssimato (approximate yield to first call)
(AYFC); in questo secondo caso si ha che:
59
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (5)
2C + [(Pc − Po ) / Nc ]
AYFC =
( Pc + Po ) / 2
dove:
C = cedola semestrale
Pc = prezzo di riscatto
Po = prezzo corrente
Nc = numero di anni alla prima data di riscatto
60
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (6)
A
titolo di esempio, consideriamo il rendimento
approssimato alla prima data di richiamabilità di
un’obbligazione con cedola del 14%, rimborsabile dopo
5 anni a 1.140 e con un prezzo corrente di 1.010.
Utilizzando la precedente equazione, il rendimento
approssimato alla prima data di riscatto è:
140 + [(1140 − 1010) / 5] 166
AYFC =
=
= 15,4%
(1140 + 1010) / 2
1075
61
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (7)
Il rendimento approssimato (15,4%) è superiore al tasso
di interesse cedolare (14%).
Tuttavia, questo non significa di per sé una convenienza,
per gli investitori, al rimborso anticipato delle
obbligazioni.
Infatti, l’emittente rimborserà tali obbligazioni solo
quando i tassi di interesse saranno scesi abbastanza
rispetto al 14% originario, al fine di giustificare il
pagamento del prezzo di riscatto pari a 1.140.
Quindi il possessore delle obbligazioni si troverà di fronte
al problema di reinvestire i proventi dei titoli
62
richiamati a tassi di interesse più bassi.
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (8)
Nel caso b), poiché è l’investitore a decidere di
smobilizzare il proprio investimento prima della
scadenza, occorre considerare l’effetto delle
variazioni dei tassi di interesse sul prezzo del titolo.
Se l’investitore ritiene probabile una variazione dei tassi
di interesse tra la data di emissione delle
obbligazioni o a una data di stacco cedola
(eliminando così il problema del rateo di interessi)
e la data di alienazione del titolo prima della
scadenza, il rendimento promesso approssimato
può essere calcolato a partire dalla seguente
formula:
63
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (9)
2C + [(Ps − Po ) / Ns ]
RPA =
( P s + Po ) / 2
dove:
Ps = prezzo atteso alla fine del periodo di possesso di
Ns anni
RPA = rendimento promesso approssimato
Limitandoci al calcolo del rendimento promesso
approssimato, si ipotizzi il seguente caso riferito ad
un’obbligazione acquistata al valore nominale:
64
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (10)
obbligazione decennale
cedola al 14%
vendita del titolo dopo 5 anni
valore nominale 1.000
se l’investitore prevede un prezzo di vendita pari a 1.200
il rendimento promesso approssimato sarà uguale a:
140 + [(1200 − 1000) / 5] 180
RPA =
=
= 16,4%
(1200 + 1000) / 2
1100
65
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (11)
se invece, al termine dei 5 anni, i tassi di interesse
crescono e quindi il prezzo di vendita realizzato
scende a 980, il rendimento realizzato approssimato è
uguale a:
140 + [(980 − 1000) / 5] 136
RRA =
=
= 13,7%
(980 + 1000) / 2
990
66
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (12)
se viceversa, al termine dei 5 anni, i tassi di interesse
diminuiscono e quindi il prezzo di vendita realizzato
sale a 1300, il rendimento realizzato approssimato è
uguale a:
140 + [(1300 − 1000) / 5] 200
RRA =
=
= 17,4%
(1300 + 1000) / 2
1150
67
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (13)
Dagli esempi mostrati emerge l’influenza delle variazioni
del tasso di interesse sul prezzo dei titoli
obbligazionari e quindi sul rendimento realizzato: tale
rischio incombe quando l’investitore decide di
vendere il titolo prima della scadenza.
scadenza
E’ di fondamentale importanza, pertanto, stimare la
sensibilità dei prezzi dei titoli obbligazionari alle
variazioni dei tassi di interesse di mercato e quindi
dei tassi di rendimento richiesti dagli investitori: tale
tematica verrà approfondita successivamente.
68
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (14)
Il mancato realizzarsi del completo e immediato
reinvestimento delle cedole a tassi di interesse uguali a
quello del REL
Si tratta, peraltro, di una ipotesi che non si verifica
praticamente mai perché, non solo il completo
reinvestimento degli interessi è impossibile per la
presenza di imposte e di costi di transazione, ma altresì
i tassi di interesse variano frequentemente
Di seguito si esplicitano, con un esempio numerico, gli
effetti del reimpiego delle somme percepite a tassi
69
diversi dal REL:
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (15)
Dati rilevanti del prestito: obbligazione ventennale; prezzo di acquisto =
valore nominale: 1.000; rendimento promesso: 8%; tasso cedolare: 8%
Tasso di
reinvestimento (1)
Cedole
(2)
Interessi sugli
interessi (3)
Valore
futuro delle
cedole (4)
(3) : (4) %
(5)
Valore
futuro delle
cedole e
della quota
capitale (6)
Rendimento
realizzato
(7)
0
1600
0
1600
0
2600
4,84
5
1600
1096
2696
41
3696
6,64
6
1600
1416
3016
47
4016
7,07
7
1600
1782
3382
53
4382
7,53
8
1600
2201
3801
58
4801
8,00
9
1600
2681
4281
63
5281
8,50
10
1600
3232
4832
67
5832
9,01
70
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (16)
Dalla tabella precedente si evince chiaramente che, con un
rendimento promesso alla scadenza dell’8%, solo
quando le cedole vengono reinvestite al rendimento
promesso, il rendimento realizzato corrisponde
all’8%.
Negli altri casi, il rendimento realizzato differisce.
In particolare, esso sarà minore dell’8% se l’investitore
reinveste le cedole ad un tasso inferiore al rendimento
promesso, mentre sarà superiore se l’investitore
effettua il reinvestimento delle cedole ad un tasso
superiore al rendimento atteso.
71
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (17)
Esiste la possibilità di mostrare, in termini
matematici che, solo quando le somme via
via acquisite dall’investitore vengono
impiegate ad un tasso pari al REL, il REL
promesso dell’investimento obbligazionario
coincide con il REL realizzato?
Sì … mediante l’esempio seguente:
72
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (18)
Il punto di partenza è la più volte citata formula
fondamentale:
P =
n
∑
t =1
FC t
t
(1 + r )
Conoscendo P e quindi r (il REL) è possibile calcolare il
montante a scadenza:
M = P ⋅ (1 + r )
con M = montante a scadenza.
n
(4)
73
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (19)
Questa relazione, però, è soddisfatta solo se:
l’investimento è effettuato in titoli zero
coupon
o se i reimpieghi delle somme, che si rendono
disponibili ad ogni scadenza intermedia,
avvengono al medesimo tasso r
74
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (20)
Infatti, nell’ipotesi di reimpiego dei flussi intermedi
ricavati dall’investimento, M può essere scritto anche
come:
M = FC
n
+
n −1
∑
t =1
n−t
FC
t ⋅
1 + k t
Sostituendo M nella formula (4), e ponendo i tassi di
reimpiego dei flussi intermedi costanti nel tempo (k1
= k2 = …= kn = k), avremo:
75
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (21)
FC n +
n −1
∑ FC
(1 + k )
n
= P ⋅ (1 + r )
t
(1 + k )
n
t ⋅
t =1
dividendo entrambi i membri per (1 + r)n si ha:
FC n
P =
+
n
(1 + r )
n −1
∑ FC
t =1
(1 + k )
t
n
(1 + k ) ⋅ (1 + r )
n
t ⋅
76
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (22)
Ponendo k = r, cioè ipotizzando che i reimpieghi siano
possibili allo stesso tasso di rendimento, otteniamo di
nuovo la formula iniziale:
FC n
P =
+
n
(1 + r )
n −1
∑
t =1
FC t
=
t
(1 + r )
n
∑
t =1
FC t
t
(1 + r )
Il criterio di valutazione si fonda quindi sull’ipotesi che i
reimpieghi siano conclusi al medesimo saggio di
rendimento r,
r quindi al REL
77
I fattori determinanti il REL dei titoli
obbligazionari (23)
Una prima conclusione al termine di questa sezione
Il rendimento realizzato sui titoli obbligazionari dipende
dalle due componenti del tasso di reinvestimento
delle cedole e della variazione del prezzo: quando i
tassi di interesse crescono (si riducono), aumenta
(diminuisce)
il
rendimento
proveniente
dall’investimento delle cedole, mentre si riduce
(aumenta) quello associato al differenziale prezzo di
vendita/prezzo di acquisto.
Pertanto la variazione dei tassi di interesse ha effetti
opposti sul rendimento realizzato, del titolo
78
obbligazionario.
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (1)
In questa sezione vengono analizzate le seguenti tipologie
di rischio associato ai titoli obbligazionari:
il rischio di insolvenza o di credito riguarda
l’incapacità (potenziale) di una controparte di
soddisfare i propri impegni contrattuali
il rischio di liquidità si riferisce a quelle situazioni in
cui il possessore di uno strumento finanziario incontra
difficoltà a trasferire tale strumento prontamente e a
prezzi convenienti
il rischio di interesse o di prezzo si riferisce al rischio
di variazione del prezzo che consegue dalle variazioni
di rendimento richiesto dal mercato
79
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (2)
Il rischio di insolvenza
In generale, maggiore è la probabilità di inadempimento,
maggiore è il rendimento del titolo.
titolo
Per misurare il rischio di insolvenza, gli investitori
utilizzano normalmente due metodologie:
a) la valutazione delle caratteristiche finanziarie del
titolo e del suo emittente
b) l’utilizzo dei meriti di credito o credit ratings
80
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (3)
Per quanto riguarda la valutazione delle caratteristiche
finanziarie del titolo e del suo emittente,
emittente gli
investitori si concentrano soprattutto sui seguenti due
aspetti:
1. l’analisi per indici
2. l’analisi del rischio di mercato
81
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (4)
Attraverso l’analisi per indici vengono calcolate le
principali classi di indici di redditività,
indebitamento e liquidità, con particolare attenzione
al livello sostenibile di indebitamento,
indebitamento alla gestione
operativa,
operativa al potenziale di crescita ed al cash flow.
flow
Tali tecniche sono talvolta così accurate, da
permettere una previsione di fallimento anche 5 anni
prima del suo verificarsi e con una precisione tanto
più elevata, quanto più vicina è l’insolvenza.
82
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (5)
Esempi di alcuni indici utilizzabili:
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
RO/K = ROI
UN/N = ROE
D/UN = pay out ratio
Stabilità degli utili
RO/OF
Attività correnti/passività correnti
K/N
Attività fisse/N
83
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (6)
L’analisi del rischio di mercato si disinteressa invece
dei dati contabili, per focalizzarsi su dati
desumibili dal mercato al fine della previsione del
fallimento aziendale. In particolare, si tiene conto
della varianza dei rendimenti di titoli azionari della
società esaminata,
esaminata sulla base del presupposto,
riscontrato empiricamente, che le società che
vanno incontro ad un fallimento, mostrano un
considerevole aumento della stessa varianza già
alcuni anni prima dell’episodio fallimentare.
84
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (7)
Peraltro, gli investitori utilizzano sempre più spesso il
rating
Il
rating esprime un giudizio
dell’investimento obbligazionario
sul
buon
fine
Il rating viene elaborato da agenzie specializzate come
Moody’s, Standard & Poor’s e Duff e Phelps che
valutano la qualità dell’emissione obbligazionaria.
obbligazionaria
85
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (8)
Quali sono i fattori studiati dall’agenzia di
rating nell’attribuire un appropriato
punteggio all’emissione obbligazionaria?
¾
¾
¾
¾
il contratto di prestito
la struttura finanziaria
la redditività degli investimenti
le caratteristiche del management
86
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (9)
Spesso gli investitori utilizzano la categoria più elevata di
rating come rendimento di riferimento (benchmark) e
calcolano i differenziali di rendimento per i titoli con
rating inferiore.
In generale, al peggiorare della qualità dell’emissione
obbligazionaria, il rendimento aumenta poiché cresce
il relativo rischio di insolvenza.
insolvenza
87
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (10)
Criticità della metodologia del rating:
; il rating non varia frequentemente, poiché le
agenzie di rating non sono fisicamente in grado di
tenere sotto osservazione tutte le società sul mercato
; per l’attribuzione del rating ci si riferisce solo ad un
numero limitato di categorie
; per esigenze di tempo ed economiche, la valutazione
del merito creditizio non abbraccia tutti i possibili
fattori sensibili, associati all’emittente ed al suo
prestito obbligazionario
88
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (11)
Il rischio di liquidità
In generale, maggiore è il grado di liquidità di un titolo,
più basso è il suo rendimento.
rendimento
In termini quantitativi, possiamo definire la liquidità come
la possibilità di acquistare o vendere un titolo senza
significative concessioni di prezzo.
Fattori di valutazione del rischio di liquidità:
liquidità
a) la dimensione dell’emissione di un titolo
b) le condizioni di mercato
c) il grado di sostituibilità
89
Elementi del rischio e della valutazione
del rischio dei titoli obbligazionari (12)
La problematica della valutazione del rischio di interesse
verrà affrontata nell’ambito del prossimo argomento,
cioè in sede di discussione del tema della duration e
della duration modificata.
Inoltre, altri strumenti di misurazione del rischio verranno
analizzati dopo avere introdotto il concetto di VaR di
un portafoglio obbligazionario.
90
I concetti di duration e di duration
modificata (1)
Si è già avuto modo di accennare alla relazione inversa
che lega i tassi di interesse di mercato, e quindi il
rendimento di un titolo obbligazionario, al suo
prezzo.
Questo significa che, al variare del rendimento richiesto
dal mercato, cambia anche il rendimento conseguito
dall’investitore che non detenga il titolo fino a
scadenza e quindi il REL promesso.
Se ipotizziamo che gli investitori siano avversi al rischio
di interesse o di prezzo, allora essi avranno preferenza
per quei titoli che, a parità di rendimento
promesso, si caratterizzano per le variazioni di
prezzo più contenute
91
I concetti di duration e di duration
modificata (2)
Allora: esiste almeno un indicatore capace di
stimare il cambiamento del prezzo del titolo,
causato dal cambiamento del rendimento?
Si tratta della duration modificata, per il cui calcolo
occorre innanzitutto determinare la duration.
92
I concetti di duration e di duration
modificata (3)
Per determinare la duration di un titolo obbligazionario
occorre, in primo luogo, richiamare la formula
fondamentale di determinazione del prezzo che per
comodità espositiva, viene esposta qui di seguito
nella sua versione estesa e considerando una cedola
annuale:
C1
C2
Cn
V
P=
+
+...+
+
1
2
n
n
(1+ r) (1+ r)
(1+ r) (1+ r)
93
I concetti di duration e di duration
modificata (4)
A partire dalla formula precedente, bisogna calcolare la
derivata prima del prezzo del titolo rispetto al
rendimento.
La derivata prima del prezzo (rispetto al rendimento) è:
dP
1 1C
2C
nC
nV
=−
+
+ ...+
+
1
2
n
n (5)
dr
(1 + r) (1 + r) (1 + r)
(1+ r) (1 + r)
94
I concetti di duration e di duration
modificata (5)
La derivata prima del prezzo del titolo rispetto al rendimento
effettivo ha valore negativo, per la presenza nella sua
formula del segno meno.
La relazione tra il rendimento effettivo (grandezza causa) ed il
prezzo (grandezza effetto) è quindi inversa, ma anche
curvilinea e concava verso l’alto, come si evince dal
seguente grafico:
Prezzo
Rendimento
95
I concetti di duration e di duration
modificata (6)
Riprendiamo ora la formula (5):
dP
1 1C
2C
nC
nV
=−
+
+ ... +
+
1
2
n
n
dr
(1 + r) (1 + r) (1 + r)
(1 + r) (1 + r)
Dividendo entrambi i termini per il prezzo P, si ottiene la
formula (6):
1 1C
2C
dP 1
nC
nV 1
⋅ =−
+
+...+
+
⋅
1
2
n
n
dr P (1+ r) (1+ r) (1+ r)
(1+ r) (1+ r) P
96
I concetti di duration e di duration
modificata (7)
L’espressione tra parentesi moltiplicata per il reciproco del
prezzo è generalmente definita come duration o
durata media finanziaria.
La duration è una media ponderata delle scadenze dei
flussi di cassa attesi.
La duration pertanto non si identifica con il tempo residuo
a scadenza di un titolo, né con la media semplice delle
scadenze dei flussi di cassa previsti, ma costituisce
una misura della vita media ponderata di
un’obbligazione.
97
I concetti di duration e di duration
modificata (8)
Si consideri, a scopo esemplificativo, il seguente calcolo
della duration, con riferimento ad un titolo con le
queste caratteristiche:
•
•
•
cedola = 8% riscossa annualmente
rendimento effettivo lordo a scadenza = 10%
anni alla scadenza = 4
la duration può essere calcolata nel seguente modo:
98
I concetti di duration e di duration
modificata (9)
Periodo di
tempo
Flusso di cassa
x Fattore di
sconto 1/(1+r)t
=
Valore attuale
1
80
0,909
72,73
2
80
0,826
66,12
3
80
0,751
60,11
4
80
0,683
56,64
4
1000
0,683
683,01
P=
936,60
D =
1(72,73) + 2(66,12) + 3(60,11) + 4(56,64 + 683,01)
= 3,57
936,60
99
I concetti di duration e di duration
modificata (10)
Riprendendo il ragionamento, la formula (6), ovvero la
duration divisa per il fattore (1 + r), definisce il
valore della duration modificata.
La duration modificata, calcolata per il livello corrente
del rendimento effettivo, consente di stimare la
variazione percentuale del prezzo, in corrispondenza
di una data variazione del rendimento (∆r).
100
I concetti di duration e di duration
modificata (11)
Valgono infatti le seguenti relazioni:
dP 1
D
∆P
D
⋅ =−
⇔ ≅−
∆r
dr P
(1+ r)
P
1+ r
(7)
All’aumentare della duration modificata aumenta la
variabilità del prezzo del titolo, vale a dire aumenta il
rischio di interesse: pertanto la duration costituisce
una misura di tale rischio.
Tuttavia, la variazione del prezzo stimata con la duration
costituisce una buona approssimazione della
variazione effettiva del prezzo solo per variazioni
sufficientemente piccole del rendimento effettivo
101
richiesto dall’investitore.
I concetti di duration e di duration
modificata (12)
Perché? Si consideri il seguente esempio:
Calcolo della duration
Obbligazione con scadenza 5 anni
Cedola annuale: 9
Prezzo:100
Rendimento effettivo annuale: 9%
Periodo (t)
Flussi di cassa
Valore presente
(VP) dei flussi di
cassa
T x (VP)
1
9
8,257
8,257
2
9
7,575
15,150
3
9
6,950
20,849
4
9
6,376
25,503
5
109
70,843
354,213
100,000
423,972
Somma
Duration (in anni) = 423,972/100 = 4,24
Duration modificata = 4,24/1,09 = 3,89
102
I concetti di duration e di duration
modificata (13)
Sostituendo il valore della duration modificata con
riferimento al precedente esempio, perciò nella
formula (7), si ha:
∆P
≅ − [3 ,89 ]∆ r
P
Considerando una variazione di rendimento effettivo
pari allo 0,1% (+0,001), la variazione di prezzo
stimato è:
− 0 , 00389 = − 3 ,89 ⋅ ( + 0 , 001 )
103
I concetti di duration e di duration
modificata (14)
Il nuovo prezzo stimato risulta pari a:
100 − ( 0 , 00389 ⋅ 100 ) = 99 , 611
Il
nuovo prezzo effettivo che risulta invece
dall’attualizzazione dei flussi di cassa, al nuovo
rendimento effettivo (9,1%), è pari a 99,612 e quindi
risulta solo leggermente più elevato del prezzo
stimato.
104
I concetti di duration e di duration
modificata (15)
Tuttavia, all’aumentare delle variazioni nel rendimento
effettivo, l’uso della duration modificata porta via
via a sovrastimare o sottostimare la variazione reale
di prezzo: ciò perché la duration modificata esprime
la variazione di prezzo calcolata in uno specifico
punto della relazione prezzo/rendimento, la quale
presenta, come visto in precedenza, una concavità.
Il seguente grafico mostra perché l’utilizzo della
duration
modificata
approssima
l’effettiva
variazione di prezzo causata da movimenti nei
rendimenti effettivi richiesti:
105
I concetti di duration e di duration
modificata (16)
Prezzo
Curva
prezzo/rendimento
Retta che approssima
l’effettiva variazione di
prezzo in un determinato
punto
Rendimento
106
I concetti di duration e di duration
modificata (17)
In altri termini, con l’utilizzo della duration modificata
nella valutazione del prezzo di un titolo, si tenta di
stimare una relazione convessa con una relazione di
tipo lineare.
Pertanto, più ci si allontana dal punto di tangenza,
minore risulta essere la precisione della stima.
107
I concetti di duration e di duration
modificata (18)
Si sottolinea che l’indicizzazione finanziaria consente di
ridurre il rischio di interesse.
Per indicizzazione finanziaria si intende il meccanismo
di adeguamento del valore dei flussi di cassa del
titolo alle variazioni di un parametro di natura
finanziaria scelto per l’indicizzazione.
Se l’indicizzazione è completa e contemporanea, essa
consente di annullare le variazioni di prezzo dovute
a variazioni di tassi di interesse e quindi la volatilità
del prezzo alle variazioni dei tassi (dP/dr = 0).
108
I fattori determinanti la duration
modificata (1)
I fattori che determinano la duration e quindi la
volatilità di un titolo sono tre:
1. il tasso cedolare
2. il periodo alla scadenza
3. il rendimento a scadenza
109
I fattori determinanti la duration
modificata (2)
Il tasso cedolare
La duration ed il livello del tasso cedolare sono
inversamente collegati: quindi, maggiore è il tasso,
minore è la duration e meno volatile è il prezzo del
titolo.
Questo si verifica perché l’investitore in un titolo con un
alto tasso nominale riceve, durante i primi anni di
vita del titolo, un ammontare relativamente elevato
dei flussi di cassa complessivi del titolo.
Si consideri, in proposito, il seguente esempio:
110
I fattori determinanti la duration
modificata (3)
Effetto della cedola di interessi sulla duration, con
rendimento effettivo tenuto costante al 10%
Cedola
n
6%
10%
14%
1
0,97
0,95
0,94
5
4,24
3,93
3,71
10
7,05
6,32
5,89
20
9,59
8,65
8,19
30
10,16
9,50
9,21
∞
10,00
10,00
10,00
111
I fattori determinanti la duration
modificata (4)
Il tempo alla scadenza
In linea generale, all’aumentare della scadenza,
aumenta la duration e la volatilità del titolo.
Questa relazione è intuitivamente comprensibile, poiché
quando la scadenza aumenta occorre aspettare di più
per ricevere una certa parte dei pagamenti riferiti al
titolo: ciò è dimostrato dalla tabella precedente.
Ci possono però essere delle eccezioni costituite dalle
“cosiddette obbligazioni a sconto”, vale a dire da
quelle obbligazioni in cui il tasso nominale è
inferiore al rendimento alla scadenza, facendo sì che
112
il titolo sia quotato sotto la pari.
I fattori determinanti la duration
modificata (5)
Se si considera, nell’esempio precedente, la colonna
della cedola al 6%, si nota che la duration raggiunge
il valore di 10,16 per una scadenza trentennale, per
poi discendere a 10,00 per un titolo perpetuo.
Tuttavia, a meno che il titolo non sia quotato
notevolmente sotto la pari, il punto in cui la duration
raggiunge il massimo si verifica per valori di n così
elevati da assumere scarsa importanza pratica.
E’ anche interessante notare che, nel caso di titoli
perpetui, la duration è sempre uguale al reciproco
del rendimento a scadenza del titolo: pertanto si può
113
dire che, per titoli perpetui, D = 1/r.
I fattori determinanti la duration
modificata (6)
Il rendimento a scadenza
Infine, tra la duration ed il livello del rendimento a
scadenza esiste una relazione inversa: pertanto,
all’aumentare del rendimento a scadenza, si riduce la
duration e quindi la volatilità del titolo.
Operativamente, questo si verifica perché, all’aumentare del
tasso di sconto, i valori attuali dei pagamenti lontani nel
tempo diminuiscono sia in termini assoluti, sia in
termini del loro peso sul prezzo del titolo rispetto ai
valori attuali dei primi pagamenti.
Pertanto, nell’equazione della duration diminuiscono i pesi
dei pagamenti più distanti nel tempo e, per definizione,
114
diminuisce la duration.
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (1)
Il Value at Risk (Var) misura la massima perdita
probabile che – con un determinato intervallo di
confidenza – un investitore potrà subire detenendo il
proprio portafoglio a posizioni inalterate per un
certo periodo di tempo.
9 Il VaR costituisce una misura del rischio
asimmetrico
In generale esistono tre metodi per il calcolo del VaR:
a) l’approccio varianza/covarianza (o approccio
parametrico)
b) la simulazione storica
c) la simulazione di Monte Carlo
115
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (2)
In particolare viene approfondito il modello deltanormal,
normal nell’ambito dell’approccio parametrico per
la stima del VaR.
Quali sono i 2 presupposti principali del modello deltanormal?
normal
1. Il legame esistente tra determinati fattori rischio di
mercato e specifiche posizioni finanziarie: nel caso
dei titoli obbligazionari i fattori di rischio di mercato
sono costituiti dai tassi di interesse
2. Normalità della funzione di densità delle variazioni
dei fattori di rischio
116
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (3)
La funzione di probabilità normale o Gaussiana può
essere descritta dalla seguente formula:
1
1
exp −
f ( yt ) =
2
σ 2π
2σ
( yt − µ )
2
dove:
yt = variabile casuale “variazione giornaliera” del fattore
di rischio y
µ = media o valore atteso della variabile casuale yt
σ2 = varianza della variabile casuale yt
σ = deviazione standard ovvero la radice quadrata della
117
varianza
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (4)
Per determinare il VaR occorre, innanzitutto, definire il
livello di confidenza prescelto, cioè identificare la
massima variazione sfavorevole del fattore di rischio
in corrispondenza di un determinato margine di
probabilità.
Occorre pertanto ricorrere alla funzione di ripartizione
di yt, ovvero alla funzione di distribuzione di
probabilità cumulata della variabile casuale (la
variazione del fattore di rischio), cioè al suo
integrale.
118
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (5)
In termini statistici generali, la probabilità Pr che yt sia
superiore ad µ - ασ si ottiene dall’integrale di yt
definito per valori della variabile casuale yt
compresi nell’intervallo (µ - ασ; +∞), cioè:
+∞
1
2
( yt − µ ) dyt
Pr (µ − ασ < yt < +∞ ) = ∫
exp−
2
2σ
µ −ασ σ 2π
1
Se per ipotesi, il valore di α prescelto è 1,65, si ha una
probabilità del 95% (intervallo di confidenza) che yt,
quindi la variazione giornaliera del fattore di rischio
y, sia superiore a (µ - 1,65σ)
119
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (6)
In secondo luogo, è necessario determinare i coefficienti
di sensibilità (delta) delle variazioni del valore di
mercato delle posizioni finanziarie rispetto alle
variazioni dei fattori di rischio.
Per le posizioni in titoli obbligazionari, il coefficiente
delta si identifica nella duration modificata.
A questo punto è possibile determinare il VaR di ogni
singola posizione finanziaria su un orizzonte
temporale giornaliero con la seguente formula:
120
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (7)
VAR i = VM i ⋅ δ i ⋅ α ⋅ σ i
con:
δi = coefficiente di sensibilità della posizione i-esima
alla variazione del fattore di rischio;
α = costante che individua il livello di confidenza di una
distribuzione di probabilità normale;
σi = deviazione standard della variazione giornaliera del
fattore di rischio.
121
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (8)
Estendendo quanto sin qui rappresentato ad un
portafoglio di strumenti finanziari sensibili ad n
fattori di rischio, il VaR di tale portafoglio è
riassumibile nella seguente formula:
VARP =
2
(
)
VM
δ
σ
∑ i i i + 2∑∑(VMiδiασi )(VMjδ jασ j )ρi, j
n
i=1
n
n
i=1 j >1
con:
σi , σj che rappresentano le deviazioni standard delle
variazioni dei fattori di rischio, rispettivamente, i122
esimo e j-esimo;
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (9)
ρi,j è il coefficiente di correlazione lineare tra la
variazione del fattore di rischio i-esimo e j-esimo ed
esprime l’intensità della relazione tra le medesime
ed ha valori compresi nell’intervallo [ –1 , +1].
Si noti che:
ρi,j, è ottenuto dal rapporto tra la covarianza delle
variazioni dei fattori di rischio i-esimo e j-esimo, al
e σj
al
numeratore, ed il prodotto tra σi
denominatore
si possono cogliere i benefici della diversificazione
di portafoglio dall’analisi del secondo termine della
123
relazione precedente
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (10)
Un confronto VaR/Duration:
La duration di un’obbligazione indica di quanto
varia il prezzo del bene al variare del tasso di
interesse, ma non riesce ad identificare la probabilità
che tali modifiche abbiano luogo
Il VaR,
VaR invece, tiene conto di questa probabilità
basandosi sulla distribuzione di probabilità empirica
(e storica) delle variazioni del tasso di interesse
La duration inoltre non tiene conto delle relazioni
esistenti tra i diversi beni. La diversificazione di
portafoglio ne viene quindi esclusa
124
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (11)
All’interno del metodo della simulazione storica,
storica che non
richiede alcuna preliminare assunzione sulla
distribuzione di probabilità dei profitti, esistono due
misure del VaR: il VaR parametrico e quello nonparametrico.
In entrambi i tipi di VaR esistono alcune fasi che devono
essere comunque effettuate:
a) la scelta del periodo di detenzione (holding period)
b) il calcolo statistico – utilizzando una base storica
formata da n profitti passati – delle variazioni di valore
intervenute nell’holding period
c) l’applicazione di tali variazioni storiche al valore
corrente del portafoglio, ottenendo così n ipotetici
125
cambiamenti di valore
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (12)
d) la scelta del livello di confidenza (es. 95%)
Nel caso del VaR parametrico si svolgeranno poi le
seguenti fasi:
e) calcolo della media e della deviazione standard delle
variazioni storiche di valore del portafoglio ottenute
in c)
f) sottrazione dalla media del numero di deviazioni
standard necessarie per ottenere l’intervallo di
confidenza prescelto (es. nel caso di intervallo di
confidenza del 95%, si sottrae dalla media 1,65
deviazioni standard)
126
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (13)
Nel caso del VaR non-parametrico, si svolgeranno
successivamente le seguenti fasi:
e) ordinamento delle variazioni di portafoglio
ipotetiche calcolate in c) dal risultato migliore al
risultato peggiore
f) stima della massima perdita potenziale: ad esempio,
se l’intervallo di confidenza prescelto è il 95%, si
calcolerà la media tra il 97° e il 98° percentile
dell’ordinamento effettuato in e)
127
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (14)
Esempio di calcolo del VaR nell’approccio della simulazione storica
Valore del portafoglio: € 650.000
Intervallo di confidenza: 95%
Holding period: 1 giorno
Valore portafoglio
Variazione %
Variazione ipotetica
650.000
12,07%
728.448
562.000
-13,54%
562.000
462.000
-17,79%
534.342
…….
……
……
603.000
-2,90%
631.159
550.000
-8,79%
592.869
568.000
3,27%
671.273
599.000
5,46%
685.475
580.000
128
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (15)
a)
b)
c)
d)
Procedimento comune alle due metodologie
si calcolano le variazioni effettive percentuali,
utilizzando gli ultimi 100 giorni, e si indicano nella
colonna “variazione %”
si applicano tali percentuali al valore corrente di
portafoglio (€ 650.000), ottenendo la colonna delle
variazioni ipotetiche
si calcola il VaR con il metodo parametrico
si determina il VaR con il metodo non parametrico
129
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (16)
1)
2)
3)
4)
Calcolo del VaR con il metodo parametrico
si calcola la media delle variazioni storiche del valore
di portafoglio = 653.477 = µ
la deviazione standard = 57.443 = σ
si calcola la formula parametrica per l’intervallo di
confidenza del 95%, data dalla seguente relazione: µ 1,65σ = 558.696
quindi il VaR cercato è pari alla differenza tra il valore
di portafoglio (650.000) e il valore ottenuto (558.696),
cioè € 91.304 e rappresenta la massima perdita
conseguibile con il 95% di probabilità, detenendo le
130
posizioni per un giorno
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (17)
Calcolo del VaR con il metodo parametrico
1) si ordinano le variazioni ipotetiche del valore di portafoglio
in modo decrescente:
VaR non parametrico
Ordinamento variazioni
ipotetiche
1
773.512
2
729.825
3
728.448
…….
…….
97
598.546
98
592.869
99
562.000
100
534.342
131
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (18)
2) si calcola la media tra il 97° e il 98° percentile, pari a
(598.546 + 592.869)/2. Il VaR è pari alla differenza
tra il valore di portafoglio così trovato (595.708) e il
valore iniziale del portafoglio, cioè 650.000 – 595.708
= 54.292 euro
132
Elementi del Value at Risk (VaR) di un
portafoglio obbligazionario (19)
Cenni sulla simulazione di Monte Carlo
Essa è preferita nel caso di portafogli caratterizzati da
dipendenze non-lineari, composti ad esempio da
opzioni.
La simulazione di Monte Carlo consiste nel generare delle
variabili random, trasformarle in altrettanti scenari di
mercato e applicarli al portafoglio, al fine di generare
una distribuzione di profitti o perdite.
133
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (1)
Essenzialmente, la strategic asset allocation si svolge
attraverso le seguenti fasi gestionali:
1) individuazione delle macro classi di attività verso cui
orientare le scelte di investimento
2) svolgimento di analisi storiche e di scenario che
consentano di quantificare il rischio e rendimento
attesi, per ciascuna classe di attività
3) determinazione della combinazione ottimale tra classi di
attività e obiettivi degli investitori
134
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (2)
Individuazione delle macro classi di attività verso cui
orientare le scelte di investimento
Si basa sulla costruzione delle macro classi di attività in
funzione dei diversi paesi/aree geografiche/aree
valutarie e in rapporto ai diversi settori economicoproduttivi su cui impiegare le disponibilità dei
risparmiatori.
135
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (3)
Svolgimento di analisi storiche e di scenario che
consentano di quantificare il rischio e rendimento
attesi, per ciascuna classe di attività, e quindi per la
costruzione delle due seguenti relazioni matematiche:
E (µ p ) =
n
∑ E (µ ) ⋅ w
i =1
i
i
con:
E(µp) = rendimento atteso del portafoglio
E(µi) = rendimento atteso per la i-esima classe di attività
wi = peso percentuale della i-esima classe nel portafoglio
complessivo
n
∑
i =1
wi = 1
136
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (4)
E(σ ) = ∑E(σ ) ⋅ w + ∑∑w ⋅ w ⋅ E(σ ) ⋅ E(σ ) ⋅ ρ
N
p
i=1
2
i
2
n
m
i=1 j=1
i
j
i
j
ij
dove:
E(σp) = rischio complessivo di portafoglio
E(σi) = scarto quadratico medio della classe di
attività i-esima
ρij = coefficiente di correlazione tra i rendimenti
della i-esima e della j-esima classe di attività (i ≠ j)
137
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (5)
Determinazione della combinazione ottimale tra classi di
attività
e
obiettivi
degli
investitori
Il gestore deve definire i pesi (wi) delle diverse classi di
attività selezionate che permettano di soddisfare le
esigenze
di
rendimento/rischio
attesi
dagli
investitori/clienti.
Quindi, il gestore, per ogni segmento di investitori
omogenei individuato, a cui corrispondono dati
rendimenti medi attesi e dati rischi medi attesi, dovrà
individuare i pesi (wi) che si ottengono risolvendo le
138
seguenti equazioni:
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (6)
E(µ p1 ) = ∑E(µi1 ) ⋅ wi1 = D(µ1 )
n
i =1
E(σ p1 ) =
N
∑E(σ )
i =1
i1
2
⋅ wi1 + ∑∑wi1 ⋅ wj1 ⋅ E(σ i1 ) ⋅ E(σ j1 ) ⋅ ρij1 = D(σ1 )
2
n
m
i =1 j =1
dove:
D (µ 1=) rendimento medio atteso dal generico segmento
1 di investitori/clienti
D σ 1= rischio medio atteso dal generico segmento 1 di
139
investitori/clienti
( )
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (7)
Lo studio appena trattato potrebbe essere integrato
applicando il modello della frontiera efficiente
Questo modello permette di costruire portafogli efficienti,
cioè portafogli che massimizzano il rendimento atteso,
dati i livelli di rischio assunti, o, viceversa, che rendono
minimo il rischio, dato il rendimento atteso.
Il grafico seguente illustra il perché:
140
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (8)
µ
3
4
2
1
5
σ
141
Un modello di strategic asset allocation
per i portafogli obbligazionari (9)
In chiusura d’argomento i principali punti di
debolezza del criterio testé esaminato, che è
definito approccio media-varianza, sono:
l’identificazione delle variabili inserite nella
determinazione del rendimento/rischio atteso di
portafoglio e nella costruzione della frontiera efficiente;
la nozione di rischio simmetrico considerato;
le modalità di determinazione delle preferenze degli
investitori/clienti, cioè la propensione al rischio e
rendimento che trascurano la dimensione dell’holding
142
period.
