Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione
reale
Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non
è un testo completo ma solo una bozza che servirà per arrivare il più
presto possibile a poter tracciare in modo qualitativo il grafico di una
funzione. Questi appunti sono stati scritti in un tempo molto breve, quindi
conteranno sicuramente errori che cercherò di correggere in futuro.
0.1
Le fasi dello studio del grafico di una
funzione
Data una funzione f : E ⊂ R → R, dove con E abbiamo indicato l’insieme
di esistenza, i passi per rappresentare il suo grafico sono i seguenti.
A Studiare il comportamento agli estremi dell’insieme di esistenza, i
quali si dividono in due tipi:
A1 estremi finiti, cioè punti per i quali la funzione non esiste ma
esiste per valori vicini a piacere;
A2 estremi infiniti.
B Studiare i massimi e minimi locali e gli eventuali flessi a tangente
orizzontale.
C Tracciare il grafico congiungendo tutte le informazioni ottenute nei
passi precedenti.
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2
0.2
Comportamento agli estremi caso A1
Illustriamo questa parte con degli esempi per poi generalizzare.
Esempio 0.1. Sia data la funzione
1
x
tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E =
(−∞, 0)∪(0, +∞). Gli estremi dell’insieme di esistenza sono: 0, −∞, +∞.
Come detto in precedenza si dividono in estremi finiti ed estremi infiniti.
Occupiamoci per ora solo di quelli finiti. Prima di far questo rappresentiamo l’insieme E × R, cioè l’insieme dove l’eventuale grafico della funzione
esiste. Si ha:
y
y=
E×R
x
Si noti che la retta x = 0 è stata evidenziata con il tratteggio per ricordare
che il grafico della funzione non può attraversare tale retta. Andiamo
quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della x
vicini al valore x = 0. Dalla rappresentazione grafica di E × R si osserva
che possiamo avvicinarsi al volere x = 0 sia per valori più grandi, e si
dirà da destra, che per valori più piccoli, e diremo da sinistra. I punti del
grafico hanno coordinate (x, f (x)), quindi per conoscere il comportamento
del grafico in prossimità del valore x = 0 dobbiamo capire a quale valore
tende la funzione f (x) quando x tende al valore 0. Tale operazione si
indica con
1
lim+ f (x) = lim+ , qui x tende a 0 da destra
x→0 x
x→0
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0.2 Comportamento agli estremi caso A1
1
lim− f (x) = lim− ,
x→0 x
x→0
3
qui x tende a 0 da sinistra
Per calcolare questi limiti operiamo nel modo seguente. Nell’operazione
di limite dividere un numero per una quantità che tende a zero produce
una quantità infinita (basti pensare che 1/0.001 = 1000). Il problema qui
consiste nel decidere se tende a +∞ o −∞. Per sciogliere tale dubbio
osserviamo che nel primo caso, cioè quando x tende a 0 da destra, il denominatore della frazione 1/x tende a zero per valori positivi. Scriveremo
quindi
lim+
x→0
1
1
= + = +∞
x
0
dove il segno + è stato attribuito con l’usuale regola del prodotto dei segni.
Nel secondo caso, invece, quando x tende a 0 da sinistra, il denominatore
della frazione 1/x tende a zero per valori negativi. Si ha quindi
lim−
x→0
1
1
= − = −∞.
x
0
Dal punto di vista grafico i limiti visti sopra indicano che più x è vicino
a 0 da destra più la quota del corrispondente punto sul grafico assume
valori infinitamente grandi (cioè verso +∞), mentre più x è vicino a 0 da
sinistra più la quota del corrispondente punto sul grafico assume valori
infinitamente piccoli (cioè verso −∞). In questo caso si dice che il grafico
della funzione presenta un asintoto verticale di equazione x = 0. Per
comodità si tracciano le parti del grafico che tendono asintoticamente a
tale retta in corfomità con i limiti appena calcolati. Il grafico diviene
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4
y
Asintoto verticale x = 0
x
Esempio 0.2. Sia data la funzione
y=
x2 − 2
1+x
Anche in questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il
denominatore sia diverso da 0. Si ha E = (−∞, −1)∪(−1, +∞). L’insieme
E × R diventa
y
E×R
−1
x
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0.2 Comportamento agli estremi caso A1
5
dove come nell’esempio precedente abbiamo indicato con un tratteggio la
retta x = −1 dove la funzione non esiste. Calcoliamo adesso i limiti della
funzione per x che tende a −1 da destra e da sinistra. Si ha
lim +
x→−1
−1
x2 − 2
= + = −∞
1+x
0
infatti se x tende a −1 da destra vuol dire che tende a −1 per valori
più grandi di −1 (ad esempio −0.9), ne consegue che la quantità 1 + x
tende a zero per valori positivi. Infine, la solita regola dei segni porta
alla conclusione −∞. Calcoliamo adesso il limite della funzione per x che
tende a −1 da sinistra. Si ha
lim −
x→−1
x2 − 2
−1
= − =∞
1+x
0
infatti se x tende a −1 da sinistra vuol dire che x tende a −1 per valori più
piccoli di −1 (ad esempio −1.1), ne consegue che la quantità 1 + x tende
a zero per valori negativi. Anche in questo caso si dice che il grafico della
funzione presenta un asintoto verticale di equazione x = −1 e si tracciano
le parti del grafico che tendono asintoticamente a tale retta in corfomità
con i limiti appena calcolati. Il grafico diviene
y
Asintoto verticale x = −1
−1
x
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6
Esempio 0.3. Sia data la funzione
1
y = ex
L’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore dell’esponente sia diverso da 0. Si ha E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Andiamo quindi
a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della x vicini al
valore x = 0. Si ha
1
1
lim+ e x = e 0+ = e+∞ = +∞
x→0
mentre
1
1
lim− e x = e 0− = e−∞ =
x→0
1
e+∞
=
1
=0
+∞
In questo caso la funzione tende ad una quantità infinita solo quando x
tende a zero da destra mentre tende ad un numero finito, cioè 0, quando
x tende a zero da sinistra. Anche in questo caso si dice che la retta x = 0
è un asintoto per il grafico della funzione ma si specifica che è solo per la
parte destra. Il grafico vicino alla retta x = 0 diviene
y
x = 0 è un asintoto verticale destro
?
x
Si noti che non si può ancore decidere se il grafico tende a zero da sinistra
per valori positivi (cioè sopra l’asse delle x) o negativi (cioè sotto l’asse
delle x). Per ora si lasciano le due possibilità e vedremo più avanti che la
scelta sarà obbligata.
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0.2 Comportamento agli estremi caso A1
7
Esempio 0.4. Sia data la funzione
y=
x2 − 1
x−1
Anche in questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il
denominatore sia diverso da 0. Si trova E = (−∞, 1) ∪ (1, +∞). In
questo caso si ha
0
x2 − 1
lim+
= ?
x→1 x − 1
0
Il quale rappresenta una forma di indecisione che non abbiamo ancora
affrontato. Ad ogni modo, per ora risolviamo il limite sfruttando che il
numeratore è la differenza di due quadrati. Si ha
lim+
x→1
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim+
= lim+ x + 1 = 2
x→1
x→1
x−1
x−1
Allo stesso modo
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
lim−
= lim−
= lim− x + 1 = 2
x→1 x − 1
x→1
x→1
x−1
In questo caso la funzione tende ad una quantità finita sia da sinistra che
da destra. Il grafico non presenta quindi asintoti verticali. Il grafico vicino
alla retta x = 1 diviene
y
2
1
x
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8
Esempio 0.5. Sia data la funzione
y=
|x|
x
L’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore sia diverso
da 0. Si ha E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Calcoliamo il comportamento della
funzione per valori della x vicini al valore x = 0. Si trova
lim+
x→0
x
|x|
= lim+ = 1
x→0 x
x
mentre
|x|
−x
= lim−
= −1
x→0
x→0
x
x
In questo caso la funzione tende ad una quantità finita sia da sinistra che
da destra ma, diversamente dell’esempio precedente, i due limiti destro e
sinistro sono diversi. Il grafico non presenta asintoti verticali e, vicino alla
retta x = 0, si manifesta come in figura
y
lim−
1
x
−1
Esempio 0.6. Sia data la funzione
y = ln x
In questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che l’argomento del logaritmo sia maggiore di zero. Si ha E = (0, +∞), da cui la
rappresentazione di E × R è
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0.2 Comportamento agli estremi caso A1
9
y
E×R
x
Andiamo quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori
della x vicini al valore x = 0. In questo caso possiamo avvicinarci al valore
0 solo da destra, cioè per valori maggiori di zero. Dall’analisi del grafico
elementare del logaritmo fatta per punti si deduce che
lim ln x = ln 0+ = −∞
x→0+
In questo caso la retta x = 0 è un asintoto verticale destro per il grafico,
quindi il comportamento vicino a zero è
y
x
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10
Riassumiamo quanto visto negli esempi precedenti. Sia x0 un estremo
finito per E. Indicando con
ℓ+ = lim+ f (x),
x→x0
ℓ− = lim− f (x)
x→x0
il limite destro e sinistro (quando questo è possibile) della funzione f (x)
per x che tende a x0 , si hanno le seguenti possibilità:
(i) almeno uno tra ℓ+ e ℓ− è infinito, in questo caso si dice che la retta
di equazione x = x0 è un asintoto verticale (si vedano gli esempi
0.1, 0.2, 0.3, 0.6);
(ii) ℓ+ ed ℓ− sono entrambi finiti e ℓ+ = ℓ− (si veda l’esempio 0.4);
(iii) ℓ+ ed ℓ− sono entrambi finiti e ℓ+ 6= ℓ− (si veda l’esempio 0.5).
Un definizione rigorosa di limite è la seguente
Definizione 0.7. Sia f : E ⊂ R → R una funzione e sia x0 un numero
reale appartenente ad E unito con i suoi estremi.
(a) Si dice che
lim+ f (x) = ℓ+ 6= ±∞
x→x0
se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ E
con
0 < x − x0 < δ
si ha
|f (x) − ℓ+ | < ǫ.
(b) Si dice che
lim f (x) = ℓ− 6= ±∞
x→x−
0
se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ E
con
0 < x0 − x < δ
si ha
|f (x) − ℓ− | < ǫ.
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0.2 Comportamento agli estremi caso A1
11
(c) Si dice che
lim f (x) = +∞
x→x+
0
se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ E
con
0 < x − x0 < δ
si ha
f (x) > M.
(d) Si dice che
lim f (x) = −∞
x→x+
0
se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ E
con
0 < x0 − x < δ
si ha
f (x) < −M.
Se un punto x0 appartiene all’insieme si esistenza si può calcolare il valore
della funzione in quel punto ma si può comunque calcolare il limite della
funzione per x che tende a x0 . Tuttavia può accadere che il valore della
funzione in x0 non sia uguale al valore del limite della funzione per x che
tende a destra o a sinistra di x0 . Facciamo un esempio, si consideri la
funzione cosi definita:
 2
 x se x > 0
1 se x = 0
f (x) =
 2
x se x < 0
La funzione f è definita per tutti i valori reali ed il suo grafico è il seguente:
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12
y
b
x
Risulta che f (0) = 1 mentre
lim f (x) = 0 6= f (0).
x→0±
In questo caso si dice che la funzione non è continua in x = 0. Tale
termine vuol ricordare che non è possibile tracciare il grafico della funzione
con un tratto continuo, cioè senza dover mai staccare la penna dal foglio.
L’analisi dell’esempio precedente conduce alla seguente
Definizione 0.8. Una funzione f : E ⊂ R → R si dice continua in un
punto x0 ∈ E se
lim+ f (x) = lim− f (x) = f (x0 ).
x→x0
x→x0
Nel seguito quando limx→x+0 f (x) = limx→x−0 f (x) parleremo solamente di
limx→x0 f (x) intendendo che il valore da destra è lo stesso del valore da
sinistra.
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0.3 Successioni
13
Prima di esaminare il comportamento di una funzione agli estremi infiniti
è conveniente esaminare il caso delle successioni.
0.3
Successioni
Si dice successione una qualsiasi funzione a : N → R. Spesso per indicare
una successione si usa la sequenza delle immagini:
a0 = a(0),
a1 = a(1),
...
an = a(n),
...
Talvolta si considera l’insieme N privato dello zero e quindi si considera
come primo termine di una successione quello con indice 1 ossia:
a1 = a(1),
a2 = a(2),
...
an = a(n),
...
Per questo motivo è opportuno fare attenzione al significato di espressioni come primo termine della successione oppure primi 5 termini della
successione che potrebbero risultare ambigui. A priori qualsiasi sequenza
di numeri costituisce una successione; potremmo, ad esempio, costruirne
una lanciando un dado e considerando come an il numero uscito all’nesimo lancio. In generale però tratteremo successioni i cui termini sono
ottenibili mediante una qualche formula matematica.
Esempio 0.9. La successione an = n2 è la successione dei quadrati dei
numeri naturali:
a0 = 0,
a1 = 1,
La successione bn =
naturali:
b0 = 0,
√
3
a2 = 4,
a3 = 9,
a4 = 16,
...
n è la successione delle radici cubiche dei numeri
b1 = 1,
b2 =
√
3
2,
b3 =
√
3
3,
b4 =
√
3
4,
...
La successione cn = (−1)n è una successione i cui termini si ripetono
infinite volte
c0 = 1,
c1 = −1,
c2 = 1,
c3 = −1,
c4 = 1,
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...
14
an
b
bn
b
b
b
1
b
2
b
b
3
4
b
b
5
6
7
n
b
b
1
2
3
n
4
Figura 1: Alcuni punti del grafico delle successione an = n2 (a sinistra)
e bn = (−1)n (a destra).
0.4
Grafico di una successione
Come visto nel paragrafo precedente una successione an è una funzione
an : N → R. Possiamo quindi rappresentare una successione tramite il suo
grafico:
G(an ) = {(n, an ) : n ∈ N}.
In questo caso il grafico non costituisce una linea continua, infatti le ascisse
dei punti del grafico possono assumere solo valori naturali e quindi sono
ben distanziati.
Consideriamo alcuni esempi. In Figura 1 sono mostrati i primi punti del
grafico delle successioni
an = n2
La successione cn =
n
,
n−1
e bn = (−1)n .
definita per n ≥ 2, ha valori iniziali
c2 = 2, c3 = 3/2 = 1.5, c4 = 4/3 = 1.3, c5 = 5/4 = 1.25, c6 = 6/5 = 1.2, . . .
mentre la successione dn = (−2)n inizia con
d0 = 1, d1 = −2, d2 = 4, d3 = −8, . . .
I grafici di cn e dn sono mostrati in Figura 2.
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0.5 Limiti di una successione
15
dn
b
b
1
2
3
4
5
6
7
n
b
cn
b
b
b
b
b
4
5
6
b
1
2
3
7
n
Figura 2: Alcuni punti del grafico delle successione cn =
e dn = (−2)n (a destra).
0.5
n
n−1
(a sinistra)
Limiti di una successione
Il grafico di una successione è utile per riconoscere alcune proprietà matematiche. Iniziamo con la seguente
Definizione 0.10. Un successione an si dirà:
• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che an ≥ m
∀n ∈ N;
• limitata superiormente se esiste un numero M tale che an ≤ M
∀n ∈ N;
• limitata se è limitata inferiormente e superiormente.
Per le successioni viste nel paragrafo precedente valgono le seguenti proprietà:
an
an = n2
bn = (−1)n
n
cn = n−1
dn = (−2)n
limitata inferiormente
si da 0
si da −1
si da 1
no
limitata superiormente
no
si da 1
si da 2
no
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16
La tabella sopra è stata costruita guardando il comportamento del grafico delle successioni. Alcune deduzioni sono ovvie, per esempio, è ovvio
che la successione an = n2 non è limitata superiormente. Altre, invece,
richiedono più attenzione e devono essere dimostrate in modo rigoroso.
n
Mostriamo, per esempio, che la successione cn = n−1
è limitata inferiorn
mente da 1, cioè che per ogni n il numero cn = n−1 è maggiore di 1. Si
ha
n
n
cn =
> = 1.
n−1
n
Qui abbiamo utilizzato la proprietà che aumentando il denominatore di
una frazione questa diminuisce.
In alcuni casi le successioni, man mano che n cresce, tendono ad un valore
n
preciso. La successione cn = n−1
, per n molto grande, fornisce un valore
sempre più vicino ad 1, per esempio per n = 100 si ha c100 = 1.01.
Quando una successione an tende ad un numero ℓ, per valori di n infinitamente grandi, si dice che la successione converge ad ℓ e si scrive
lim an = ℓ.
n→∞
A volte indicheremo an → ℓ per indicare che la successione converge ad
ℓ. Prima di dare la definizione formale di successione convergente introduciamo la seguente notazione. Diciamo che una successione an possiede
definitivamente una certa proprietà se esiste un numero N tale che la
proprietà risulta verificata per ogni n > N. Per esempio, la successione
an = n − 6 è definitivamente positiva, infatti per n > 6, an > 0.
Definizione 0.11. Una successione an si dice convergente se esiste un
numero ℓ tale che: qualunque sia ǫ > 0 risulta definitivamente
|an − ℓ| < ǫ.
(1)
Il numero ℓ si chiama limite della successione an .
Si noti che la disuguaglianza (1) corrisponde alle seguenti due
ℓ − ǫ < an < ℓ + ǫ.
(2)
Se tracciamo una striscia orizzontale delimitata dalle rette y = ℓ − ǫ e
y = ℓ + ǫ la (2) significa che i punti della successione an , da un certo punto
in poi, non escono dalla striscia.
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0.5 Limiti di una successione
an
17
✻
ℓ+ǫ
ℓ
ℓ−ǫ
✲
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
Figura 3: Significato geometrico della definizione di limite.
Nell’esempio in Figura 3 i punti della successione non escono dalla striscia
per n ≥ N = 5. Se diminuiamo il valore di ǫ il numero N cresce, come
mostra la Figura 4 nella quale i punti sono tutti all’interno della striscia
per n ≥ 8.
Esempio 0.12. Mostriamo, utilizzando la definizione, che la successione
an = n1 converge a zero. Fissato ǫ > 0 dobbiamo trovare N tale che per
ogni n > N si ha
1
0 − ǫ < < 0 + ǫ.
n
1
La prima disuguaglianza, −ǫ < n , è sempre soddisfata, mentre la seconda
1
<ǫ
n
è soddisfata per n > 1ǫ , quindi si sceglierà N >
ǫ = 0.01 si ha N = 1ǫ = 100.
0.5.1
1
.
ǫ
Se, per esempio,
Successioni divergenti e successioni irregolari
Le successioni che non convergono, cioè tali che non esiste un numero finito
a cui la successione tende per n infinitamente grande, sono di due tipi.
Definizione 0.13. Una successione an si dice che diverge a +∞ (−∞) se
per ogni M > 0 si ha che definitivamente an > M (an < −M).
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18
an
✻
ℓ
✲
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
Figura 4: Significato geometrico della definizione di limite.
Diremo nei due casi, rispettivamente, che +∞ e −∞ sono il limite della
successione.
Esempio 0.14.
n2 diverge a +∞. Infatti per ogni M > 0,
√ La successione
scelto N > M, si ha che n2 > M per ogni n > N.
Esistono successioni che non sono convergenti né divergenti. Queste successioni si chiamano irregolari.
Esempio 0.15. La successione (−1)n essendo limitata non potrà divergere
ma non è convergente, infatti al crescere di n saltella tra i valori 1 e −1.
Allo stesso modo la successione (−2)n non è convergente in quanto non è
limitata ma non diverge a +∞ o −∞ poiché per ogni dato M > 0 assume
valori sia maggiori di M che minori di −M.
Per le successioni viste nel paragrafo precedente si ha:
an
an = n2
bn = (−1)n
n
cn = n−1
dn = (−2)n
convergenza
diverge a +∞
irregolare
converge a 1
irregolare
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0.5 Limiti di una successione
0.5.2
19
Calcolo dei limiti
Prima di illustrare le regole di calcolo dei limiti di una successione consideriamo due casi notevoli.
Esempio 0.16 (La successione potenza). Calcoliamo il limite della successione an = nα con α ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a seconda
del valore di α.
(α > 0) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogni
1
M > 0, scegliendo N > M α , si ha nα > M per ogni n > N.
(α < 0) Ponendo α = −β, β > 0, si ha
nα = n−β =
1
.
nβ
Dal punto precedente sappiamo che nβ assume valori infinitamente grandi e trovandosi al denominatore fa si che n1β assuma valori
sempre più piccoli. Segue che la successione converge a 0.
(α = 0) La successione diventa an = n0 = 1. Valendo per ogni n la
successione converge ad 1.
Riassumendo:

 +∞ se α > 0
α
0
se α < 0
lim n =
n→∞

1
se α = 0
Esempio 0.17 (La successione geometrica). Calcoliamo il limite della
successione an = q n con q ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a seconda
del valore di q.
(q > 1) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogni
M > 0, scegliendo N > logq M, si ha q n > M per ogni n > N.
(q = 1) La successione diventa an = 1n = 1, quindi converge ad 1.
(|q| < 1) La successione converge a 0. Supponiamo per primo che 0 <
q < 1 e poniamo q = p1 con p > 1. La successione diventa
n
1
1
n
= n.
q =
p
p
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20
Per il primo caso si ha che pn assume valori infinitamente grandi e
trovandosi al denominatore fa si che p1n assuma valori sempre più
piccoli. Allo stesso modo si argomenta nel caso −1 < q < 0.
(q ≤ −1) In questo caso la successione è irregolare come già mostrato
negli esempi del paragrafo precedente.
Riassumendo:

+∞



1
lim q n =
0
n→∞



∄
se
se
se
se
q>1
q=1
|q| < 1
q ≤ −1
Esaminiamo ora le proprietà dell’operazione di limite rispetto alle operazioni algebriche.
Se an → a e bn → b allora
an + bn
→
a+b
an − bn
→
a−b
an bn
→
ab
an
bn
→
a
b
(bn , b 6= 0)
(an )bn
→
ab
(an , a > 0)
Inoltre l’operazione di limite mantiene l’ordinamento cioè: se an → a,
bn → b e an ≥ bn allora a ≥ b.
Consideriamo il caso in cui i limiti sono +∞ o −∞. Supponiamo per
esempio che an → a e bn → +∞. Allora è facile vedere che an +bn → +∞.
Abbrevieremo questa scrittura cosı̀: a+∞ = +∞. Ragionando in maniera
analoga si ottengono le regole per il limite della somma (o differenza) di
due successioni delle quali una o entrambe sono divergenti.
a + ∞ = +∞
a − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
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0.5 Limiti di una successione
21
Analogamente per il prodotto (o il rapporto) abbiamo le regole seguenti
(il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)
a · ∞ = ∞ (a 6= 0)
a
=0
∞
a
=∞
0
(a 6= 0)
A questo elenco mancano le regole relative a quattro operazioni:
+∞ − ∞,
0 · ∞,
0
,
0
∞
.
∞
Queste espressioni si chiamano forme indeterminate o di indecisione,
poiché nessuna regola può essere stabilita a priori per determinare il risultato. Nel prossimo paragrafo mostreremo come risolvere alcune delle
forme di indecisione più frequenti.
0.5.3
Confronti
Una successione che converge a 0 si dice infinitesimo; una successione
che diverge (a +∞, o a −∞) si dice infinito. Quando due successioni
sono entrambe infinitesimi o infiniti, è utile stabilire un confronto tra di
esse, per capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all’infinito.
Consideriamo i seguenti esempi di infiniti:
an = log2 n,
bn = n,
cn = 2 n .
Guardano il grafico delle tre successioni ci si accorge immediatamente che
an cresce meno velocemente di bn che a sua volta cresce meno velocemente
di cn .
Per capire cosa vuol dire ”cresce meno velocemente” calcoliamo il limite
∞
n
=
n→∞ log2 n
∞
lim
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
22
Se il numeratore cresce più velocemente del denominatore vuol dire che,
man mano che cresce n, il rapporto logn n diventa sempre più grande
2
tendendo all’infinito. Viceversa, se calcoliamo il limite
n
∞
=
n
n→∞ 2
∞
lim
qui il denominatore cresce molto più velocemente del numeratore e fa si
che il rapporto 2nn diventi sempre più piccolo convergendo a zero.
Consideriamo adesso il
∞
n+1
= .
lim
n→∞
n
∞
In questo caso una semplice operazione algebrica fa si che
1
n 1
n+1
= lim + = 1 +
=1+0=1
n→∞ n
n→∞
n
n
∞
lim
Riassumendo, per il rapporto tra due infiniti an
possibilità

0



an
ℓ 6= 0, finito
lim
=
n→∞ bn
±∞



∄
e bn si presentano quattro
(a)
(b)
(c)
(d)
Diciamo che in
(a) an è un infinito di ordine inferiore a bn ;
(b) an e bn sono infiniti dello stesso ordine;
(c) an è un infinito di ordine superiore a bn ;
(d) an e bn non sono confrontabili.
Il caso (d) occorre, per esempio, se an = n(2 + sin n) e bn = n; essendo
(2 + sin n) una quantità limitata (compresa tra 1 e 3) la successione an
diverge a +∞, mentre il rapporto
n(2 + sin n)
an
=
= (2 + sin n)
bn
n
oscilla tra 1 e 3 comportandosi in modo irregolare.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.5 Limiti di una successione
23
In modo analogo se due successioni an e bn convergono a 0 e bn 6= 0, per il
limite del rapporto abnn si presenta una delle quattro situazioni viste sopra
e diremmo che in:
(a) an è un infitesimo di ordine superiore a bn ;
(b) an e bn sono infinitesimi dello stesso ordine;
(c) an è un infinitesimo di ordine inferiore a bn ;
(d) an e bn non sono confrontabili.
Esempio 0.18. Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola per
calcolare l’ordine di infinito. Siano
P (n) = pr nr + pr−1 nr−1 + · · · + p1 n + p0
e
Q(n) = qs ns + qs−1 ns−1 + · · · + q1 n + q0
due polinomi di grado r ed s rispettivamente.

±∞ se
P (n) 
0 se
=
lim
n→∞ Q(n)
 pr se
qs
Si ha
r>s
r<s
r=s
dove il segno di ±∞ è quello del rapporto pqsr . Quindi l’ordine di infinito
dei polinomi corrisponde al grado dei polinomi.
Per gli altri infiniti esiste la seguente scala delle velocità:
logaritmi ≪ polinomi ≪ esponenziali
Esempio 0.19.
1.
2n
+∞
=
= +∞
n→∞ n10
+∞
Infatti, l’esponenziale è un infinito di ordine superiore al polinomio.
lim
2.
+∞
ln(n10 + 2)
=
=0
n→∞ n2 + n − 1
+∞
Poiché, il logaritmo è un infinito di ordine inferiore al polinomio.
lim
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
24
3.
+∞
ln(n10 + 2)
=
= +∞
n→∞
0.1n
0
In questo caso non si tratta di una forma di indecisione, infatti se
il denominatore converge a 0 e il nominatore tende a +∞, entrambi
contribuiscono a far divergere il rapporto.
lim
0.5.4
La differenza di due infiniti
Nel paragrafo precedente abbiamo visto come risolvere alcuni casi in cui
si presenta la forma di indecisione ∞
. Vediamo ora come risolvere l’inde∞
cisione
+∞ − ∞.
Nel caso dei polinomi la situazione è semplice: il monomio di grado maggiore controlla il comportamento del polinomio. Per esempio il polinomio
n3 − 5n2 + 2 diverge a +∞ in quanto il monomio di grado maggiore, n3 ,
diverge a +∞. Il polinomio n3 − n2 + 4n − 6n4 diverge invece a −∞,
essendo il monomio di grado massimo −6n4 .
Quando si considera la differenza
an − bn
tra due infiniti diversi dai polinomi si può procedere mettendo in evidenza
quello di ordine maggiore. Per esempio, calcoliamo
lim 2n − n3 = +∞ − ∞.
n→∞
Mettendo in evidenza 2n si ha
n3
) = +∞(1 − 0) = +∞.
n→∞
n→∞
2n
Se non è chiaro quale dei due infiniti abbia ordine maggiore, si può mettere
in evidenza uno dei due a caso. Ad esempio, per calcolare
lim 2n − n3 = lim 2n (1 −
lim log2 n − log4 n
n→∞
mettiamo in evidenza log4 n. Si ottiene
2 log4 n
log2 n
− 1) = lim log4 n(
− 1)
n→∞
n→∞
log4 n
log4 n
= +∞(2 − 1) = +∞
lim log2 n − log4 n =
n→∞
lim log4 n(
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.6 Esercizi sui limiti delle successioni
25
dove abbiamo utilizzato
log2 n =
log4 n
= 2 log4 n.
log4 2
Osservazione 0.20. Si noti che la successione log2 n non è un infinito di
ordine superiore a log4 n come si potrebbe pensare dal risultato del limite
della loro differenza. Infatti si ha
2 log4 n
log2 n
= lim
=2
n→∞ log 4 n
n→∞ log4 n
lim
il che implica che log2 n e log4 n sono infiniti dello stesso ordine.
0.6
Esercizi sui limiti delle successioni
1. Rappresentare il grafico, per n = 1, 2, 3, 4, 5, delle seguenti successioni:
2n
(1/4)n
log2 (n)
an =
; an =
; an =
;
n
n+3
4
n
2. Calcolare il limite, per n che tende all’infinito, delle seguenti successioni:
n2 − n3
n2 − n3
n1/2
an =
; an =
;
a
=
;
n
n
n − n3
n
an =
3n
;
n
an =
2003
an =
;
n
an =
ln(n)
;
n
(1203)n
an =
;
(0.0003)n
3n
;
2−n
an =
(0.0003)n
;
(0.003)2n
log(n2 − n)
;
n
an =
log(n10 )
;
log(n) + log(n9 )
an =
an =
(1/4)n
;
(4/7)n
an = log3 (n2 ) − n;
an = log3 (n2 ) − log2 (n3 );
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
26
an =
en − log n
;
3en + n5
an =
6en + n
√
;
an =
3en + n2 + 1
1
an = sin( );
n
an = n4 − (ln(n))4 ;
5n + n2 − log n
√
;
n4 + 1
√
3
2 + n6
an = √
;
n4 + 1
an = cos(
n2
);
1 − n4
an = (0.9)n + (0.3)n − (1.2)n ;
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.7 Comportamento agli estremi caso A2
27
Torniamo adesso allo studio di una funzione reale.
0.7
Comportamento agli estremi caso A2
Anche in questo caso vediamo prima degli esempi.
Esempio 0.21. Sia data la funzione
1
x
Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E =
(−∞, 0)∪(0, +∞). Gli estremi dell’insieme di esistenza sono: 0, −∞, +∞.
Nella sezione precedente abbiamo studiato il comportamento della funzione vicino a zero. Andiamo adesso ad occuparci del comportamento della
funzione quando x tende a ±∞. Per tale operazione dobbiamo ancora una
volta svolgere un limite, è cioè dobbiamo calcolare
y=
1
x→+∞ x
lim
e
1
x→−∞ x
lim
Per calcolare questi limiti si procede nel modo seguente: nel primo caso,
cioè quando x tende a +∞, si pone x = n e si calcola
1
1
= lim
n→∞ n
x→+∞ x
lim
questo è il limite di una successione cha sappiamo valere
lim
x→+∞
1
1
1
= lim =
=0
n→∞
x
n
∞
Per calcolare il limite per x che tende a −∞ si pone x = −n. In tal modo
quando n tende a +∞ la x tende a −∞ e si ha
1
1
1
= lim
=
=0
n→∞ −n
x→−∞ x
−∞
lim
Ma qual’è il significato geometrico di questi limiti. Di fatto limx→+∞ x1 = 0
ci dice che man mano che valutiamo la funzione per valori della x sempre
più grandi la funzione e quindi la quota del grafico tende a valori prossimi
allo zero. Si dice allora che il grafico presenta un asintoto orizzontale di
equazione y = 0. Lo stesso vale quando si tende a −∞. La visualizzazione
grafica diventa:
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
28
y
Asintoto orizzontale y = 0
?
?
x
Non si può decidere a priori se il grafico tende all’asintoto da sopra o da
sotto. In ogni caso vedremo più avanti che tale ambiguità si risolverà in
modo naturale.
Esempio 0.22. Sia data la funzione
y = x2
tale funzione esiste per tutti i valori reali cioè E = (−∞, +∞). Gli estremi
dell’insieme di esistenza sono: −∞, +∞. Calcoliamo quindi il limite per
x che tende a +∞ e −∞. Si ha
lim x2 = lim n2 = +∞
x→+∞
n→∞
e
lim x2 = lim (−n)2 = +∞
x→−∞
n→∞
In questo caso la funzione non presenta asintoti orizzontali in quanto il
suo grafico non tende ad una quota finita ma cresce sempre. Il grafico è
infatti:
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.7 Comportamento agli estremi caso A2
29
y
x
Cerchiamo di capire meglio cosa succede quando una funzione ha un limite
infinito per x che tende a +∞ o −∞. Si presentano tre situazioni diverse
che adesso elenchiamo. Supponiamo che
lim f (x) = ∞
x→∞
allora si presentano i seguenti tre casi
(i) la funzione cresce più velocemente di una retta;
(ii) la funzione cresce come una retta;
(iii) la funzione cresce più lentamente di una retta.
Dal punto di vista analitico per capire se la nostra funzione si trova in uno
dei tre casi elencati sopra basta confrontare la velocità con cui la funzione
tende all’infinito con la velocità con cui una retta tende all’infinito. Cioè
si esegue il limite
f (x)
lim
x→∞ x
Si hanno quindi le seguenti possibilità:

∞
allora siamo nel caso (i)
f (x) 
m 6= 0 allora siamo nel caso (ii)
se lim
=
x→∞ x

0
allora siamo nel caso (iii)
La rappresentazione grafica dei tre casi è illustrata nella figura seguente
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
30
(i)
(ii)
(iii)
Il caso (ii) merita alcune considerazioni. Dalla figura sembra che se
f (x)
= m 6= 0
x→∞ x
lim
allora il grafico della funzione tende asintoticamente ad una retta obliqua,
cioè la funzione presenta un asintoto obliquo. Per affermare con certezza
che questo sia vero bisogna verificare se sia possibile ricavare l’equazione
dell’eventuale asintoto obliquo. Per far questo denotiamo con y = mx +
q l’equazione dell’eventuale asintoto obliquio. Allora diremo che esiste
l’asintoto obliquo se:
f (x)
= m 6= 0,
x→∞ x
lim
e se q = lim [f (x) − mx] esiste ed è finito
x→∞
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 0.23. Si consideri la funzione
y=
x2 + 1
x
Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E =
(−∞, 0) ∪ (0, +∞). Andiamo a verificare il comportamento a −∞ e +∞.
Si ha, usando le regole delle velocità per i polinomi,
+∞
x2 + 1
n2 + 1
= lim
=
= +∞
x→+∞
n→∞
x
n
+∞
lim
mentre
+∞
(−n)2 + 1
x2 + 1
= lim
=
= −∞
n→∞
x→−∞
x
−n
−∞
lim
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.7 Comportamento agli estremi caso A2
31
Verifichiamo adesso con quale velocità la funzione cresce a +∞, si ha
f (x)
x2 + 1
n2 + 1
= lim
=
lim
=1
x→+∞ x
x→+∞
n→∞
x2
n2
m = lim
Siamo quindi nel caso (ii). Per decidere se esiste l’asintoto obliquo dobbiamo calcolare
1
1
x2 + 1
− x = lim
=
=0
x→+∞ x
x→+∞
x→+∞
x
∞
Segue che la retta y = mx + q = x è un asintoto obliquo per la funzione
quando x tende a +∞. Con calcoli analoghi si ricava che la retta y = x è
un asintoto obliquo anche per x che tende a −∞. Il grafico diventa
y
q = lim [f (x) − mx] = lim
?
x
?
Anche in questo caso non possiamo decidere a priori se il grafico tende
all’asintoto da sopra o da sotto ma sarà risolto nel seguito.
Esempio 0.24. Si consideri la funzione
y = x + ln x
In questo caso l’insieme di esistenza è E = (0, +∞). Andiamo a studiare
il comportamento della funzione per x che tende a +∞. Si ha
lim x + ln x = +∞ + ∞ = +∞
x→+∞
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
32
Andiamo a verificare se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l’eventuale
m si trova
x + ln x
x ln x
m = lim
= lim
+
=1+0=1
x→+∞
x→+∞ x
x
x
Sembrerebbe quindi che possa esistere l’asintoto obliquo.
calcolo di q conduce a
Tuttavia il
q = lim x + ln x − x = lim ln x = +∞
x→+∞
x→+∞
quindi non esiste l’asintoto obliquo in quanto il valore di q deve essere
finito. Il grafico è il seguente
y
x
Come si nota dalla figura il grafico, nonostante cresca in modo simile ad
una retta, non tende ad una retta.
Esempio 0.25. Si consideri la funzione
√
y= x
In questo caso l’insieme di esistenza è E = [0, +∞). Studiamo il comportamento della funzione per x che tende a +∞. Si ha
√
√
x = +∞ = +∞
lim
x→+∞
Verifichiamo se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l’eventuale m si
trova
√
x
1
1
m = lim
= lim √ =
=0
x→+∞ x
x→+∞
x
+∞
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.7 Comportamento agli estremi caso A2
33
Siamo quindi nel caso in cui il grafico della funzione cresce più lentamente
di una retta, come mostra la seguente figura
y
x
Esempio 0.26. Come ultimo esempio consideriamo la funzione
√
y = x2 − 1
L’insieme di esistenza in questo caso richiede x2 −1 ≥ 0. Tale disequazione
è verificata per valori esterni alle radici dell’equazione associata x2 −1 = 0.
Segue che E = (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
y
E ×R
E ×R
x
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
34
Studiamo il comportamento a +∞ e −∞. Si trova
√
√
lim
x2 − 1 = +∞ e
lim
x2 − 1 = +∞
x→+∞
x→−∞
Verifichiamo l’esistenza di eventuali asintoti obliqui. Iniziamo a controllare
per x che tende a +∞.
p
p
√
x2 (1 − 1/x2 )
|x| (1 − 1/x2 )
x2 − 1
= lim
= lim
m = lim
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
x
x
Adesso, siccome x tende a +∞ vuol dire che assume valori positivi e
quindi, dalla definizione di valore assoluto, si trova
p
p
p
|x| (1 − 1/x2 )
x (1 − 1/x2 )
(1 − 1/x2 ) = 1
m = lim
= lim
= lim
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
x
Calcoliamo l’eventuale termine q dell’equazione dell’asintoto
√
q = lim
x2 − 1 − x = +∞ − ∞
x→+∞
Per
√ risolvere questa forma di indecisione moltiplichiamo e dividiamo per
x2 − 1 + x. Utilizzando la formula della differenza di due quadrati si
ottiene
√
√
√
( x2 − 1 − x)( x2 − 1 + x)
2
√
q = lim
x − 1 − x = lim
x→+∞
x→+∞
x2 − 1 + x
2
2
x −1−x
−1
−1
= lim √
=0
= lim √
=
x→+∞
+∞
x2 − 1 + x x→+∞ x2 − 1 + x
La retta y = x è quindi un asintoto obliquo per il grafico della funzione
quando x tende a +∞. Nel caso in cui x tenda a −∞ si trova
p
p
−x (1 − 1/x2 )
|x| (1 − 1/x2 )
= lim
m = lim
x→−∞
x→−∞
x
x
p
2
= lim − (1 − 1/x ) = −1
x→−∞
mentre, con calcoli analoghi al caso +∞ si trova che q vale ancora zero.
Segue che la retta y = −x è un asintoto obliquo per il grafico della funzione
per x che tende a −∞. Il grafico diventa quello mostrato in figura.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.8 Derivata di una funzione
35
y
x
0.8
Derivata di una funzione
In questo paragrafo ci proponiamo di risolvere il seguente problema:
Data una funzione f : E ⊂ R → R determinare il coefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione in un
punto di ascissa x0 ∈ E
Si consideri un punto P0 = (x0 , f (x0 )) sul grafico della funzione y = f (x)
di ascissa x0 e la retta tangente r0 al grafico come mostrato nella figura
seguente.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
36
r0
y
f (x0 + h)
f (x0 )
rh
b
y = f (x)
b
x0
x0 + h
x
Fissato un valore h si consideri il punto Ph = (x0 + h, f (x0 + h)) sul grafico
della funzione di ascissa x0 + h. Il coefficiente angolare mh della retta rh
passante per P0 e Ph è dato dall’usuale formula
mh =
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
=
x0 + h − x0
h
Se adesso diminuiamo il valore di h un’attenta osservazione del grafico
sopra mostra che la retta rh tende a sovrapporsi alla retta r0 . Di conseguenza per valori di h che tendono al valore zero il coefficiente angolare
mh tende al coefficiente angolare m0 della retta tangente r0 . Segue che
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
m0 = lim mh = lim
h→0
Dobbiamo subito notare che il limite sopra potrebbe non esistere o essere infinito. Tratteremo queste possibilità in seguito. Per ora diamo la
seguente definizione.
Definizione 0.27. Data una funzione f : E ⊂ R → R ed un punto
x0 ∈ E si dice che f è derivabile in x0 se
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
esiste ed è finito. Il valore del limite, cioè il coefficiente angolare della
retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0 , si chiama
valore della derivata della funzione nel punto x0 e si scrive
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f ′ (x0 ) = m0 = lim
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.8 Derivata di una funzione
37
Quindi la derivata di una funzione f : E ⊂ R → R è una nuova funzione
f ′ : E ′ :→ R il cui valore in un punto x0 ∈ E ′ , se x0 ∈ E, fornisce
il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel
punto di ascissa x0 .
Diamo adesso le regole per determinare la derivata di una funzione. Tali regole dovrebbero essere dimostrate utilizzando la definizione. Noi le
prenderemo per buone.
La tabella delle derivate delle funzioni elementari è la seguente:
Funzione Derivata
Funzione Derivata
xn
ax
ax ln a
ex
ex
loga x
1
x ln a
ln x
1
x
sin x
cos x
cos x
− sin x
n xn−1
cf
c f′
f +g
f ′ + g′
fg
f g + fg
f /g
f ′g − f g′
g2
′
′
Alla tabella sopra bisogna aggiungere la derivazione della funzione composta. Se h = g ◦ f cioè se h(x) = g(f (x)), allora si ha che
h′ (x) = g ′ (f (x)) f ′(x).
Per esempio la regola della derivazione della funzione composta implica le
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
38
seguenti regole:
Funzione
Derivata
f (x)n
n f (x)n−1 f ′ (x)
ef (x)
ef (x) f ′ (x)
ln(f (x))
f ′ (x)
f (x)
p
f (x)
f ′ (x)
p
2 f (x)
sin(f (x))
cos(f (x)) f ′ (x)
cos(f (x))
− sin(f (x)) f ′(x)
Analizziamo, utilizzando le regole delle derivate, la derivata di alcune
funzioni elementari.
√
Si consideri la funzione f (x) = x = x1/2 . La sua derivata diventa
1
1
f ′ (x) = x1/2−1 = √
2
2 x
L’insieme di esistenza della funzione f è E = [0, +∞) mentre la derivata
f ′ non è definita in 0. Se operiamo il limite per x che tende a zero della
derivata, si ottiene
1
lim+ f ′ (x) = √ = +∞.
x→0
2 x
Essendo la derivata la funzione che per ogni valore della x fornisce il
coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto
di ascissa x, il limite visto sopra ci dice che il coefficiente angolare della
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.9 Massimi, minimi e flessi
39
√
retta tangente alla funzione f (x) = x tende all’infinito man mano che
x tende a zero. Ma il coefficiente angolare di una retta tende all’infinito
quando la retta si sta portando
in una posizione verticale. Infatti il grafico
√
della funzione f (x) = x è
y
x
dal quale è evidente che la retta tangente, per x = 0, è la retta verticale
di equazione x = 0, cioè l’asse delle ordinate.
0.9
Massimi relativi, minimi relativi e flessi
a tangente orizzontale
Torniamo adesso allo studio del grafico di una funzione. Dopo lo studio
del comportamento agli estremi ci rimane da considerare il comportamento
della funzione nelle parti tra due estremi. La filosofia che ci guiderà per
tale studio è la seguente.
Consideriamo il seguente grafico di una ipotetica funzione y = f (x).
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
40
y
x2
x1
x
Per ogni valore di x < x1 la retta tangente al grafico nel punto di scissa
x1 è crescente e di conseguenza il suo coefficiente angolare è positivo. Ma
essendo il coefficiente angolare della retta tangente pari al valore della
derivata della funzione in x, si deve avere che per tutti i valori di x < x1
la derivata della funzione è positiva. Arrivati al punto sul grafico di ascissa
x1 la retta tangente risulta orizzontale e di conseguenza il suo coefficiente
angolare (o il valore della derivata in x1 ) è pari a zero. Per valori della
x compresi tra x1 e x2 la retta tangente ha invece coefficiente angolare
negativo e di conseguenza è negativo il valore della derivata per ogni x
con x1 < x < x2 . Arrivati ad x2 la retta tangente è di nuovo orizzontale
e quindi la derivata in x2 vale zero. Infine per valori x > x2 la derivata
della funzione torna ad assumere valori positivi.
Questa semplice analisi ci permette di concludere che:
• f ′ (x) > 0 se e solo se la il grafico della funzione è crescente in x
(in questo caso si dice che la funzione è crescente)
• f ′ (x) < 0 se e solo se la il grafico della funzione è decrescente in x
(in questo caso si dice che la funzione è decrescente)
Inoltre il grafico dell’esempio presenta due punti particolari: uno in corrispondenza di x1 e l’altro in corrispondenza di x2 . Nel primo caso la
la funzione è crescente per valori minori di x1 ed è decrescente per valori maggiori di x1 , siamo passati per un picco e si dice che la funzione
presenta un massimo locale nel punto P1 = (x1 , f (x1 )). Nel secondo
caso la funzione è decrescente per valori minori di x2 ed è crescente per
valori maggiori di x2 , siamo passati per una valle e si dice che la funzione
presenta un minimo locale nel punto P2 = (x2 , f (x2 )).
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.9 Massimi, minimi e flessi
41
I punti di massimo e minimo locale sono gli ingredienti chiave per completare lo studio di funzione. Un osservazione ovvia è che nei punti di
massimo e minimo locale la derivata della funzione assume valore zero (la
retta tangente al grafico è orizzontale in quei punti). Ci si può chiedere se
in tutti i punti in cui la derivata prima è orizzontale si presenti un massimo o un minimo locale. La risposta è negativa. Di fatto si hanno quattro
possibilità.
Sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E. Supponiamo che f ′ (x0 ) = 0,
allora si hanno le seguenti possibilità:
• f ′ (x) > 0 per x < x0 e f ′ (x) < 0 per x > x0 . In questo caso la
funzione presenta un massimo locale in x0 .
• f ′ (x) < 0 per x < x0 e f ′ (x) > 0 per x > x0 . In questo caso la
funzione presenta un minimo locale in x0 .
• f ′ (x) < 0 per x < x0 e f ′ (x) < 0 per x > x0 . In questo caso la
funzione presenta un flesso decrescente a tangente orizzontale
in x0 .
• f ′ (x) > 0 per x < x0 e f ′ (x) > 0 per x > x0 . In questo caso la
funzione presenta un flesso crescente a tangente orizzontale in
x0 .
Le quattro possibilità si possono osservare nella figura sotto dove: in
corrispondenza di x1 c’è un flesso crescente; in corrispondenza di x2 c’è
un massimo locale; in corrispondenza di x3 c’è un flesso decrescente; in
corrispondenza di x4 c’è un minimo locale.
y
M
b
F
F
b
b
b
x1
x2
x3
m
x4
x
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
42
Per la ricerca dei punti di massimo o minimo locale e degli eventuali flessi
di una funzione f : E → R si può procedere nel modo seguente
Passo 1 Si calcola la derivata f ′ (x).
Passo 2 Si determinano le soluzione, appartenenti all’insieme di esistenza E
dell’equazione f ′ (x) = 0. Chiamiamo con x1 , . . . , xk tali soluzioni. I
punti x1 , . . . , xk sono detti punti stazionari o critici.
Passo 3 Se non esistono punti stazionari vuol dire che non esistono massimi,
minimi o flessi e si conclude.
Passo 4 Per ciascun punto stazionario si verifica la natura studiando il segno
della derivata.
Siamo adesso in grado di studiare il grafico di una funzione. Vediamo
alcuni esempi guida:
Esempio 0.28. Data la funzione
y = x2 − ln x
per rappresentare il suo grafico i passi sono i seguenti
1 determinare l’insieme di esistenza;
2 determinare il comportamento agli estremi;
3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi;
4 disegnare il grafico.
L’insieme di esistenza è E = {x ∈ R ; x > 0} = (0, +∞). Calcoliamo il
comportamento della funzione quando x tende a zero da destra:
lim+ x2 − ln x = 0 − (−∞) = +∞
x→0
Quindi la retta x = 0 è un asintoto verticale. Calcoliamo il comportamento
a +∞:
lim x2 − ln x = +∞ − ∞
x→+∞
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.9 Massimi, minimi e flessi
43
Questa è una forma di indecisione. Per risolverla mettiamo in evidenza
x2 . Si ha
lim x2 − ln x = lim x2 (1 −
x→+∞
x→+∞
ln x
) = +∞(1 − 0) = +∞
x2
Inoltre, essendo
x2 − ln x
ln x
= lim x −
= +∞ − 0 = +∞
x→+∞
x→+∞
x
x
lim
non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di una
retta. La derivata prima è:
y ′ = 2x −
1
2x2 − 1
=
.
x
x
Segue che i punti stazionari sono le soluzioni, appartenenti all’insieme di
esistenza, dell’equazione
2x2 − 1
=0
x
√
√
le cui soluzioni sono x = ± 2/2. La soluzione x = − 2/2 non appartiene
√
all’insieme di esistenza. Quindi l’unico punto stazionario è x = 2/2.
Essendo la funzione definita solo per x > 0, segue
√ che la derivata prima è
2
positiva quando 2x − 1 > 0, cioè quando x > 2/2:
√
2/2
y′
√
Quindi
la
funzione
presenta
un
minimo
nel
punto
m
=
(
2/2, 1/2 −
√
Prima
di
disegnare
il
grafico
osserviamo
che
l’ordinata
del miln( 2/2)).
√
√
nimo è f ( 2/2) = 1/2−ln( 2/2) = 1/2−1/2 ln(1/2) = 1/2(1−ln(1/2)) >
0.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
44
y
m
b
x
√
2
2
Esempio 0.29. Sia data la funzione
y=
x2 − 2
1+x
L’insieme di esistenza è E = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞). I limiti sono stati
calcolati nell’Esempio 0.2 e sono
x2 − 2
lim
= −∞,
x→−1+ 1 + x
x2 − 2
lim
= +∞
x→−1− 1 + x
Il comportamento a +∞ è
x2 − 2
= +∞
x→+∞ 1 + x
lim
In questo caso
x2 − 2
=1
x→+∞ x + x2
quindi potrebbe esistere l’asintoto obliquo. Calcoliamo l’eventuale q
m = lim
−x − 2
x2 − 2
− x = lim
= −1
x→+∞ 1 + x
x→+∞ 1 + x
q = lim
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.9 Massimi, minimi e flessi
45
Quindi la retta y = x − 1 è un asintoto obliquo per il ramo del grafico a
+∞. Calcoli analoghi mostrano che la stessa retta è un asintoto obliquo
anche per il ramo a −∞.
La derivata della funzione è
x2 + 2x + 2
y =
(x + 1)2
′
Gli eventuali punti stazionari sono le soluzioni dell’equazione
x2 + 2x + 2
=0
(x + 1)2
la quale non ammette soluzioni reali e quindi non esistono massimi, minimi
o flessi. Il grafico diventa
y
Asintoto obliquo y = x − 1
−1
x
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
46
0.10
Applicazioni della derivata
0.10.1
Retta tangente ad un grafico
Naturalmente la derivata di una funzione permette di calcolare l’equazione
della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. Sia f :
E → R una funzione e sia x0 ∈ E. Allora una qualsiasi retta passante per
P0 = (x0 , f (x0 )) appartiene al fascio proprio
y − f (x0 ) = m(x − x0 )
Se chiediamo che la retta del fascio sia tangente al grafico basta imporre
che il coefficiente angolare sia la derivata della funzione calcolata nel punto
x0 :
m = f ′ (x0 ).
Quindi la retta tangente al grafico di una funzione nel punto di ascissa x0
è
y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ).
Esempio 0.30. Date le funzioni y = ex e y = e−x calcoliamo le rette
tangenti ai due grafici nel loro punto di intersezione. Il grafico di ex è
noto. Quello di e−x si può facilmente dedurre osservando che
x
1
−x
e =
e
quindi è la funzione elementare esponenziale con base minore di uno. Il
punto di intersezione si ottiene risolvendo il sistema
(
y = ex
y = e−x
la cui soluzione è x = 0, conseguentemente il punto di intersezione ha
coordinate P0 = (0, 1). La retta r tangente al grafico della funzione ex
nel punto P0 ha coefficiente angolare m pari alla derivata di ex calcolata
nell’ascissa di P0 :
m = e0 = 1.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.10 Applicazioni della derivata
47
Quindi la retta r ha equazione y − 1 = 1(x − 0). Per la retta r ′ , tangente
al grafico della funzione y = e−x , si ha y ′ = −e−x da cui m′ = −e0 = −1.
Segue che le equazioni delle rette tangenti sono
r : y =x+1
r ′ : y = −x + 1
Il grafico delle due funzioni assieme alle rette tangenti è mostrato nella
figura seguente. Si osservi che r ed r ′ sono perpendicolari.
y
y = ex
y=e
−x
y = −x + 1
y =x+1
x
0.10.2
La regola di De L’Hôpital
Siano y = f (x) e y = g(x) due funzioni. Supponiamo che per x che tende
ad un certo valore x0 (possibilmente infinito) si abbia
lim f (x) = ±∞ e
x→x0
lim g(x) = ±∞
x→x0
Allora si ha (Regola di De L’Hôpital):
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
lim
Cioè quando si esegue un limite della forma ∞/∞ si possono sostituire
numeratore e denominatore con le rispettive derivate.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
48
La regola di De L’Hôpital vale anche nel caso in cui le due funzioni f e g
tendano entrambe a 0 quando x tende a x0 . Più precisamente: supponiamo che per x che tende ad un certo valore x0 (possibilmente infinito) si
abbia
lim f (x) = 0 e lim g(x) = 0
x→x0
x→x0
Allora si ha (Regola di De L’Hôpital):
f (x)
f ′ (x)
lim
= lim ′
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)
Tale regola rende moltissimi limiti un puro calcolo meccanico. Vediamo
alcuni esempi. Utilizzando le regole delle velocità già sappiamo che
lim
x→+∞
ln x
=0
x
Risolviamo adesso il limite utilizzando la Regola di De L’Hôpital, si ha
1
1
ln x
= lim x =
= 0.
x→+∞ 1
x→+∞ x
+∞
lim
La regola diventa sorprendente per risolvere limiti dove non si possono
usare le regole delle velocità. Per esempio, quanto vale
0
x
=
?
x→0 ex − 1
0
lim
Utilizzando la Regola di De L’Hôpital si ha
lim
x→0 ex
x
1
1
= lim x = = 1
− 1 x→1 e
1
Mostriamo adesso come risolvere con la regola di De L’Hôpital la forma
indeterminata 0 ∞. Supponiamo che per x che tende ad un certo valore
x0 (possibilmente infinito) si abbia
lim f (x) = 0 e
x→x0
lim g(x) = ∞
x→x0
In questa situazione non si può determinare a priori il valore del limite
lim f (x) g(x) = 0 ∞
x→x0
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.11 Esempi di studio di funzione
49
Per risolvere il limite si sfrutta la proprietà algebrica
1
g(x) =
1
g(x)
da cui il
lim f (x)g(x) = lim
x→x0
f (x)
x→x0
1
g(x)
=
0
1
∞
=
0
0
diventa del tipo 0/0 che può essere risolto applicando la regola di De
L’Hôpital. Per esempio, si consideri la funzione y = x ex . Sa calcoliamo il
limite a −∞ si ha
lim x ex = −∞ 0.
x→−∞
Scrivendo
ex =
1
1
ex
=
1
e−x
si ottiene
1
x De L’Hôpital
1
−−−−−−−→ lim
=
=0
−x
−x
x→−∞ e
=
x→−∞ −e
−∞
lim x ex = lim
x→−∞
0.11
Esempi di studio di funzione
Esempio 0.31. Data la funzione
y = x2 ln x
D1 determinare l’insieme di esistenza;
D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;
D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi;
D4 disegnare il grafico.
D Soluzione
D1 E = {x ∈ R ; x > 0}
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
50
D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a zero
da destra:
lim+ x2 ln x = 0(−∞)
x→0
Portando al denominatore il reciproco del primo fattore ed applicando la regola di De L’Hospital si ha
lim+ x2 ln x = lim+
x→0
x→0
ln x
1
x2
= lim+
x→0
1
x
−2
x3
= lim+
x→0
−x2
= 0.
2
Calcoliamo il comportamento a +∞:
lim x2 ln x = (+∞)(+∞) = +∞
x→+∞
Inoltre, essendo
x2 ln x
= lim x ln x = +∞
x→+∞
x→+∞
x
lim
non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di
una retta.
D3 La derivata prima è:
y ′ = 2x ln x + x2
1
= x(2 ln x + 1).
x
Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell’equazione
x(2 ln x + 1) = 0
cioè x = 0 e x = e−1/2 = √1e . Il punto x = 0 non appartiene all’insieme di esistenza, quindi non va considerato. Essendo la funzione
definita solo per x > 0, segue che la derivata prima è positiva quando
(2 ln x + 1) > 0, cioè quando x > e−1/2 :
e−1/2
y′
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.11 Esempi di studio di funzione
51
1
).
Quindi la funzione presenta un minimo nel punto m = ( √1e , − 2e
D4 disegnare il grafico.
y
√1
e
1
− 2e
b
m
x
Esempio 0.32. Data la funzione
y = x ln x − x
D1 determinare l’insieme di esistenza;
D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;
D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale;
D4 disegnare il grafico.
D Soluzione
D1 E = {x ∈ R ; x > 0}
D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a zero
da destra:
lim+ x ln x − x = 0
x→0
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
52
Calcoliamo il comportamento a +∞:
lim x ln x − x = lim x(ln x − 1) = +∞
x→+∞
x→+∞
Inoltre, essendo
x ln x − x
= +∞
x→+∞
x
non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di
una retta.
lim
D3 La derivata prima è:
y ′ = ln x.
Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell’equazione
ln x = 0
cioè x = 1. Per valutare il comportamento nei punti stazionari
osserviamo la funzione ln x è positiva per valori maggiori di 1
1
y′
segue che in x = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordinate m = (1, −1).
D4 disegnare il grafico.
y
1
x
−1
b
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.11 Esempi di studio di funzione
53
Esempio 0.33. Data la funzione
y = x ex
D1 determinare l’insieme di esistenza;
D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;
D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale;
D4 disegnare il grafico.
D Soluzione
D1 E = R
D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende ±∞:
lim x ex = +∞
x→+∞
Inoltre, essendo
x ex
= lim ex = +∞
x→+∞
x→+∞ x
lim
non esistono asintoti obliqui per x che tende a +∞ e la funzione
cresce più velocemente di una retta. Mentre
lim x ex = +∞ 0
x→−∞
è una forma di indecisione. Per risolverla scriviamo ex = 1/e−x da
cui si ottiene, applicando la regola di De L’Hôpital,
1
1
x De L’Hôpital
−
−
−
−
−
−
−
→
lim
=
=0
=
x→−∞ −e−x
x→−∞ e−x
−∞
lim x ex = lim
x→−∞
Quindi la retta y = 0 è un asintoto orizzontale.
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
54
D3 La derivata prima è:
y ′ = ex + x ex = ex (x + 1).
Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell’equazione
ex (x + 1) = 0.
Siccome ex > 0 segue che l’unico punto stazionario è x = −1.
Inoltre, essendo ex > 0 la derivata prima è positiva quando x+1 > 0:
−1
y′
Quindi in x = −1 la funzione presenta un minimo locale di coordinate m = (−1, −1/e).
D4 disegnare il grafico.
y
−1
1/e
b
x
Esempio 0.34. Data la funzione
y=
ex
x
D1 determinare l’insieme di esistenza;
D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.11 Esempi di studio di funzione
55
D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale;
D4 disegnare il grafico.
D Soluzione
D1 E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a 0
lim+
x→0
ex
1
= + = +∞
x
0
mentre
1
ex
= − = −∞
x→0 x
0
Quindi la retta x = 0 è un asintoto verticale. Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende ±∞:
lim−
ex
+∞
=
= +∞ regola delle velocità
x→+∞ x
+∞
lim
inoltre
+∞
ex
=
= +∞
x→+∞ x2
+∞
non esistono asintoti obliqui per x che tende a +∞ e la funzione
cresce più velocemente di una retta. Verso −∞ si ha
lim
ex
0
=
=0
x→−∞ x
−∞
quindi la retta y = 0 è un asintoto orizzontale per x che tende a
−∞.
lim
D3 La derivata prima è:
x ex − ex
ex (x − 1)
=
.
x2
x2
Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell’equazione
y′ =
ex (x − 1) = 0.
Siccome ex > 0 segue che l’unico punto stazionario è x = 1. Inoltre,
essendo il denominatore sempre positivo (nell’insieme di esistenza)
segue che la derivata prima è positiva quando x > 1:
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
56
1
y′
Quindi in x = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordinate
m = (1, e).
D4 disegnare il grafico.
y
e
b
1
0.12
x
Derivate successive
Dada una funzione f : E → R la sua derivata è una nuova funzione
f ′ : E ′ → R. È quindi lecito poter considerare la funzione derivata della
funzione f ′ che chiameremo derivata seconda della funzione ed indicheremo con f ′′ . Qual’è l’interpretazione geometrica della derivata seconda?
Vediamo alcuni esempi. Si consideri la funzione y = x2 il cui grafico è la
parabola con concavità verso l’alto
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.12 Derivate successive
57
y
x
La derivata prima della funzione è y ′ = 2x mentre la derivata seconda
diventa y ′′ = 2 > 0. Si consideri adesso la funzione y = −x2 il cui grafico
è la parabola con concavità verso il basso
y
x
La derivata prima in questo caso è y ′ = −2x mentre la derivata seconda
diventa y ′′ = −2 < 0. Da questi due esempi risulta chiaro che il segno
della derivata seconda tiene conto della concavità della funzione. Più
precisamente, sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E alora
• se f ′′ (x0 ) > 0 la concavità della funzione in x0 è verso l’alto;
• se f ′′ (x0 ) < 0 la concavità della funzione in x0 è verso il basso.
Se adesso combiniamo lo studio dei massimi e minimi relativi con lo studio
della derivata seconda si ottiene il seguente criterio per il riconoscimento
della natura di un punto stazionario. Prima di introdurre tale criterio
osserviamo che in un punto x0 ∈ E dove la funzione presenta un minimo
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
58
è ragionevole aspettarsi che la funzione abbia la concavità verso l’alto e
quindi f ′′ (x0 ) > 0, mentre in un pinto x0 ∈ E dove la funzione presenta un
massimo è ragionevole aspettarsi che la funzione abbia la concavità verso
il basso e quindi f ′′ (x0 ) < 0. Di fatto la situazione non è cosi semplice. Si
consideri, ad esempio, la funzione y = x4 il cui grafico presenta un minimo
in (0, 0)
y
x
In questo caso y ′ = 4x3 da cui segue che l’unico punto stazionario è x0 = 0.
La derivata seconda in questo caso vale y ′′ = 12x2 e y ′′ (0) = 0, cioè
la derivata seconda nel punto stazionario non è ne negativa ne positiva,
quindi non si può decidere con l’uso della sola derivata seconda se vi è un
massimo o un minimo.
Prima di introdurre il criterio generale denotiamo con f (k) la derivata
della funzione di ordine k. Con questo intendiamo che deriviamo prima
la funzione (derivata prima) poi deriviamo la derivata prima (derivata
seconda), poi deriviamo la derivata seconda (derivata terza) e cosi via
sino ad arrivare alla derivata k-esima. Il criterio generale è il seguente.
Sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E un punto stazionario, cioè
f ′ (x0 ) = 0. Supponiamo che f ′′ (x0 ) = f ′′′ (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0 e
f (k) (x0 ) = c 6= 0 (questo vuol dire che tutte le derivate valgono zero in x0
sino alla derivata di ordine k − 1 e che la prima diversa da zero in x0 è
la derivata di ordine k). Allora:
• se k è pari e c > 0 la funzione presenta un minimo locale in x0 ;
• se k è pari e c < 0 la funzione presenta un massimo locale in x0 ;
• se k è dispari la funzione presenta un flesso a tangente orizzontale
in x0 .
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
0.13 Esercizi sullo studio di funzione
59
Applichiamo il criterio ad alcuni esempi. Sia data la funzione y = x ex . La
derivata prima è y ′ = ex (x + 1) la quale si annulla solo per x0 = −1. Per
studiare la natura del punto stazionario x0 = −1 calcoliamo la derivata
seconda della funzione. Si ha y ′′ = ex (x + 2) da cui y ′′ (−1) = e−1 > 0
quindi siamo nel caso in cui la prima derivata diversa da zero nel punto
critico è la seconda, cioè una derivata di ordine pari. Dal criterio, essendo
y ′′ (−1) = e−1 > 0 segue che in x0 = −1 cè un minimo locale.
Naturalmente questo criterio prevede il calcolo delle derivate successive
ma non prevede lo studio del segno della derivata prima.
Lo studente è libero di scegliere il metodo che più preferisce.
0.13
Esercizi sullo studio di funzione
Determinare il grafico delle seguenti funzioni (in questi casi i punti critici
si possono trovare in modo esplicito, i. e. l’equazione f ′ (x) = 0 ha sempre
soluzioni esplicite):
1.
2.
x
y=
x+3
7.
x
ln x
y=
8.
−3
y= 2
x +1
y=
ex
x
9.
3.
10.
x
−1
11.
x3
2 − x2
12.
4.
y=
5.
y=
6.
y = x ln x
−x2
y= 2
x −2
x3
y=
ln(x + 1)
x+1
y=
ex
ln(x)
y = 1 − ex
2 −x
13.
−1/2
y = ln(1/x)
x2 − 7x + 12
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16
y=
60
14.
x2 − 3x + 2
)
y = ln(
x+1
23.
y = x ln x − x
24.
15.
y = ln(
16.
r
r
x+1
)
x
y = sin x − cos x
25.
y = sin2 x
8
x
26.
y = ln(ln(x))
27.
y=
x2 −
y=
17.
y=
18.
y=
19.
ln(x)
1 + ln(x)
1
cos x − 1
28.
y=
x2 − 4
y=√
1−x
20.
y = sin x − 1/2
30.
y = x ln x − 3x
31.
22.
x2
x2
y =x−
− x ln x +
ln x
x
2
sin x
cos x
29.
y = 1 − e2x
21.
1
cos x
y = sin2 x − cos2 x
y = sin2 x
32.
y=
−3
√
2 cos x − 3
Matematica e Statistica - A.A. 2015/16