Esercizi risolti equazioni col valore assoluto :
Se l’equazione contiene un solo valore assoluto
1) |𝑥 − 1| − 2 = 0
Per prima cosa isoliamo il valore assoluto : |𝑥 − 1| = 2. L’espressione all’interno del valore assoluto può
valore o -2 o +2. In ogni caso il suo valore assoluto sarà 2. Quindi cerchiamo per quali valori 𝑥 − 1 = 2
oppure 𝑥 − 1 = −2. Questo dà come soluzione x=3 e x=-1.
2) |𝑥 − 1| − 3𝑥 − 4 = 0.
Per prima cosa isoliamo il valore assoluto : |𝑥 − 1| = 3𝑥 + 4. L’espressione all’interno del valore assoluto
può valore o 3x+4 o -3x-4 . Quindi cerchiamo per quali valori 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 4 Questo dà come soluzione
5
𝑥 − 3𝑥 = +1 + 4 → −2𝑥 = 5 → 𝑥 = − 2
4𝑥 = −3 → 𝑥 =
3
−4
oppure cerchiamo quei valori per cui
𝑥 − 1 = −3𝑥 − 4 →
.
Se l’equazione contiene due valori assoluti
3) |𝑥 − 1| − |𝑥| = 0.
In questo caso particolare ci comportiamo come in precedenza |𝑥 − 1| = |𝑥| → 𝑜 𝑥 − 1 = 𝑥 𝑜 𝑥 − 1 = −𝑥.
Pertanto risolvendo la prima equazione troviamo -1 =0 impossibile . La seconda equazione ci dà 2x=1 e cioè
x= ½.
4) |𝑥 − 1| = |𝑥 − 3| + 2.Questo caso è leggermente diverso dal numero 3. Certamente siamo sicuri che
tutti e due i membri sono positivi. Basta quindi elevare al quadrato . Questo ci permette di togliere i valori
assoluti nei termini al quadrato . Questo è uno dei metodi risolutivi. Vediamo :elevando membro a membro
al quadrato si ottiene :(|𝑥 − 1|)2 = (|𝑥 − 3| + 2)2 → 𝑥 2 + 1 − 2𝑥 = (𝑥 − 3)2 + 4 + 4|𝑥 − 3| → 𝑥 2 + 1 +
−2𝑥 = 𝑥 2 + 9 − 6𝑥 + 4 + 4|𝑥 − 3|.Isoliamo il valore assoluto che è rimasto 4|𝑥 − 3| = 4𝑥 − 12 →
|𝑥 − 3| = 𝑥 − 3.A questo punto osserviamo che l’uguaglianza è possibile solo se iltermine x-3 è positivo o
nullo cioè X >= 3 .
Un altro metodo è il seguente : costruisco lo schema del valore assunto da tutti i valori assoluti presenti
nell’equazione. Perciò 𝑥 − 1 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 − 3 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 3. Otteniamo quindi questa situazione :
-x+1
Quindi l’equazione si studia in tre intervalli : prima di 1 , fra 1 e 3 ,
e infine dopo 3.
x-1
1
-x+3
x-3
3
Per x< 1 l’equazione diventa
-x +1 = -x +3 +2 cioè 1= 5 impossibile.
Per 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 l’equazione diventa :
x-1=-x+3+2 cioè 2x=6 e quindi x= 3 accettabile.
Per x > 3 l’equazione diventa :
x – 1 = x-3 + 2 cioè -1 = -1 equazione indeterminata tutte le x > 3
sono soluzioni.
Le equazioni che contengono più di 2 valori assoluti vanno trattate con lo schema precedente .
Pay attention !
L’equazione |𝑥 − 2| + |𝑥 100 + 59𝑥 20 − 12987| + |7 − √𝑥 + 10| = −8 per quanto complicata possa
essere è immediatamente impossibile! Come fa la somma di 3 numeri positivi o nulli a dare un numero
negativo?
5) vediamo un altro esempio in cui abbiamo all’interno del valore assoluto un polinomio di secondo grado:
|𝑥 2 − 2𝑥 − 3| = |𝑥 − 2| − 1
Costruiamo lo schema 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0 . Per risolvere la disequazione di secondo grado devo intanto
calcolare il delta dell’equazione che in questo caso vale 16. Dunque le due soluzioni sono x =3 e x= -1.
X-2 > 0 quando x >2. Lo schema riassuntivo è il seguente :
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
++++++++
+++
2-x
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
−𝑥 2 + 2𝑥 + 3
-1
----------------------
Quindi l’equazione si risolve prima di -1 . fra -1 e
2, fra 2 e 3 e infine dopo 3.
3 ++++++
Per x < -1 l’equazione diventa :
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 2 − 𝑥 − 1 → 𝑥 2 − 𝑥 − 4 = 0
x-2
∆= 1 + 16 = 17
2
𝑥=
1 ± √17
2
Di cui possiamo accettare solo
𝑥=
1 − √17
2
Perché l’altra soluzione è maggiore di -1
Proseguiamo considerando −1 ≤ 𝑥 ≤ 2
L’equazione diventa
−𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 2 − 𝑥 − 1 → −𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = 0
Questa equazione non ha soluzioni perché il ∆= 9 − 16 < 0.
Proseguiamo considerando 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 . L’equazione diventa −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 2 − 1 → −𝑥 2+x+6=0.
Anche in questa equazione il delta è negativo. Nessuna soluzione .
Completiamo con lo studio delle soluzioni per x >= 3. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 2 − 1 → 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 .
L’equazione è spuria e le soluzioni sono x = 0 e x =3. Possiamo accettare x= 3 .
Quindi per riassumere abbiamo due soluzioni 𝑥 =
1−√17
,𝑥
2
= 3.
