Problemi di scelta in condizioni di certezza ad effetti immediati

PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI IMMEDIATI E IN CONDIZIONI CERTE
Nella scheda dedicata alla Ricerca Operativa abbiamo già fornito spiegazioni esaurienti riguardo questo tipo di
problemi e ora ci occuperemo, in maniera più approfondita, della loro classificazione e dei metodi con i quali vengono
risolti.
1) PROBLEMI IN UNA SOLA VARIABILE E FUNZIONE OBIETTIVO CON DEFINIZIONE UNICA
Questo tipo di problemi vengono risolti mediante l’individuazione del valore da assegnare alla variabile d’azione
affinché la funzione obiettivo, definita in modo univoco, risulti massima oppure minima.
ESEMPIO1 (Determinazione del guadagno massimo in un problema continuo)
Un’azienda può produrre semestralmente al massimo 5000 quintali di una data merce il cui guadagno unitario è definito
come segue:
0 ≤ x ≤ 5000
dove x indica la quantità prodotta e venduta. Determinare la quantità da produrre semestralmente affinché il guadagno
complessivo semestrale sia massimo.
Tenendo presente che deve essere 0 ≤ x ≤ 5000 scriviamo anzitutto la funzione che esprime il guadagno complessivo
semestrale G(x). Essendo g(x) il guadagno unitario ed x la quantità prodotta e venduta semestralmente si ha:
G( x ) = x ⋅ g( x ) = x ⋅
6000 − x
1
= − x 2 + 2000 x
3
3
Si tratta di una funzione di secondo grado, cioè di una parabola, definita nell’intervallo [0;5000], che rivolge la
concavità verso il basso. Si ha:
G(0) = 0
1
G ( 5000 ) = − ⋅ 50002 + 2000 ⋅ 5000 = 1666666, 67
3
mentre il vertice, che ha coordinate V(3000;3000000), è interno all’intervallo di definizione. Confrontando G(5000)
con G(3000) si conclude che producendo e vendendo la quantità x=3000 si ha il massimo guadagno globale semestrale
pari a 3000000.
Il problema poteva anche essere risolto mediante gli strumenti dell’analisi matematica, infatti:
2
G ′( x ) = − x + 2000
3
Quindi ponendo G ′ ( x ) = 0 si ha:
2
− x + 2000 = 0
3
da cui x=3000. In questo punto si ha un massimo, infatti:
G ′′( x ) = −
2
<0
3
ESEMPIO2 (Determinazione del guadagno massimo in un problema discreto)
Un’impresa fabbrica un certo prodotto in lotti che sono costituiti da 1000 pezzi ciascuno. Il prezzo di vendita è
variabile al variare del numero dei lotti e precisamente:
* Se viene prodotto un solo lotto il prezzo di vendita di ciascun pezzo è di £.340;
1
* Se vengono prodotti due lotti il prezzo di vendita di ciascun pezzo è di £.320;
* Se vengono prodotti tre lotti il prezzo di vendita di ciascun pezzo è di £.300;
e così via sino a 10 lotti che è la produzione massima dell’impresa.
L’impresa sostiene una spesa fissa di £.100000 e un costo variabile di £.110 ogni pezzo.
Si vuole determinare la quantità da produrre per avere il massimo guadagno.
Il prezzo unitario di un pezzo è funzione del numero dei lotti x prodotti secondo una progressione aritmetica di primo
termine 340 e di ragione -20:
p = 340 − 20( x − 1)
Il ricavo complessivo in funzione del numero x dei lotti (si ricordi che ogni lotto è formato da 1000 pezzi) è:
R ( x) = 1000 ⋅ p ⋅ x = 1000 ⋅ [340 − 20 ⋅ ( x − 1)] ⋅ x = −20000 x 2 + 360000 x
Il costo complessivo è:
C( x ) = 110 ⋅1000 ⋅ x + 100000 = 110000 x + 100000
si ottiene:
G ( x ) = R( x ) − C( x ) = −20000 x 2 + 360000 x − (110000 x + 100000 )
cioè:
G ( x ) = −20000 x 2 + 250000 x − 100000
Il problema sin qui trattato è un problema a variabile x discreta positiva e minore o uguale a 10, quindi possiamo
rappresentare la soluzione del problema con la seguente tavola:
N° Lotti
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N° Pezzi
1000x
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Prezzo al
pezzo
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
Ricavo Costo tot.
R(x)
C(x)
340000
210000
640000
320000
900000
430000
1120000 540000
1300000 650000
1440000 760000
1540000 870000
1600000 980000
1620000 1090000
1600000 1200000
Guadagno
G(x)
130000
320000
470000
580000
650000
680000
670000
620000
530000
400000
Si conclude che la quantità da produrre per avere il massimo guadagno di £.680000 è pari a 6 lotti (6000 pezzi) con un
prezzo di £.240 per ogni pezzo.
Se il problema fosse continuo la quantità che rende massimo il guadagno si troverebbe nel vertice della parabola che
rappresenta la funzione di guadagno, e precisamente per x=6,25 (allo stesso risultato si sarebbe giunto studiando gli zeri
della derivata prima della funzione G(x). Il guadagno massimo corrispondente sarebbe pari a G(6,25)=681250 che è
maggiore del risultato ottenuto nel caso discreto ma che è improponibile dal punto di vista pratico. Il risultato di x=6,25
ottenuto nel caso continuo permette però di circoscrivere il punto di massimo guadagno alle sole due alternative x=6 e
x=7 che forniscono rispettivamente G(6)=680000 £ e G(7)=670000 £. Dal loro confronto concludiamo che la
soluzione ottima è x=6.
2
2) PROBLEMI IN UNA SOLA VARIABILE E FUNZIONE OBIETTIVO CON DEFINIZIONE DIVERSA A
TRATTI
In molti problemi di scelta ad una sola variabile ci si trova in presenza di funzioni obiettivo con definizione diversa a
tratti. Diverse possono essere le ragioni di tale definizione della funzione obiettivo ma spesso ciò è dovuto alla
presenza di economie di scala, cioè di situazioni economiche le quali, ogniqualvolta la produzione di un dato bene o
servizio supera un certo livello, richiedono il passaggio da un tipo di processo produttivo ad un altro. Nella risoluzione
di problemi in cui la funzione obiettivo si presenta con definizione diversa a tratti è di notevole aiuto la
rappresentazione grafica della funzione stessa.
ESEMPIO1 (Scelta del processo produttivo più economico: funzioni lineari)
La produzione di un certo bene può essere effettuata seguendo tre diversi processi produttivi:
* Il processo A richiede un costo di £. 800 per unità più spese fisse nella misura di £. 100.000;
* Il processo B richiede un costo di £. 600 per unità più spese fisse nella misura di £. 150.000;
* Il processo C richiede un costo di £. 500 per unità più spese fisse nella misura di £. 200.000.
Si vuole determinare qual è il processo produttivo più conveniente.
Scriviamo subito la funzione obiettivo che esprime il costo totale relativo a ciascuno dei tre processi produttivi:
⎧800 x + 100.000
⎪
C ( x) = ⎨600 x + 150.000
⎪500 x + 200.000
⎩
per il processo A
per il processo B
per il processo C
Ora si possono determinare i punti di intersezione tra i tre tratti della funzione C(x):
* P(250 ; 300.000) è il punto di indifferenza tra il processo A e il processo B;
* Q(333,33 ; 366.664) è il punto di indifferenza tra il processo A e il processo C;
* R(500 ; 450.000) è il punto di indifferenza tra il processo B e il processo C.
Questi punti vengono anche detti punti di rottura (break points) poiché rappresentano i punti di passaggio di
convenienza da un processo produttivo all’altro.
Dall’esame del disegno della funzione obiettivo e dall’individuazione dei punti di rottura possiamo allora concludere
che la funzione di costo preferibile è la seguente:
⎧800 x + 100.000 per 0 ≤ x ≤ 250
⎪
C ( x) = ⎨600 x + 150.000 per 250 ≤ x ≤ 500
⎪500 x + 200.000 per
x > 500
⎩
ESEMPIO2 (Scelta del processo produttivo più economico: funzioni di secondo grado)
La produzione di un certo bene può essere effettuata seguendo due diversi procedimenti produttivi e la funzione di
costo totale è definita come segue:
⎧⎪0,5 x 2 + 120 x + 10.000 per il processo A
C ( x) = ⎨
⎪⎩0,7x 2 + 80 x + 12.000 per il processo B
Si vuole determinare qual è il processo economico più conveniente.
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Per la parabola A si nota che il vertice cade nel punto di ascissa x= -120, cioè fuori dal campo di definizione e che
volge la concavità verso l’alto; si può così concludere che la parabola A è sempre crescente per x non negativo e che
assume il suo punto minimo in x=0 dove ha ordinata (costo) pari a £.10.000.
Per la parabola B si nota che il vertice cade nel punto di ascissa x= -57,14 , cioè fuori dal campo di definizione e che
volge la concavità verso l’alto; la parabola B è quindi sempre crescente nell’intervallo di definizione e pertanto assume
il suo punto di minimo per x=0 dove ha ordinata pari a £. 12.000.
Le due parabole si incontrano nel punto x=100 a cui corrisponde C(100)=27.000 £.
Rappresentando le due parabole su uno stesso sistema di assi cartesiani e limitatamente al primo quadrante, si osserva
che il processo produttivo A è più conveniente quando si devono produrre quantità del bene comprese tra 0 e 100 unità,
mentre il processo B è più conveniente quando si devono produrre quantità superiori a 100 unità.
In conclusione, la funzione di costo totale è definita come segue:
⎧⎪0,5 x 2 + 120 x + 10.000
C ( x) = ⎨
⎪⎩0,7 x 2 + 80 x + 12.000
per 0 ≤ x ≤ 100
per
x > 100
ESEMPIO3 (Determinazione del massimo profitto)
Nella funzione di costo C(x) dell’ESEMPIO1 supponiamo che il prezzo unitario di vendita del bene sia espresso
dalla funzione:
p = 2. 000 − 2 x
Si vuole determinare quale quantità occorre produrre per avere il massimo profitto, supponendo che la produzione
massima sia pari a 550 unità.
Il ricavo R(x) è espresso dalla funzione:
R( x ) = p ⋅ x = 2. 000 x − 2 x 2
Da ciò deriva che la funzione profitto G(x) assume la forma seguente:
⎧− 2 x 2 + 1.200 x − 100.000 per
0 ≤ x ≤ 250
⎪
G ( x) = R( x) − C ( x) = ⎨− 2 x 2 + 1.400 x − 150.000 per 250 < x ≤ 500
⎪− 2 x 2 + 1.500 x − 200.000 per 500 < x ≤ 550
⎩
Ora si possono fare le seguenti osservazioni:
* Tutte e tre le parabole hanno la concavità rivolta verso il basso.
* La prima parabola ha il vertice in (300 ; 80.000) e cade fuori il campo di definizione; la seconda parabola ha il
vertice in (350 ; 95.000) che è interno al campo di definizione; la terza parabola nel punto (375 ; 81.250) che è
esterno al campo di definizione.
Dalle osservazioni fatte e dal disegno delle tre parabole su uno stesso sistema di assi cartesiani limitatamente al primo e
al quarto quadrante si può concludere che la quantità che occorre produrre per avere il massimo profitto è x=350 con
G(350) = 95.000 £.
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