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Lezione mecc n.14
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Urti fra due corpi
Leggi di conservazione negli urti fra due corpi
Urti istantanei e forze impulsive
Urti elastici ed anelastici
Primi cenni a sistemi di più particelle (energia di
rotazione dei corpi rigidi, momento d’inerzia)
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Urti fra due corpi
Per ogni particella, vogliamo conoscere ∆p. Poiché
F=dp/dt, ∆p=∫Fdt
∫Fdt
si chiama impulso
Urti istantanei
avvengono con forze di interazioni molto intense, ma per
durate molto brevi.
L’impulso ∫Fdt è fissato, e possiamo immaginare di
mandare F all’infinito riducendo contemporaneamente il
dominio di integrazione:
F
F
t
F
t
t
La presenza di forze impulsive, permette di trascurare
l’effetto di altre forze durante la breve durata dell’urto.
Per esempio durante l’urto fra due auto possiamo trascurare
l’effetto del peso e dell’attrito fra gomme e asfalto.
Forze che possono essere di natura impulsiva:
forze di contatto, altre reazioni vincolari….
Forze che NON possono essere di natura impulsiva:
forza elastica, forza peso, attrito dinamico…
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Urti e leggi di conservazione (quantità di moto)
Cosa ci dice la prima equazione cardinale quando
consideriamo gli urti?
Come si semplificano le cose quando gli urti sono istantanei
(cioè avvengono per effetto di forze impulsive)?
Ptot=costante ⇔ΣFext=0
Per urti istantanei (dove giocano forze impulsive) , la
somma delle forze esterne si può restringere alle sole forze
impulsive: l’impulso impresso dalle forze non impulsive
nella breve durata dell’urto si può trascurare.
Ptot=costante ⇔ΣFext-impulsive=0
Questo rende semplici problemi apparentemente molto
complessi, perché sistemi non isolati si comportano come
se fossero sistemi isolati durante l’urto.
In un urto, se non agiscono forze esterne, si conserva la
quantità di moto totale del sistema.
In un urto istantaneo, se non agiscono forze esterne
impulsive, si conserva la quantità di moto totale del
sistema.
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Urti e leggi di conservazione (energia)
Dell’energia (e della sua conservazione o non
conservazione) nell’urto cosa si può dire?
Urti elastici ed anelatici
Un urto si dice elastico se Etot-fin=Etot-iniz
Un urto si dice anelastico se Etot-fin≠Etot-iniz
Spesso, ma non sempre, in un urto anelatico Etot-fin<Etot-iniz
Quando un urto anelastico si conclude con i due corpi che si
sono uniti in un unico corpo, l’urto si dice perfettamente
anelastico.
In un urto perfettamente anelastico si perde la quantità
d’energia meccanica massima possibile (che non è tutta
quella iniziale, a meno che uno dei corpi abbia massa
infinita).
In qualche testo si trova scritto “in urti anelatici si conserva
la quantità di moto”. Questa è un’affermazione sbagliata.
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Riassumendo…
Per vedere se si conserva o meno la quantità di moto si
deve verificare se agiscono o meno forze esterne
(limitatamente alle impulsive, se l’urto è istantaneo).
Per capire se si conserva o meno l’energia, si deve
guardare all’elasticità o meno dell’urto.
Esistono urti di vari tipi, dove si conserva una, l’altra,
entrambe, o nessuna di queste due quantità.
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Un esempio (esercizio) e un po’ di calcoli
Due particelle si muovono in una dimensione e urtano in maniera
elastica. Note le masse e i valori iniziali delle velocità, vogliamo
determinare le velocità finali.
M1 ,
v1i
M2 ,
v2i
urto
M1 ,
v1f
Inizio
Conservaz. q. m. :
Conserv. energia:
Separare 1 da 2
Scomporre le differenze di quadrati
Dividere membro a membro (perché è lecito?)
M2 ,
v2f
Fine
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Il sistema è diventato lineare:
v1i + v1 f = v2i + v2 f


M 1 (v1i − vif ) = M 2 (v2 f − v2i )
M1 − M 2
2M 2

v
=
v
+
 1 f M + M 1i M + M v2i
1
2
1
2

M − M1
2M1
v2 f =
v1i + 2
v2i

M1 + M 2
M1 + M 2
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M1 − M 2
2M 2

v
=
v
+
 1 f M + M 1i M + M v2i
1
2
1
2

M − M1
2M1
v2 f =
v1i + 2
v2i

M1 + M 2
M1 + M 2
vediamo casi particolari e casi limite: cosa succede se una
massa è molto maggiore dell’altra (p.es. M1>>M2) nel caso
si muova inizialmente uno solo dei due corpi e cosa
succede se le masse sono uguali.
M1>>M2, v1i=0
M1>>M2, v2i=0
M1=M2
Estensione al caso bidimensionale.
Quali (e quante) sono le incognite?
Quante (e quali) equazioni si possono scrivere?
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B
m=?
M
A
Esercizio 1 del 19 giugno 2012
Su una guida circolare di raggio R giacente sul piano
orizzontale scorrono liberamente due manicotti A e B,
rispettivamente di massa M (nota) ed m (da determinare).
Inizialmente, B è fermo ed A si muove con velocità V, così
che A urta B in un processo da considerarsi istantaneo ed
elastico. Dopo il primo urto, ne avviene un secondo, in una
posizione diametralmente opposta a quella in cui è
avvenuto il primo. Quali sono i possibili valori di m? Per
ogni valore mi individuato, si fornisca anche il modulo della
reazione vincolare sul corpo B nell’intervallo di tempo fra i
due urti.
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Imponendo la conservazione di energia e quantità di moto (l’urto è
elastico e non ci sono forze esterne impulsive agenti sul sistema
A+B) si ottiene che dopo l’urto vA=V(M−m)/(M+m) e
vB=2MV/(M+m).
Se dopo l’urto la velocità di A ha cambiato verso, i due corpi
devono andarsi incontro con eguali velocità così da compiere
ciascuno mezzo giro: deve essere
vA=−vB, ovvero M−m=−2M, m=3M.
Altre possibilità sono che A proceda (quindi vA>0) e che dopo
aver percorso n giri e mezzo (con n=0,1,2,...) sia raggiunto da B.
In questo caso, all’istante del secondo urto A avrà percorso un
arco di lunghezza πR(2n+1) mentre B, avendo fatto un giro in più
dovrà aver percorso un arco di lunghezza πR(2n+3).
Imponendo che i due corpi transitino per la posizione richiesta allo
stesso istante si ottiene πR(2n+1)/vA= πR(2n+3)/vB, da cui la
condizione vB/vA=(2n+3)/(2n+1), ovvero
(2n+1)2M=(2n+3)(M−m).
Da qui si ricava m=M(1−2n)/(2n+3), che ammette una sola
soluzione con m>0 per n=0, ed è m=M/3.
Nei due casi, dopo l’urto si ha rispettivamente vB=V/2 e vB=3V/2,
per cui la guida, dovendo fornire la forza centripeta, esercita in
direzione radiale una forza mvB2/R, questa espressione assume in
entrambi i casi il valore 3MV2/(4R).
Volendo tenere in conto anche la reazione alla forza peso, al
valore appena trovato si dovrà sommare (con Pitagora) il termine
verticale mg. Si otterrà, rispettivamente 3M[g2+V4/(16R2)]1/2 e
(M/3)[g2+81V4/(16R2)]1/2.
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Nuovo argomento
Energia cinetica totale di un sistema di particelle.
Espressione semplificata nel caso di corpo rigido.
Ek tot=Σi(1/2)mivi2
Per un corpo rigido, per il quale (definizione) la distanza fra
ogni coppia di particelle è fissata, le velocità non sono tutte
indipendenti: la sommatoria si può scrivere in forma più
compatta (provare!).
Per un CR vincolato a ruotare intorno ad un asse fissato,
l’espressione è ancora più semplice, poiché
∀i, vi = ω ⋅ ri
1
1
1
Ek = ∑i mi vi2 =∑i mi ri 2ω 2 =
2
2
2
(∑ m r )ω
2
i
i i
def
2
=
1 2
Iω
2
La quantità I appena definita si chiama momento di inerzia
ed ha un valore che DIPENDE dall’asse di rotazione
rispetto al quale è stato calcolato.
Estensione della definizione di I al caso di distribuzioni
continue di massa