Richiami di algebra delle matrici
Fondamenti di Automatica
F.d.A.
1
Richiami di algebra delle matrici
Definizioni di base
Definizione 1 (Matrice (m × n)). Tabella di m righe ed n colonne
a11
..
A= .
a12
..
.
· · · a1n
..
..
.
.
· · · amn
am1 am2
aij ∈ R
Definizione 2 (Vettore (colonna) (m × 1)).
b1
..
b= .
bi ∈ R
bm
Diamo per scontati i concetti di somma e differenza di matrici, di prodotto di una matrice per uno
scalare, di prodotto di matrici, di trasposta di una matrice e di determinante di una matrice quadrata.
2
Matrice inversa
Definizione 3 (Matrice inversa (o reciproca)). Data una matrice quadrata A (n × n), la matrice
inversa A−1 (n × n), se esiste, è una matrice tale che
A−1 A = AA−1 = I
Teorema 1. Condizione Necessaria e Sufficiente (CNS) per l’esistenza della matrice inversa di A:
∃A−1 ⇔ det A 6= 0
2.1
Calcolo della matrice inversa
Data una matrice A (n × n), la matrice B = A−1 si ottiene come
bij =
∆ji
det A
dove ∆ji è il complemento algebrico di aji .
Definizione 4 (Complemento algebrico). Complemento algebrico (o cofattore) ∆ji di aji è il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la j-esima riga e la i-esima colonna moltiplicato per
(−1)i+j .
2.2
Esempio
Data una matrice A (2 × 2)
"
#
a
a
A = 11 12 ,
a21 a22
dimostrare che la sua inversa è:
"
−1
A
#
1
a22 −a12
=
.
det A −a21 a11
1
F.d.A.
Richiami di algebra delle matrici
Soluzione
Chiamando con B la sua inversa
"
B = A−1
#
b
b
= 11 12 ,
b21 b22
e dato il determinante di A
det A = a11 a22 − a21 a12
possiamo calcolare i complementi algebrici come
∆11
det A
∆21
=
det A
∆12
=
det A
∆22
=
det A
b11 =
b12
b21
b22
a22
det A
a12
= (−1)1+2
det A
2+1 a21
= (−1)
det A
a11
= (−1)2+2
det A
= (−1)1+1
a22
det A
a12
=−
det A
a21
=−
det A
a11
=
det A
=
da cui si ricava facilmente che
"
B=A
2.3
−1
#
1
a22 −a12
=
.
det A −a21 a11
Esempio
Calcolare la matrice inversa della matrice
"
#
1 2
A=
.
3 4
Soluzione
"
A
2.4
−1
#
"
#
"
#
1
1 4 −2
4 −2
−2
1
=
=−
=
.
3/2 −1/2
4 − 6 −3 1
2 −3 1
Proprietà della matrice inversa
Date due matrici quadrate A e B, valgono le seguenti proprietà:
1. (AB)−1 = B −1 A−1
2. (kA)−1 =
1 −1
A
k
con k ∈ R \ {0}
3. (AT )−1 = (A−1 )T
4. se A è una matrice diagonale
0
a−1
··· 0
11
..
.
..
−1
..
.
. ⇒ A = ..
.
· · · ann
0 · · · a−1
nn
a11 · · ·
..
..
A= .
.
0
3
Polinomio caratteristico
Definizione 5 (Polinomio caratteristico). Il polinomio caratteristico di una matrice A (n × n) è il
polinomio di grado n
π(λ) = det(λI − A), λ ∈ C
Definizione 6 (Equazione caratteristica). L’equazione caratteristica è l’equazione
π(λ) = 0
2
F.d.A.
3.1
Richiami di algebra delle matrici
Esempio
Calcolare il polinomio e l’equazione caratteristica della matrice
"
#
1 2
A=
.
−1 4
Soluzione
Calcoliamo
"
#
λ 0
λI =
,
0 λ
"
⇒
#
λ − 1 −2
λI − A =
1
λ−4
da cui possiamo calcolare direttamente il polinomio caratteristico
π(λ) = det(λI − A) = (λ − 1)(λ − 4) + 2 = λ2 − 5λ + 6
da cui è banale ricavare l’equazione caratteristica
λ2 − 5λ + 6 = 0.
4
Autovalori
Definizione 7 (Autovalori e autovettori). λ ∈ C si dice autovalore di una matrice A (n × n) se
∃v ∈ Cn tale che
Av = λv.
v è detto autovettore di A associato a λ.
Da questo consegue che
1. Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico di A
π(A) = det(λI − A)
Dimostrazione. Preso λ autovalore, se ∃v 6= 0 t.c.
Av = λv
⇔
(λI − A)v = 0
equazione omogenea ha soluzioni non banali se e solo se det(λI − A) = 0.
4.1
Esempio
Prendendo in considerazione l’equazione caratteristica dell’esercizio precedente,
λ2 − 5λ + 6 = 0
calcolare gli autovalori della matrice A.
Soluzione
λ1,2 =
5±
√
25 − 24
2
3
(
⇒
λ1 =3
λ2 =2
.
F.d.A.
4.2
Richiami di algebra delle matrici
Proprietà degli autovalori
Gli autovalori di una matrice A (n × n) godono delle seguenti proprietà
1. La matrice A (n×n) ha sempre n autovalori (complessi), pur di contarli con la giusta molteplicità
2. Gli autovalori sono o reali o complessi e coniugati (se A ∈ Rn×n )
3. det A =
Qn
i=1 λi
= λ1 λ2 · · · λn
4. A singolare ⇔ ∃i : λi = 0
5. A triangolare (diagonale) ⇒ λi = aii
6. ∀λi autovalori di A ⇒ λ−1
sono autovalori di A−1 (se esiste)
i
7. tr A ,
5
Pn
i=1 aii
=
Pn
i=1 λi
Similitudine e diagonalizzabilità
Definizione 8 (Similitudine). Date due matrici quadrate A e à di uguali dimensioni si dicono simili
se esiste una matrice non singolare T (reale o complessa) tale che:
A˜ = T AT −1
Trasformazione di similutidine
Teorema 2. Gli autovalori di matrici simili coincidono, cioè A e à hanno gli stessi autovalori.
Dimostrazione. Autovalori di A: det(sI − A) = 0
Autovalori di à = T AT −1 :
det(λI − T AT −1 ) = det(T λIT −1 − T AT −1 )
h
= [det(T )] [det(λI − A)] det T −1
i
= det(λI − A)
Definizione 9 (Diagonalizzabilità). Data una matrice A (n × n), essa è diagonalizzabile se è simile
ad una matrice diagonale, cioè se esiste una matrice T non singolare tale che T AT −1 sia diagonale.
Valgono alcune proprietà:
1. A è diagonalizzabile ⇔ A ammette n autovettori vi linearmente indipendenti. Inoltre, la matrice
T di trasformazione che pone A in forma diagonale ha inversa data da
T −1 = [v1 v2 · · · vn ]
2. Autovalori λi distinti ⇒ gli autovettori vi sono linearmente indipendenti
3. Autovalori λi distinti ⇒ A è diagonalizzabile
5.1
Esempio
Verificare che la matrice
−1 0 0
A = 0 4 1 .
0 2 3
è diagonalizzabile e calcolare la matrice di trasformazione per porla in forma diagonale.
4
F.d.A.
Richiami di algebra delle matrici
Soluzione
λ+1
0
0
λ − 4 −1
λI − A = 0
0
−2 λ − 3
da cui
det(λI − A) =(λ + 1)(λ − 4)(λ − 3) + 0 + 0 − (0 + 2(λ + 1) + 0) =
= ((λ − 4)(λ − 3) − 2) (λ + 1) = λ2 − 7λ + 12 − 2 (λ + 1) =
=(λ − 5)(λ − 2)(λ + 1)
da cui è evidente che gli autovalori sono:
λ1 = − 1
λ =2
2
λ =5
3
Calcoliamo quindi gli autovettori associati agli autovalori
• λ1 = −1
α
Av1 = −v1
⇒
v1 = β
γ
−α = −α
4β + γ = −β
⇒
2β + 3γ = −γ
∀α
γ = −5β
⇒
−18β = 0
∀α
β=0
γ = 0
quindi possiamo scegliere un qualunque valore di α e ottenere un autovettore associato a λ1
1
v1 = 0
0
• λ2 = 2
α
Av2 = 2v2
⇒
v2 = β
γ
−α = 2α
4β + γ = 2β
⇒
2β + 3γ = 2γ
α=0
γ = −2β
⇒
−4β = −4β
α=0
∀β
γ = −2β
quindi possiamo scegliere un qualunque valore di β e ottenere un autovettore associato a s2
0
v2 = 1
−2
• λ3 = 5
Av3 = 5v3
α
v3 = β
γ
⇒
−α = 5α
4β + γ = 5β
⇒
2β + 3γ = 5γ
α=0
γ=β
5β = 5β
5
⇒
α=0
∀β
γ = β
F.d.A.
Richiami di algebra delle matrici
quindi possiamo scegliere un qualunque valore di β e ottenere un autovettore associato a s3
0
v3 = 1
1
Ora possiamo ricavare la matrice di trasformazione
T −1
1 0 0
= 0 1 1 ,
0 −2 1
det(T −1 ) = 3,
1 0
0
T = 0 1/3 −1/3 .
0 2/3 1/3
Trovata la matrice di trasformazione T , possiamo diagonalizzare la matrice A come
T AT −1
−1 0 0
= 0 2 0
0 0 5
N.B. Se avessimo scelto altri autovettori il risultato sarebbe stato lo stesso.
6
