Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Statistica Applicata all’edilizia
Lezione: approccio stocastico all’analisi delle
serie storiche
Orietta Nicolis
E-mail: [email protected]
13 aprile 2011
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Programma
1
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Programma
1
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Le serie storiche (o temporali)
Una serie storica y1 , y2 , . . . , yn viene definita come la
realizzazione finita di un processo stocastico Y1 , Y2 , . . . , Yn .
Un processo stocastico è definito tramite la distribuzione
congiunta di Y1 , ..., Yn per ogni n.
In generale le Yt non sono fra di loro indipendenti e interessa la
distribuzione congiunta per esempio di Yt ed Yt+1 .
Modelli per serie storiche
yt = f (yt−1 , yt−2 , . . .) + εt
dove εt processo stocastico stazionario non direttamente
osservabile
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Proprietà di un processo stocastico
1
Stazionarietà
Stazionarietà in senso stretto: se la distribuzione congiunta
associata ad n osservazioni rilevate ai tempi 1, 2, . . . , n è la stessa
di quella associata a n osservazioni rilevate ai tempi
1 + h, 2 + h, . . . , n + h, ossia
f (y1 , y2 , . . . , yn ) = f (y1+h , y2+h , . . . , yn+h )
Stazionarietà in senso debole: se valgono le seguenti proprietà:
E(Yt ) = µ;
σt2 = Var (Yt ) = σ 2 (costante);
γ(t, t + h) = Cov (Yt , Yt+h ) = γ(h), funzione di autocovarianza.
2
Invertibilità: Un processo stocastico è invertibile se esiste una
funzione lineare H(·) ed un processo ε ∼ w.n. tale che per ogni t
sia
Yt = H(Yt−1 , Yt−2 , . . .) + εt .
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Autocorrelazione e correlogramma
Autocorrelazione
ρt (h) = Cor (Yt , Yt+h ) =
Cov (Yt , Yt+h )
σYt σYt+h
Correlogramma
L’autocorrelazione campionaria, posto
ȳ ≡ 0,
è definita da
P
P
yt yt+h ∼
yt yt+h
r (h) = P 2 = qP P
yt
2
yt2 yt+h
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione parziale
La funzione di autocorrelazione parziale è data da
πk = Cor (Yt , Yt+h |Yt+1 , Yt+2 , . . . , Yt+h−1 )
ed legame tra due generiche Yt e Yt+h al netto delle variabili
intermedie.
Può essere vista come il coefficiente φkk delle regressioni
Yt = c + φ1h Yt−1 + φ2h Yt−2 + . . . + φhh Yt−h
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Calcolo della autocorrelazione parziale
1
ρ(1)
..
.
P(h) =
ρ(1)
1
..
.
ρ(2)
ρ(1)
..
.
...
...
..
.
ρ(h − 2)
ρ(h − 3)
..
.
ρ(1)
ρ(2)
..
.
ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . .
ρ(1)
ρ(h)
1
ρ(1)
ρ(2)
. . . ρ(h − 2) ρ(h − 1)
ρ(1)
1
ρ(1)
. . . ρ(h − 3) ρ(h − 2)
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . .
ρ(1)
1
N.B. Il denominatore è il determinante della matrice di Toeplitz.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Alcuni processi stocastici:
Rumore Bianco (White Noise)
Autoregressivi (AR)
Media Mobile (MA)
Autoregressivi a Media Mobile (ARMA)
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Rumore Bianco
Un processo stocastico {εt } è un rumore bianco (w.n.) se
E(εt ) = 0, ∀t
Var (εt ) = σε2 , ∀t
Cov (εt , εt−h ) = 0, ∀t, ∀h
Si indica con εt ∼ wn(0, σε2 ) ed è un processo stazionario in senso
debole.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un Rumore Bianco
Rumore bianco (w.n.)
Sample autocorrelation coefficients
0.08
3
0.06
2
0.04
1
0.02
sacf values
4
0
0
−1
−0.02
−2
−0.04
−3
−0.06
−4
0
200
400
600
800
1000
Orietta Nicolis
−0.08
0
10
20
30
40
k−values
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50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Autoregressivo (AR)
Un processo Autoregressivo di ordine 1, AR(1) è definito come
Yt = c + φYt−1 + εt
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Il processo AR è sempre invertibile.
Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1 ,
Yt
= φYt−1 + εt
= φBYt + εt
(1 − φB)Yt = εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo AR(1) è stazionario?
Un processo AR(1) può essere scritto come
Φ(B)Yt = εt
dove Φ(B) = (1 − φB).
Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al di
fuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(1) è
stazionario. Ciò accade se
−1 < φ < 1.
Esempio: Il processo Yt = 0.2Yt−1 + εt può essere scritto come
Yt = 0.2BYt + εt , (1 − 0.2B)Yt = εt . Ponendo (1 − 0.2B) = 0, si
1
ricava B = 0.2
= 5 > 1. Quindi il processo Yt è stazionario.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Momenti di un processo AR(1)
Per un processo AR(1) si può dimostrare che:
E(Yt )
=
µ=0
Var (Yt )
=
σε2
1 − φ2
ρh
=
πh
=
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φh
(
φ
0
h=1
h>1
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(1) con φ = 0.5
Yt = 0.5Yt−1 + εt
Simulazione AR(1) con φ=0.5
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
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900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = 0.5
Sample partial autocorrelation coefficients
0.6
0.4
0.5
0.3
0.4
spacf values
sacf values
Sample autocorrelation coefficients
0.5
0.2
0.1
0.3
0.2
0
0.1
−0.1
0
−0.2
0
10
20
30
k−values
40
50
60
Orietta Nicolis
−0.1
0
10
20
30
k−values
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40
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(1) con φ = −0.5
Yt = −0.5Yt−1 + εt
Simulazione AR(1) con φ=−0.5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
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900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = −0.5
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
spacf values
sacf values
0
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.5
0
10
20
30
k−values
40
50
60
Orietta Nicolis
−0.5
0
10
20
30
k−values
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40
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Autoregressivo di ordine p, AR(p)
Un processo Autoregressivo di ordine p, AR(p) è definito come
Yt = c + φ1 Yt−1 + φ2 Yt−2 + . . . + φp Yt−p + εt
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Il processo AR(p) è sempre invertibile.
Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1 , B 2 Yt = Yt−2 , . . .,
B p Yt = Yt−p ,
Yt
= φ1 Yt−1 + φ2 Yt−2 + . . . + φp Yt−p + εt
= φ1 BYt + φ2 B 2 Yt + . . . + φp B p Yt + εt
(1 − φ1 B − φ2 B 2 − . . . − φp B p )Yt = εt
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo AR(p) è stazionario?
Un processo AR(p) può essere scritto come
Φ(B)Yt = εt
dove Φ(B) = (1 − φ1 B − φ2 B 2 − . . . − φp B p ).
Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al di
fuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(p) è
stazionario.
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo AR(p)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo AR(p)
decade a 0 velocemente.
La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di un
processo AR(p) ha il seguente comportamento:
(
6= 0 h ≤ p
πh =
0
h>p
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(2) con φ1 = −0.5 e φ2 = 0.38
Yt = −0.5Yt−1 + 0.38Yt−2 + εt
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0
spacf values
sacf values
0.2
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
0
10
20
30
40
k−values
50
60
Orietta Nicolis
−1
0
10
20
30
40
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(3) con φ1 = 0.5, φ2 = 0.3 e
φ3 = 0.15
Yt = 0.5Yt−1 + 0.3Yt−2 + 0.15Yt−3 + εt
Sample partial autocorrelation coefficients
1.2
1
1
0.8
0.8
spacf values
sacf values
Sample autocorrelation coefficients
1.2
0.6
0.4
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
0
10
20
30
40
k−values
50
60
Orietta Nicolis
−0.2
0
10
20
30
40
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo a Media Mobile di ordine 1, MA(1)
Un processo MA(1) è definito come
Yt = c + εt + θεt−1
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Il processo MA è sempre stazionario.
Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1 ,
Yt
= θεt−1 + εt
= θBεt + εt
Yt = (1 + θB)εt
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo MA(1) è invertibile?
Un processo MA(1) può essere scritto come
Yt = Θ(B)εt
dove Θ(B) = (1 + θB).
Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al di
fuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(1) è
invertibile. Ciò accade se
−1 < θ < 1.
Esempio: Il processo Yt = 0.2εt−1 + εt può essere scritto come
Yt = 0.2Bεt + εt , Yt = (1 + 0.2B)εt . Ponendo (1 + 0.2B) = 0, si
1
ricava |B| = 0.2
= 5 > 1. Quindi il processo Yt è invertibile.
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione ACF di un processo MA(1)
Per un processo MA(1) si può dimostrare che:
(
θ
− 1+θ
h=1
2
ρh =
0
h>1
La funzione di autocorrelazione parziale πh decade a 0
all’aumentare di h.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(1) con θ = 0.8
Yt = 0.8εt−1 + εt
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
spacf values
sacf values
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
−0.1
0
−0.1
0
−0.2
20
40
60
k−values
−0.3
0
20
40
k−values
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(1) con φ = −0.8
Yt = −0.8εt−1 + εt
Sample partial autocorrelation coefficients
0.2
0.1
0.1
0
0
spacf values
sacf values
Sample autocorrelation coefficients
0.2
−0.1
−0.2
−0.1
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.5
0
20
40
60
k−values
−0.5
0
20
40
k−values
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Media Mobile di ordine q, MA(q)
Un processo MA(q) è definito come
Yt = c + θ1 εt−1 + θ2 εt−2 + . . . + θq εt−q + εt
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Il processo MA(q) è sempre stazionario.
Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1 , B 2 εt = εt−2 , . . .,
B q εt = εt−q ,
Yt
= θ1 εt−1 + θ2 εt−2 + . . . + θq εt−q + εt
= θ1 Bεt + θ2 B 2 εt + . . . + θq B q εt + εt
Yt = (1 + θ1 B + θ2 B 2 + . . . − θq B q )εt
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo MA(q) è invertibile?
Un processo MA(q) può essere scritto come
Yt = Θ(B)εt
dove Θ(B) = (1 + θ1 B + θ2 B 2 + . . . + θp B p ).
Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al di
fuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(q) è
stazionario.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo MA(q)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di un
processo MA(q) decade a 0 velocemente.
La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo MA(Q) ha
il seguente comportamento:
(
6= 0 h ≤ q
ρh =
0
h>q
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(2) con θ1 = 0.6 e θ2 = 0.3
Yt = 0.6εt−1 + 0.3εt−2 + εt
Simulazione MA(2) con θ1=0.6 e θ2=0.3
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
Statistica Applicata all’edilizia
900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(2) con
θ1 = 0.6 e θ2 = 0.3
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
spacf values
sacf values
0.4
0.3
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
0
0
−0.1
0
−0.1
10
20
30
40
k−values
50
60
Orietta Nicolis
−0.2
0
10
20
30
40
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(3) con θ1 = 0.5, θ2 = 0.3 e
θ3 = 0.15
Yt = 0.4εt−1 − 0.3εt−2 + 0.25εt−3 + εt
Simulazione MA(3) con θ1=0.4, θ2=−0.3 e θ3=0.25
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
Statistica Applicata all’edilizia
900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(3)con
θ1 = 0.5, θ2 = 0.3 e θ3 = 0.15
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.2
0.25
0.15
0.2
0.15
0.1
0.1
spacf values
sacf values
0.05
0
0.05
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.2
0
−0.15
10
20
30
40
k−values
50
60
Orietta Nicolis
−0.2
0
10
20
30
40
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordine
1,1, ARMA(1,1)
Un processo ARMA(1, 1) è definito come
Yt = c + φYt−1 + θεt−1 + εt
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Ponendo c = 0,
Yt − φYt−1
= θεt−1 + εt
(1 − φB)Yt
=
Orietta Nicolis
(1 + θB)εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo ARMA(1,1) è invertibile e/o stazionario?
Un processo ARMA(1, 1) può essere scritto come
Φ(B)Yt = Θ(B)εt
dove Φ(B) = (1 − φB) e Θ(B) = (1 + θB).
Il processo ARMA(1,1) è STAZIONARIO se le radici del
polinomio caratteristico 1 − φB = 0 giacciono al di fuori del
raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1.
Il processo ARMA(1,1) è INVERTIBILE se le radici del polinomio
caratteristico 1 + θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio di
cerchio unitario, cioè |B| > 1.
ARMA(1,1) è stazionario ed invertibile se −1 < φ < 1 e
−1 < θ < 1.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo
ARMA(1,1)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processo
ARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.
La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di un
processo ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un ARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2
Yt = 0.7Yt−1 − 0.2εt−1 + εt
Simulazione ARMA(1,1) con φ=0.7 e θ1=−0.2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
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900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo un
ARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2
Sample partial autocorrelation coefficients
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
spacf values
sacf values
Sample autocorrelation coefficients
0.6
0.3
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
0
0
−0.1
0
10
20
30
k−values
40
50
60
Orietta Nicolis
−0.1
0
10
20
30
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
40
50
60
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordine
p,q, ARMA(p,q)
Un processo ARMA(p, q) è definito come
Yt = c+φ1 Yt−1 +φ2 Yt−2 +. . .+φp Yt−p +εt +θ1 εt−1 +θ2 εt−2 +. . .+θq εt−q
dove εt ∼ wn(0, σε2 ).
Ponendo c = 0,
Yt − φ1 Yt−1 − φ2 Yt−2 − . . . − φp Yt−p
=
θ1 εt−1 + θ2 εt−2 + . . . + θq εt−q
(1 − φ1 B − φ2 B − . . . − φp B )Yt
=
(1 + θ1 B + θ2 B 2 . . . + θq B q )εt
Φ(B)
=
Θεt
2
p
Orietta Nicolis
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo ARMA(p,q) è invertibile e/o stazionario?
Un processo ARMA(p, q) può essere scritto come
Φ(B)Yt = Θ(B)εt
dove Φ(B) = ((1 − φ1 B − φ2 B 2 − . . . − φp B p ) e
Θ(B) = (1 + θ1 B + θ2 B 2 . . . + θq B q ).
Il processo ARMA(p,q) è STAZIONARIO se le radici del
polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio
di cerchio unitario, cioè |B| > 1.
Il processo ARMA(p,q) è INVERTIBILE se le radici del polinomio
caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio di cerchio
unitario, cioè |B| > 1.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo
ARMA(p,q)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processo
ARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.
La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di un
processo ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un ARMA(3,2) con φ1 = 0.4,
φ2 = −0.3, φ3 = 0.2, θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6
Yt = 0.4Yt−1 − 0.3Yt−2 + 0.2Yt−3 − 0.3εt−1 + 0.6εt−2 + εt
Simulazione ARMA(p,q) φ1=0.4, φ2=−0.3, φ3=0.2, θ1=−0.3, e θ2=0.6
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
100
200
300
400
500
Orietta Nicolis
600
700
800
Statistica Applicata all’edilizia
900
1000
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo un
ARMA(p,q) con φ1 = 0.4, φ2 = −0.3, φ3 = 0.2,
θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6
Sample autocorrelation coefficients
Sample partial autocorrelation coefficients
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
spacf values
sacf values
0.2
0.15
0.1
0.15
0.1
0.05
0.05
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
0
10
20
30
k−values
40
50
60
Orietta Nicolis
−0.1
0
10
20
30
k−values
Statistica Applicata all’edilizia
40
50
60
