Statistica Applicata all`edilizia Lezione: Analisi delle serie storiche

Statistica Applicata all’edilizia
Lezione: Analisi delle serie storiche: parte I
Orietta Nicolis
E-mail: [email protected]
27 aprile 2010
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Programma
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Programma
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Le serie storiche (o temporali)
Sequenze di osservazioni effettuate nella sucessione dei periodi di
tempo Y1 , Y2 , . . . , Yn tra loro equidistanti.
Approcci statistici per l’analisi delle serie storiche:
classico o tradizionale;
stocastico o di Box e Jenkins;
frequenziale o spettrale.
Orietta Nicolis
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Ipotesi dell’approccio classico
Le grandezze osservate sono esprimibili mediante una
componente sistematica (o deterministica) e una componente
aleatoria (o irregolare).
La parte sistematica è scomponibile nelle seguenti componenti:
tendenziale di lungo periodo (Tt );
congiunturale di medio periodo (Ct );
stagionale (se le osservazioni hanno una cadenza inferiore
all’anno) (St ).
Orietta Nicolis
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I modelli decompositivi
Il modello che si suppone che metta in relazione le singole
componenti può essere di tipo:
additivo:
Yt = Tt + Ct + St + At
:
Yt = Tt · Ct · St · At
Tale modello può essere espresso in forma addittiva ricorrendo
alla trasfromazione logaritmica
log(Yt ) = log(Tt ) + log(Ct ) + log(St ) + log(At )
misto:
Yt = (Tt · Ct · St ) + Et
Orietta Nicolis
o
Yt = (Tt · Ct ) + St + Et
Statistica Applicata all’edilizia
Esempio 1: Modello con Trend e ciclo
Trend
Ciclo
25
4
20
2
15
0
10
−2
5
0
0
500
1000
−4
0
Modello addittivo
500
1000
Modello Moltiplicativo
30
100
50
20
0
10
0
−50
0
500
1000
Orietta Nicolis
−100
0
500
Statistica Applicata all’edilizia
1000
Esempio 2: Componenti: T, C, S, A
Trend
Ciclo
25
4
20
2
15
0
10
−2
5
0
0
500
1000
−4
0
stagionalità
4
1
2
0
0
−1
−2
500
1000
Comp. Aleatoria
2
−2
0
500
1000
Orietta Nicolis
−4
0
500
Statistica Applicata all’edilizia
1000
Esempio 2: Modelli
Modello addittivo
Modello Moltiplicativo
30
400
20
200
10
0
0
−10
0
−200
500
1000
−400
0
200
Modello misto n.1
600
800
1000
Modello misto n.2
200
100
100
50
0
0
−100
−200
0
400
−50
500
1000
Orietta Nicolis
−100
0
200
400
Statistica Applicata all’edilizia
600
800
1000
La determinazione del trend e ciclo-trend
1
2
3
4
Metodo grafico
Funzioni lineari
Funzioni polinomiali
Metodo delle medie mobili e mediane mobili
Le funzioni polinomiali, le funzioni non lineari, e le medie/mediane
mobili approssimano contemporaneamente le componenti di trend e
ciclo. Per semplicità, nel seguito considereremo modelli del tipo
Yt = Tt + St + At e Yt = Tt · St · At , in cui la componente Ct è
compresa nella componente di trend.
Orietta Nicolis
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Metodo grafico
Consiste nel tracciare una linea attraverso i punti rappresentativi dei
valori osservati
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
0
50
100
150
Orietta Nicolis
200
250
Statistica Applicata all’edilizia
300
Funzioni lineari
Tt = β0 + β1 t
Indice della produzione industriale (IPI)
120
110
y = 0.12*x + 71
100
90
80
70
60
50
40
30
0
50
100
150
Orietta Nicolis
200
250
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300
Funzioni polinomiali
Tt = β0 + β1 t + β2 t 2 + · · · + βn t n
120
110
y = − 8.7e−019*x9 − 1.9e−015*x8 + 2.8e−012*x7 − 1.4e−009*x6 +
3.5e−007*x5 − 4.8e−005*x4 + 0.0035*x3 − 0.12*x2 + 1.9*x + 65
100
90
80
70
60
50
data 1
9th degree
40
30
0
50
100
150
Orietta Nicolis
200
250
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300
Funzioni non-lineari
Tt = f (t; β0 , β1 , . . . , βn )
Alcuni esempi:
Esponenziale semplice
Esponenziale modificata
Semilogaritmica
Logistica
Orietta Nicolis
Tt
Tt
Tt
Tt
= keβt
= m + keβt
= β0 + β log t
= β +ββ0 eβ2 t
0
1
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Metodo delle medie mobili e mediane mobili
Strumenti alternativi per la stima del trend/ciclo
Maggiore è il numero dei termini utilizzati per il calcolo della
media, maggiore è l0 appiattimento;
trade-off tra precisione e variabilità della stima;
Se la serie è stagionale, è opportuno utilizzare un numero di
termini pari alla stagionalità (es: media mobile a 4 termini per
dati trimestrali, a 7 termini per dati giornalieri, ecc.)
Orietta Nicolis
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Medie mobili
Media mobile (asimmetrica) a k termini
(k )
Xt
=
k −1
1X
Yt−i
k
i=0
(3)
Esempio: Per k = 3, si ha Xt
= 31 (Yt + Yt−1 + Yt−2 ).
Orietta Nicolis
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Media mobile (simmetrica) a k = 2h + 1 termini
- Per k dispari
Xtk =
h
X
1
Yt+i
2h + 1
i=−h
Esempio: Per h = 2, la media mobile a k = 5 termini è data da
(5)
Xt = 15 (Yt−2 + Yt−1 + Yt + Yt+1 + Yt+2 ).
- Per k pari
(k )
Xt
=
1
k
h−1
X
(Yt+i + 0.5(Yt−h + Yt+h )
i=−(h−1)
Esempio: Per k = 4, si ha
(4)
Xt = 41 (0.5Yt−2 + Yt−1 + Yt + Yt+1 + 0.5Yt+2 ).
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Schema di medie mobili (simmetriche) a tre e 5 termini
Tempo (t)
1
2
3
4
5
6
7
Dati
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
MM(k = 3)
–
1
(Y
+
Y2 + Y3 )
1
3
1
(Y
+
Y3 + Y4 )
2
3
1
(Y
+
Y4 + Y5 )
3
3
1
(Y
+
Y5 + Y6 )
4
3
1
(Y
+
Y6 + Y7 )
5
3
–
MM(k = 5)
–
–
1
(Y
+
Y
+
Y3 + Y4 + Y5 )
1
2
5
1
(Y
+
Y
+
Y4 + Y5 + Y6 )
2
3
5
1
(Y
+
Y
+
Y5 + Y6 + Y7 )
3
4
5
–
–
Esercizio: Costruire lo stesso schema per le medie mobili
asimmetriche
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia
Mediane mobili
Mediana mobile (asimmetrica) a k termini
Xtk = Me(Yt , · · · , Yt−k +1 )
Esempio: Per k = 3, si ha yt3 = Me(Yt , Yt−1 , Yt−2 ).
Mediana mobile (simmetrica) a k = 2h + 1 termini
Xtk = Me(h(Yt−h , · · · , Yt , · · · , Yt+h )
Esempio: Per h = 2, la media mobile a k = 5 termini è data da
Xt5 = Me(Yt−2 , Yt−1 , Yt , Yt+1 , Yt+2 ).
Orietta Nicolis
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Esempio:
Medie e mediane mobili (simmetriche) per la serie dell’Indice della
produzione nelle costruzioni (IPC)
140
130
120
110
100
90
dati
80
Media mobile
Mediana Mobile
70
Orietta Nicolis
/3
/2
06
20
/4
05
04
20
20
/2
/1
04
20
/3
03
02
20
20
/1
20
01
/4
/2
01
20
/3
00
99
19
20
/1
/4
98
19
/2
98
97
19
19
/3
96
19
95
19
19
95
/1
/4
60
Statistica Applicata all’edilizia
Smoothing esponenziale
Il metodo dello smoothing smoothing esponenziale si basa su
una somma esponenziale dei valori passati di una serie storica,
ponderati con pesi esponenzialmente decrescenti
k
Xt+1
= αYt + (1 − α)Xt
Esempio:
X2k
X3k
X4k
X5k
X6k
=
=
=
=
=
Orietta Nicolis
αY1 + (1 − α)X1
αY2 + (1 − α)X2
αY3 + (1 − α)X3
αY4 + (1 − α)X4
αY5 + (1 − α)X5
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Esempio: stima della componente ciclica nella serie
IPI destagionalizzata e detrendizzata
Stima della componente ciclica con smoothing esponenziale con
α = 0.04, α = 0.08, α=0.04
α = 0.2 e α = 0.6.
α=0.08
40
40
20
20
0
0
−20
0
100
200
300
−20
0
100
α=0.2
40
40
20
20
0
0
−20
0
100
200
300
200
300
α=0.6
200
300
Orietta Nicolis
−20
0
100
Statistica Applicata all’edilizia
La detrendizzazione di una serie temporale
Una volta stimata la componente di trend si procede alla
detrendizzazione della serie, vale a dire all’elimizazione della
tendenza di fondo
sottraendo il trend stimato ai valori osservati, nel caso di modello
ADDITIVO:
Yt − Tt = St + At
dividendo i valori osservati per il trend stimato, nel caso di
modello MOLTIPLICATIVO:
Yt
= St · At
Tt
Orietta Nicolis
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Stima della componente stagionale
Consideriamo un modello additivo del tipo
Yt = Tt + St + At
indichiamo con Ut la serie detrendizzata,
Ut = Yt − Tt = St + At
dove Ut oscilla attorno allo zero e contiene la componente stagionale
St e la componente accidentale At .
1
2
Si dispongono i valori della serie Ut in una tabella e si calcolano
le medie per riga, si0 , denominate coefficienti grezzi di
stagionalità.
Se la somma dei coefficienti grezzi di stagionalità è pari a zero,
essi determinano una stima della componente stagionale del
periodo i, altrimenti applico una correzione per ripartire l’errore
sui diversi periodi.
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...(Stima della componente stagionale)
Per esempio, se i dati sono mensili e la stagionalità è annuale si
costruisce la seguente tabella:
Gen
Feb
Mar
..
.
1980
U1,1
U2,1
U3,1
..
.
1981
U1,2
U2,2
U3,2
..
.
1982
U1,3
U2,3
U3,3
..
.
Dic
U12,1
U12,2
U12,3
...
...
...
...
...
...
1993
U1,14
U2,14
U3,14
..
.
Media righe
s10
s30
s30
..
.
U12,14
0
s12
Poichè la stagionalità è un fenomeno con media pari a zero,
P12
1
se i=1 si0 = 0 allora si = si0 , dove si è la componente di
stagionalità definitiva del mese i.
P12
∆
2
se i=1 si0 = ∆ 6= 0 allora si = si0 − 12
.
Orietta Nicolis
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Profilo della stagionalità
Se rappresentiamo graficamente la stagionalità per ogni mese i,
otteniamo un grafico detto profilo della stagionalità.
Esempio: Stima della stagionalità della serie IPI detrendizzata.
Profilo di stagionalità
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
0
feb
apr
giu
Orietta Nicolis
ago
ott
dic
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La destagionalizzazione
Destagionalizzare una serie storica significa rimuovere la parte
periodica.
In un modello additivo, la serie destagionalizzata risulta:
Yt0 = Yt − St .
La disponibilità dei dati destagionalizzati consente di comparare
mesi adiacenti, senza che il confronto sia alterato dalla presenza
di oscillazioni di carattere stagionale.
Un metodo per destagionalizzare una serie storica stagionale
consiste nel fare una media mobile con un’ordine pari alla
stagionalità. Per esempio, se la serie è mensile e la stagionalità
è annuale, facendo una media mobile di 12 termini si ottiene una
serie destagionalizzata.
Il metodo adottato per la destagionalizzazione dipende dal
modello di composizione: nel caso di un modello additivo è
sufficiente sottrarre dalla serie originale la componente
stagionale, mentre in quello moltiplicativo si divide.
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Stima della componente accidentale
Da ogni elemento della serie detrendizzata si toglie la componente
stagionale del mese relativo.
La componente accidentale deve presentare le seguenti
caratteristiche:
Graficamente, i valori positivi e negativi devono alternarsi attorno
allo zero in modo casuale.
Indipendenza: il correlogramma deve essere interno alle bande
di significatività
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Esercizi:
1
2
3
Determinare le medie e mediane mobili asimmetriche per la
serie dell’Indice della Produzione nelle Costruzioni (IPC) e
rappresentarle graficamente
Determinare le medie e mediane mobili dell’Indice della
Produzione Industruiale (IPI), scegliendo un opportuno k e
rappresentarle graficamente.
Determinare e rappresentare graficamente le serie IPI e IPC
destagionalizzate.
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Esercizi:
1
2
Stimare le componenti di Trend, Ciclo e Stagionalità negli indici
IPI e IPC
Stimare e rappresentare graficamente le serie delle componenti
irregolari per gli indici IPI e IPC.
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Programma
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