DINAMICA ELETTROSTATICA
Fino ad ora abbiamo risolto problemi di Statica, dove la forza
elettrica agiva su particelle immobili. Adesso vediamo cosa succede
in situazioni di Dinamica, cioè quando la forza elettrica agisce su
corpi in movimento.
Affinché la forza elettrica possa agire ci devono essere sia cariche
โ che si
elettriche agenti, le quali generano un campo vettoriale โ๐ฌ
estende in tutto lo spazio, che una carica elettrica subente q la
quale riceve una forza elettrica Fel=q๏E; questa forza elettrica a sua volta genera un’accelerazione
โ el/m , con m la massa della carica q. L’accelerazione a sua volta spinge la particella q, accelerandola e
โ =๐ญ
๐
determinando in questo modo la sua equazione oraria e la sua traiettoria.
Vediamo come tutto questo avviene in pratica risolvendo alcuni semplici problemi!
Problema 1: campo elettrico costante
Supponiamo che un protone (mp=1,672๏10-27kg ;
q=1,602๏10-19C) si muova orizzontalmente con
una velocità iniziale di 10.000m/s (le particelle
nucleari sono molto veloci!). Nella regione di
spazio in cui si muove sono presenti delle cariche
agenti le quali generano un campo elettrico
verticale costante, diretto verso l’alto e con
intensità E=103 N/C: vedi figura 1.
Figura 1: la particella carica si muove
orizzontalmente ed entra in una regione dove è
presente un campo elettrico E costante diretto
verso l'alto (vettori rossi).
1) Calcoliamo la posizione assunta dal protone
dopo 10-6s (eq. oraria)
Per risolvere il problema, bisogna scrivere l’equazione oraria lungo X e lungo Y:
๏Sx = ½๏ax๏๏t2 + Vix๏๏t (1a)
๏Sy = ½๏ay๏๏t2 + Viy๏๏t (2a)
Nel nostro caso:
orizzontalmente).
Vix=10.000m/s ; Viy=0m/s (il protone inizialmente si muove
Devo trovare l’accelerazione “a”. Uso la Seconda Legge della Dinamica: a=F/mp ; poiché
l’unica forza agente è quella elettrica (per un protone la forza di gravità è trascurabile per via della
sua piccolissima massa), scrivo: F=Fel.
Ma per la forza elettrica vale l’equazione: Fel = q๏E
๏ฎ
Felx = q๏Ex ; Fely = q๏Ey.
Calcolo la forza elettrica:, tenendo conto che nel nostro caso, il campo elettrico è solo verticale:
Ex = 0 ; Ey = 105 N/C ๏ฎ
Felx=1,602๏10-19C๏0N/C = 0N ; Fely=1,602๏10-19C๏103 N/C = 1,602๏10-16N.
Di conseguenza l’accelerazione risulta:
ax=0N/1,672๏10-27kg = 0m/s2 ; ay=1,602๏10-16N/1,672๏10-27kg = 0,958๏1011 m/s2
Sostituendo i valori nell’eq. (1a) , (2a) ottengo:
๏Sx = ½๏0๏๏t2 + 10.000๏๏t
๏Sy = ½๏0,958๏1011๏๏t2 + 0๏๏t
๏ฎ
๏ฎ
๏Sx = 10.000๏๏t
๏Sy = 0,479๏1011๏๏t2
(1b)
(2b)
Sostituendo il valore richiesto per ๏t=10-6s otteniamo:
๏Sx=0,01m ; ๏Sy=0,0479m
Nota bene: State attenti, studenti! Non pensate che questo problema si esaurisca semplicemente
facendo un paio di calcoli… siamo a Fisica, non a Matematica! Analizziamo con occhio critico la
situazione.
Innanzitutto: il moto del protone è stato separato in moto lungo X e moto lungo Y:
Il moto lungo X avviene senza forze: è perciò un moto inerziale e dunque uniforme: la velocità lungo X
rimane sempre la stessa.
Il moto lungo Y è accelerato a causa della presenza del campo elettrico E che genera una Fel diretta verso
l’alto. Poiché E è costante anche Fel è costante e dunque pure ay rimane costante: il moto lungo Y è perciò
uniformemente accelerato.
Questa situazione vi ricorda un altro tipo di moto che abbiamo gi’ incontrato_
2)
Scopriamo qual è la traiettoria.
Abbiamo già calcolato la traiettoria di una particella nel caso essa fosse soggetta solo alla gravità:
la tecnica è illustrata negli appunti “LA TRAIETTORIA DI UNA CADUTA IDEALE E’ UNA PARABOLA”,
anch’essi linkati nel mio sito.
Applichiamo la stessa tecnica al nostro problema. Consideriamo le eq. orarie per le due
componenti (1b) , (2b e mettiamole a sistema:
{
๏๐๐ฑ = ๐๐. ๐๐๐๏๏๐ญ
๏๐๐ฒ = ๐, ๐๐๐๏๐๐๐๐ ๏๏๐ญ ๐
E’ evidente che ๏Sx rappresenta la “X” del movimento mentre ๏Sy rappresenta la “Y”: perciò posso
subito scrivere:
๐ = ๐๐. ๐๐๐๏๏๐ญ
(๐๐)
{
๐๐
๐
๐ = ๐, ๐๐๐๏๐๐ ๏๏๐ญ
(๐๐)
Adesso guardate il sistema che abbiamo appena scritto: qual è il termine comune che appare in
entrambe le equazioni? E’ evidente: è il termine…. ๏t ! E’ perciò sufficiente applicare la tecnica
della sostituzione a ๏t: dalla I equazione ho ๏t = X/10.000 ; sostituendo nella II equazione
ottengo:
Y=479๏X2
(3)
L’eq. (3) rappresenta la traiettoria del protone. Tale traiettoria è una parabola, con vertice
sull’origine. E’ un caso che la forma della traiettoria che abbiamo appena ottenuto sia la stessa di
quella della caduta ideale? Pensaci…
considera adesso un elettrone che si muove nelle stesse condizioni di cui
sopra. Quale sarà la sua posizione dopo 10-6s? E qual è la forma della sua traiettoria? Rispondi alle due
domande e poi discutiamo della cosa in classe (massa e carica dell’elettrone le trovi su internet).
Problema 2 (per casa):
