0 8 - C O N S E R V A Z I O N E
D E L L ’ E N E R G I A g.bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Introduzione
Nello “sport” del salto con l’elastico il saltatore si
lancia nel vuoto appeso ad una corda elastica.
Come si può prevedere con certezza fino a dove
arriverà nella sua caduta? La risposta è
ovviamente di “vitale” importanza per il saltatore.
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• Il Teorema Lavoro-Energia afferma che il lavoro totale fatto dalla forze agenti su una
particella è uguale alla variazione della sua Energia Cinetica.
• Quando agiscono determinate forze, dette conservative, il lavoro totale eseguito dipende
solo dalle configurazioni iniziale e finale del sistema e non dal percorso effettuato.
• Tali tipi di forze sono in grado di immagazzinare l’energia e di restituirla integralmente.
Tale energia è detta potenziale.
• Quando agiscono solamente forze attive conservative, la somma dell’energia cinetica e di
quella potenziale viene detta energia meccanica totale. Tale grandezza risulta costante (si
conserva).
• Altre forze, come gli attriti, non sono conservative e non immagazzinano l’energia, bensì
la dissipano.
• Mediante l’introduzione di altre forme di energia (grandezze trasformabili in lavoro
meccanico), come l’energia chimica, termica, nucleare, la conservazione dell’energia
diventa uno dei principi più generali della fisica.
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Esempi di forze conservative
L = ΔK
Forza elastica
massa ferma, K=0
a) → b) : L = + 12 kd 2 → K = + 12 kd 2
b) → c) : L = − 12 kd 2 → K = 0
c) → d) : L = + 12 kd 2 → K = + 12 kd 2
d) → e) : L = − 12 kd 2 → K = 0
il lavoro complessivo per tornare alla
posizione iniziale è nullo
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Esempi di forze conservative (e non)
L = ΔK
Forza gravitazionale
a) → b) : K = 0 → L = −mgh = − 12 mvo2
b) → c) : L = mgh → K = mgh = 12 mvo2
K = 12 mvo2
il lavoro complessivo per tornare
alla posizione iniziale è nullo
L=-|La|
Forza d’attrito
K è diminuita
K = 12 mv 2
il lavoro complessivo per tornare
alla posizione iniziale è –2|La|
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Definizioni di forza conservativa
Prima definizione (equivalente) di forza conservativa
Se un corpo percorre un cammino chiuso sotto l’azione di una forza che compie complessivamente
lavoro nullo, tale forza è conservativa, altrimenti, se compie lavoro non nullo, è non conservativa.
Seconda definizione (equivalente) di forza conservativa
esempio - forza elastica
• Lavoro lungo il primo percorso (1)
−d/2
L1 =
∫
+d
(−kx ) dx = − 12 kx 2
−d/2
+d
=
2
= − 12 k #$(−d / 2 ) − d 2 %& = 83 kd 2
• Lavoro lungo il secondo percorso (2)
−d
L2 =
∫ (−kx ) dx +
+d
−d/2
∫
−d
(−kx ) dx = − 12 kx 2
−d
+d
− 12 kx 2
−d/2
−d
2
= 0 − 12 k #$(−d / 2 ) − d 2 %& = 83 kd 2
Se il lavoro fatto da una forza nel muovere un certo corpo dalla posizione iniziale a quella finale è
indipendente dal cammino percorso fra i due punti, la forza è conservativa; altrimenti è non conservativa.
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Equivalenza delle due definizioni
• Se la forza agente è conservativa e la
particella compie un percorso chiuso
b
∫
a(1)
Lab,1 + Lba,2 = 0
a
F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = 0
b(2)
• Se si cambia la direzione del percorso (2) lo spostamento cambia segno ma la forza rimane
la stessa.
b
a
a
F
⋅
d
s
=
F
⋅
−d
s
=
−
F
⋅
d
s
→ Lab,2 = −Lba,2
(
)
∫
∫
∫
a(2)
b(2)
b(2)
• Il lavoro fatto dalla forza conservativa non dipende dal percorso
b
Lab,1 + Lba,2 = Lab,1 − Lab,2 = 0 →
∫
a(1)
F ⋅ ds =
b
∫
a(2)
F ⋅ ds
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Energia potenziale
• L’energia potenziale di un sistema può essere definita solo se le forze agenti sono tutte conservative
• L’energia potenziale di un sistema è l’energia immagazzinata nella sua configurazione meccanica
(compressione di una molla, innalzamento di un peso, ecc.)
• Quando lo stato di un sistema conservativo cambia da una configurazione (i) ad una configurazione
(f), il lavoro eseguito è indipendente dalla modalità con la quale il cambiamento avviene (indipendente
dal percorso).
−ΔU = − (U f −Ui ) = Lif = L
dipende solo da (i) e da (f)
• Si indica con ΔU la variazione di energia potenziale del sistema nel passare dalla configurazione (i)
alla configurazione (f)
• Ui e Uf sono i valori dell’energia potenziale immagazzinata dal sistema nelle configurazioni (i) ed (f)
U f −Ui = ΔU < 0
→
L>0
U f −Ui = ΔU > 0
→
L<0
U diminuisce, il sistema compie lavoro
U aumenta, il sistema assorbe lavoro
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Energia potenziale ed energia cinetica
• Lavoro della molla da d) ad e)
L = − 12 kd 2
• Variazione dell’energia potenziale
ΔU = −L = + 12 kd 2
• Per il Teorema Lavoro-Energia
ΔK = L = − 12 kd 2
• Per il sistema massa molla
ΔU + ΔK = 0
L’energia cinetica e potenziale si scambiano
esattamente l’una nell’altra durante l’evoluzione del
sistema
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Teorema di conservazione dell’energia meccanica
• Risultato generale derivante dalla definizione di energia potenziale e dal Teorema LavoroEnergia
Nei sistemi conservativi la variazione dell’Energia Potenziale è esattamente compensata da
una variazione uguale in modulo ed opposta in segno di Energia Cinetica
ΔU + ΔK = 0 → Δ (U + K ) = 0
• Si definisce Energia Meccanica Totale E la somma dell’Energia Potenziale e dell’Energia
Cinetica di un sistema conservativo
E = U + K → ΔE = 0 → E = U + K = costante
Conservazione dell’Energia Meccanica
In qualsiasi sistema isolato costituito da corpi che interagiscono solo con forze di tipo
conservativo, la somma dell’Energia Cinetica e dell’Energia Potenziale deve rimanere
costante
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Conservazione dell’energia meccanica
Scambio dell’energia cinetica e
potenziale in un sistema massa molla
Energia tutta potenziale
della molla compressa
Energia presente in forma
cinetica e potenziale
Energia tutta cinetica
della massa
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Corpo soggetto a più forze conservative
Definizione di Energia Potenziale
Lmolla + Lgravità = −ΔU molla − ΔU gravità
Teorema Lavoro-Energia
Lmolla + Lgravità = ΔK
Legge di Conservazione Energia Meccanica
ΔU molla + ΔU gravità + ΔK = 0
E = U molla +U gravità + K = costante
http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/
JavaApp/energy1/e-energy1.html
consente di esprimere v in funzione di x
parte da fermo alla posizione x=0
E = U f + K f = Ui + K i → E = 12 kx 2 + mgx + 12 mv 2 = 0
• Il Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica fornisce una relazione fra velocità e
configurazione geometrica (posizione) della particella o del sistema e consente di ottenere
direttamente informazioni sul moto
• E’ una relazione derivata dalle leggi del moto, è meno completa ma è più facilmente applicabile
essendo l’energia uno scalare.
• E’ il caso particolare di una Legge di Conservazione più generale.
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Altri esempi di scambio di energia cinetica e potenziale
Sonda Cassini
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Sistemi conservativi unidimensionali
• Variazione dell’Energia Potenziale di una particella sottoposta ad una forza conservativa
unidimensionale F(x)
x
ΔU = −L = − ∫ F ( x ) dx
x
U ( x ) = U ( x0 ) −
x0
∫ F ( x ) dx
si muove da x0 ad x
x0
• La funzione U(x) può essere ottenuta scegliendo un punto di riferimento x0 arbitrario e
assegnando a U(x0) un valore di comodo completamente arbitrario.
• Hanno significato solamente le variazioni di U(x) e non i suoi valori assoluti. Una diversa scelta
di U(x0) cambia i valori di U(x) ma non le differenze ΔU= U(x2)-U(x1)
• Muovendosi da x0 ad x la velocità della particella varia da v0 a v, il lavoro fatto dalla forza sarà:
Teorema Lavoro-Energia
L = ΔK = 12 mv 2 − 12 mv02
• Combinando la definizione di Energia Potenziale con il teorema Lavoro-Energia si ottiene
1
2
mv 2 − 12 mv02 = U ( x0 ) −U ( x )
E = 12 mv 2 +U ( x ) = 12 mv02 +U ( x0 )
conservazione dell’Energia Meccanica
non compare ne accelerazione ne forza
dipende solo da posizione e velocità iniziali
La grandezza E (energia meccanica) rimane costante durante il moto.
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Sistemi conservativi unidimensionali
• L’equazione di conservazione dell’energia meccanica consente di semplificare la soluzione
di alcuni problemi dinamici senza l’uso delle leggi del moto di Newton
• Essa rappresenta una prima soluzione delle equazioni di moto, si esprime in termini di
velocità e posizioni e non di forze e accelerazioni (integrale primo del moto)
• Essendo l’energia uno scalare, spesso è di più facile applicazione
• Non contiene tuttavia la soluzione completa del moto, non dà informazioni sulla direzione
della velocità e non contiene esplicitamente il tempo.
http://www.mhhe.com/physsci/physical/jones/ol06-6.htm
• Spesso la soluzione di problemi meccanici può essere ottenuta sfruttando il fatto che
alcune grandezze rimangono costanti (Leggi di Conservazione).
• Nel caso unidimensionale la relazione fra forza ed energia potenziale viene scritta come:
U ( x)
x
dU ( x )
ΔU = ∫ dU = − ∫ F ( x ) dx → F ( x ) = −
dx
U ( x0 )
x0
definizione alternativa di
energia potenziale
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La forza elastica
posizione di riferimento x0
x
U ( x ) − 0 = − ∫ (−kx ) dx = 12 kx 2
0
non dipende dal segno di x
−
dU
d
= − ( 12 kx 2 ) = −kx = F
dx
dx
U(x0)=0
U(x)=max
La forza dall’energia potenziale
• Si allunga la molla di xm con la
massa ferma
E = 0 + 12 kxm2 = 12 mv 2 + 12 kx 2
v=±
k 2
k
xm − x 2 ); x = 0 → v0 = ±
xm
(
m
m
si ottiene la velocità in funzione della posizione
U(x)=max
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La forza di gravità
U(y)=max
y
y
U ( y) − 0 = − ∫ Fy dy = − ∫ (−mg) dy = mgy
0
0
• Si ottiene la forza dall’energia potenziale
−
dU
d
= − (mgy) = −mg = Fy
dy
dy
• Si indica con v0 la velocità verticale del corpo nel punto di
riferimento y0= 0 E = 12 mv 2 + mgy = 12 mv02 + 0
posizione di
riferimento y0
v = ± v02 − 2gy
velocità ad ogni quota y
• Approccio energetico al problema.
(1) Il corpo possiede una energia cinetica K
U(y0)=0
(2) Mentre sale l’energia potenziale corpo-terra cresce e diminuisce
la cinetica
(3) Nel punto più alto tutta l’energia cinetica è diventata potenziale
(4) Durante la caduta avviene il processo inverso
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Conservazione dell’energia meccanica e forza gravitazionale
Metodo eschimese per
vedere in lontananza
http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/Coaster/Coaster.html
http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/roller/roller_coaster.html
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Esempi
Un ascensore di massa m=920 kg si muove dal livello della strada fino all’ultimo piano di un
grattacielo alto 412 m. Quanto vale la variazione dell’energia potenziale del sistema
ascensore-Terra?
ΔU = mgΔy = mgh = ( 920 kg) ( 9,80 ms−2 ) ( 412 m ) = ( 9016 N ) ( 412 m ) = 3, 7 ⋅10 6 J
1kWh = (10 3 W) (3600s) = 3, 6 ⋅10 6 J
• Gli ascensori sono normalmente collegati a contrappesi, di massa circa pari a quella della
cabina più il carico, che scendono quando la cabina sale e salgono quando scende. • In questo modo la maggior parte dell’energia necessaria per fare salire l’ascensore viene
fornita dalla discesa del contrappeso e viceversa.
La molla di un fucile è compressa di d=3,2 cm. Nella canna viene messo un proiettile di 12
g. Con quale velocità esso lascia la canna. (k=7,5 N/cm)
Condizioni iniziali e finali
(vi = 0;
xi = −d )
E = K f +U f = K i +Ui
→
(v
1
2
f
= v; x f = 0 )
mv 2 + 0 = 0 + 12 kd 2
k
750 Nm −1
−1
v=d
= ( 0, 032 m )
=
8,
0
ms
m
12 ⋅10 -3 kg
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Esempi
Sulle montagne russe un carrello carico di passeggeri, spostato lentamente dall’altezza y=25 m,
scivola verso il basso accelerando. Trascurando gli attriti, con quale velocità raggiungerà la base
delle montagne russe?
• A prima vista il problema sembra non risolvibile in quanto non si conosce il profilo della rotaia.
• Il Teorema di Conservazione dell’Energia collega lo stato iniziale a quello finale ed è
indipendente dal percorso intermedio
• In assenza di attrito la guida non fa lavoro sul carrello
E = U f + K f = Ui + K i
E = 0 + 12 mv 2 = mgy + 0
y0=0 base, U(y0)=0
v = 2gy = 2 ( 9,80 ms−2 ) ( 25m ) = 22 ms−1
• E’ la velocità del carrello in caduta libera
• I binari cambiano solo la direzione di v
• E’ indipendente dalla massa del carrello e dei suoi
occupanti
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Esempi
Un praticante di salto con l’elastico, di massa m=61 kg, si trova su un ponte alto 45 m sul
livello del fiume. A riposo la corda elastica ha una lunghezza L=25 m. Se k=160 N/m calcolare
l’altezza inferiore alla quale arrivano i suoi piedi.
E = U grav
+U molla
+ K f = Uigrav +Uimolla + K i
f
f
E = mgh + 12 kd 2 + 0 = mg ( h + d + L ) + 0 + 0
relazione fra stato finale ed iniziale
1
2
kd 2 − mgd − mgL = 0 → d = 17, 9 m
h = 45m − 25m −17, 9 m = 2,1m
Qual è la forza netta sul saltatore nel punto più basso?
F = kd − mg =
= (160 Nm −1 ) (17, 9 m ) − ( 61kg) ( 9,80 ms−2 ) = 2266 N
forza che determina il rimbalzo
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Estensione ai sistemi conservativi bidimensionali e tridimensionali
• La forza F(x,y,z) sia conservativa, quindi il lavoro eseguito per andare da un punto ad un altro
non dipenda dal cammino percorso.
Variazione di Energia
Potenziale U(x,y,z)
Conservazione
dell’Energia
y
z
r
x0
y0
z0
r0
ΔU = − ∫ Fx dx − ∫ Fy dy − ∫ Fz dz = − ∫ F ( r ) ⋅ dr
1
2
mv 2 +U ( x, y, z ) = 12 mv02 +U ( x0 , y0 , z0 )
1
2
Relazione fra la Forza e
l’Energia Potenziale U(x,y,z)
x
mv 2 +U ( x, y, z ) = E
Energia Totale
∂U ∂U ∂U
F (r ) = −
i−
j−
k = −∇U ( x, y, z )
∂x
∂y
∂z
derivata parziale
gradiente di U(x,y,z)
• Il gradiente è un operatore differenziale che trasforma una funzione scalare della posizione in
un vettore dipendente dalla posizione 0 8 - C O N S E R V A Z I O N E
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Conservazione dell’energia per un sistema di particelle
• Il Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica, che comprende l’Energia Cinetica e
l’Energia Potenziale, vale sotto le condizioni seguenti:
(1) Il sistema deve essere isolato
(2) Le forze attive agenti devono essere tutte conservative
(3) Le forze vincolari non devono compiere lavoro
ΔE = ΔK + ΔU = 0;
E = U + K = costante
• Quando un sistema non è isolato ed è sottoposto a forze esterne che compiono lavoro
l’Energia Meccanica Totale non si conserva
ΔE = ΔK + ΔU = Lest ;
" Lest > 0, lavoro entrante ΔE > 0
#
$ Lest < 0, lavoro uscente ΔE < 0
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Sistema formato da molte particelle microscopiche
• Quando un sistema è formato da molte particelle si verifica sperimentalmente che l’energia può essere
immagazzinata, in forma cinetica e potenziale nei moti ed interazioni delle singole molecole.
• Variazioni delle mutue distanze delle molecole ne variano l’energia potenziale, modificazioni delle loro velocità
ne cambiano l’energia cinetica complessiva. Quest’ultima variazione si manifesta tramite cambiamenti della
Temperatura del Sistema (vedi Termodinamica).
• Questa energia microscopica non può essere contabilizzata come energia potenziale e cinetica macroscopica
del sistema.
• Essa viene chiamata complessivamente Energia Interna Eint. L’esperimento permette di verificare che questa
energia viene immagazzinata da tutti i sistemi in modo conservativo.
Sistema
adiabatico
ΔE = ΔU + ΔK + ΔEint = Lest
Il sistema scambia energia solo
tramite lavoro meccanico
• Se il sistema è isolato, non viene trasferito lavoro dall’ambiente e si ottiene una generalizzazione del Teorema di
Conservazione dell’Energia
Energia Totale
ΔE = ΔU + ΔK + ΔEint = 0
E = U + K + Eint = costante
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Diverse definizioni di sistema e ambiente: scambi energetici
solo il blocco
attrito
molla
ΔE = ΔK + ΔEint = Ls + L f
blocco e molla
molla
ΔE = ΔU + ΔK + ΔEint = L f
blocco, molla e attrito
attrito
ΔE = ΔU + ΔK + ΔEint = 0
Energia Totale costante
interna al blocco+tavolo
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Diverse definizioni di sistema e ambiente: scambi energetici
• In presenza di forze non conservative l’Energia Meccanica di un sistema non si conserva ma può diminuire
(dissipazione) o aumentare.
• Si conserva invece sempre l’Energia Totale che comprende oltre a quella Meccanica anche l’Energia Interna
nelle sue diverse forme.
• Questa Legge di Conservazione è di carattere del tutto generale non è mai stata contraddetta
dall’esperienza
aumenta ΔU, l’energia
potenziale gravitazionale
diminuisce ΔEint, nella forma
biochimica
diminuisce ΔU, l’energia
potenziale gravitazionale
aumenta ΔEint della
corda in forma termica
