3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
LA TRIGONOMETRIA
TI quadrilater<], A~CV è inscritto in una circonferenza di raggio S c AC= H. Calcola seno, coseno e tangente
degli angoli B e n supponendo che il vertice 13 si trovi sul
dei due archi di estremi A e C
a
12,
a
h
12
In una circonferenza di raggio 2, la corda AE misura 16
_
Vs. Preso
C sull'arco maggiore AE in modo che
9 '
AC= CE, determina il perimetro del triangolo ABC
.
/"
~C misura 12 l e gli angoli È e é misurano rispettivamente 45° e 105°. Trova poi il perimetro del triangolo.
I; 61CV6 + 2 + 3V2)]
.
4')°.
al c?
"I
H
a!'C'cos-.
17
a? c?
c
60.
a' b?
c
20.
a?
11"
3'
a = ;113,
3
,
4
11"
'Y
6
,
-!-
h?
MODULO
Determina il perimetro del parallelogramma AECD di base AE sapendo che ED =
/\
11"
-!-
AED=;;.
l\.
triangolo ABC si conoScono AB = IO
ACeEC
9
.~ia AEC un triangolo inscritto in una circonferenza. Determina la misura del raggio sapendo che la corda
.
13
)
cotga =
Nel trapezio A13CD inscritto in una circonferenza di raggio 4 calcola AD e l'ampiezza dei quattro angoli del
trapezio sapendo che AB= 4, 13C= 4 \13, CD= 4 V2.
7
.
/\
l\.
/\
A
B
-,C
_
3
arcsen -;:- ,
13
Utilizzando il teorema della corda, trova le misure dei lati ciel triangolo equilatero, del
gemo regolare inscritti in lIna circonferenza di raggio r.
60°,
m, senA
l
_È
_
3
= -;:- e
-::\
cos c = -
3
.
4'
Determma l'angolo E
arc~n-.._
_9_. BC
20'
I\.
e
•
1
24
•
!ah
I
.
Nel triangolo LMN il lato LM è lungo 60 cm e l'angolo MLN ha ampiezza 30°. Sapendo che
senLNM =~, determina l'angolo LMN e gli altri lati del triangolo.
3
5
2rsen (6-TI -
TI
7
0< x< --- v -TI < x<-
+
arcsen
Considera una cir~onferenza di raggio r e una sua corda AE = r. Sul maggiore dei due archi AB prendi un
punto P e poni PEA = x. Determina EP in funzione di x e trova per quali valori di x si ha r< EP< rV2.
triangolo acutangolo PQR sono noti il lato" PQ =
-!-
cm;LN
(\13 + 1)
m, la bisettrice PT = 2 m e l'angolo
11"
Su una se}?icirconferenza di diametro AB= 2rconsidera la corda AC= re sull'arco CE un punto Pvariabile, con PAB= x. Calcola x in modo che il perimetro di ACPE sia 5r. Trova poi l'area del quadrilatero corrispondente al valore di x determinato.
In una semicirconferenza di diametro AB = 2r la corda AC misura rV2. Il punto P, preso sull'arco AC, ha
pròiezione H sul segmento AC e C ha proiezione K sulla tangente in P. Detto x l'angolo CAP, studia la
funzione:
PH
y= CK- V2
- . Determina gli elementi incogniti del triangolo, la sua area e il suo perimetro.
4
-!--TI'
m; S
3 '
12 '
-!-
3)
Il triangolo LMN è ottusangolo in L; sapendo che LM = 19 m, LN = 13 m e che l'altezza relativa al lato LM
è NH = 12 m, calcola il perimetro e l'ampiezza degli angoli.
-!- 12
l\.
L
= arccos
=arcsen--;
Nel triangolo acutangolo ABC la mediana .Ai11 è lunga 80 cm e forma, col lato AB, un angolo di 30°. La
lunghezza del lato EC è 120 cm. Calcola l'area del triangolo.
-!-
[y= rsenx' C3senx- cos
tenendo conto dei limiti del problema.
l\.
Nel triangolo ABC la bisettrice di C interseca AB in P.
A
V2
A
7
Sapendo che PE= 21,13= arctg-- e ACE= arccos
4
9 , calcola l'area del triangolo.
l\.
7
A
La bisettrice NPdel triangolo LMNmisura 40. Determina NM e LP noti LNM= arccos-'- e M= 30°.
25
IL TEOREMA DEI SENI
-!-
Del triangolo ABC sono noti alcuni elementi. Determina ciò che è richiesto.
o
a= 12,
b=9,
13 = 30°.
sena?
Il triangolo ABCha È= 45° e AB= 28V2. La mediana AMmisura 35. Calcola l'area.
a=20,
b=9,
a = 120°.
sen 13?
a= 21,
c= 12,
"1=-.
3
Nel trìangolo ABC i lati AB e EC sono lunghi rispettivamente 50 cm e 80 cm. La tangente di EAC è - - .
l\.
I\.
3
Determina gli angoli E e C, il perimetro e l'area.
3
[È=arcsen 4 1O-!-2
cm;
3)
l\.
11"
sen a? cos 13?
,e
4
LA TRIGONOMETRIA
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Nel triangolo ABC la bisettrice CV misura 8 e forma con la base AB l';mgolo CDB= 60°, Determina DCE
sapendo che:
6,
c
h
et?
,
AC+ CB=24,
/\
3
Nel triangolo ABC la misura di AC è 4 e il coseno dell'angolo A è
Considera il triangolo equilatero ABC e la circonferenza a esso circoscritta di raggio r. Sull'arco AB che
2 e DB
AD
4' Il
punto D divi,de AB nei
I
1, Trova CD, CB e la misura di CM, mediana relativa ad AB
L
4
non contiene C prendi il punto P Calcola ABP in modo che l'area del quadrilatero APBC sia
dell'area
del triangolo equilatero.
3
Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. Considera una corda CI) interna
all'angolo ACB e su CD un punto E tale che AD= DE Dopo aver dimostrato che il triangolo ADE è equilatero, esprimi in funzione di x= ACD il perimetro del triangolo AEC Determina poi per quale valore di x
il perimetro misura (2 + \/3) r.
4
In un parallelogramma due lati' consecutivi misurano 4 e 20 e l'angolo fra essi compreso è a = arcsen -- ,
Calcola le misure dell'area e delle diagonali,
5
La base maggiore AB del trapezio rettangolo ABCD misura 26, il lato obliquo CB misura 5 e B
Determina AC e l'area,
5
arcsen-.
Nel triangolo LMN la lunghezza del lato LM è 6 V21 cm, quella del lato MN è 50 cm e il seno dell'angolo
2
fra essi compreso è ---::-. Determina il raggio della circonferenza circoscritta e l'area del triangolo.
Sono dati i triangoli ABC e ABD, appartenenti allo stesso semipiano rispetto al segmento AB, tali che l'anA
,
AA
1T
.
golo ACB è la meta dell'angolo ADB, CB = 2a, AD = a e CBD = (5' Determma:
;D
j(x) = PC
PB
,
)
A
l
4' Determina il perimetro, l'area e la mediana EM
+8
.
.
/\
Nel triangolo ABC sono noti il lato AB, la bisettrice AT dell'angolo BAC e il segmento BT staccato da tale
bisettrice sul lato BC; le loro lunghezze sono: AE = 6 cm, AT= 6(\13 -1) cm e BT= 3\12(\13 -1) cm.
+
Calcola il perimetro e l'area del triangolo.
-
Considera il segmento AB e nei due semipiani opposti disegna il triangolo ABC con CBA = 2x e CB = 2a e
A
A
1T
il triangolo ABD con BAD = x. I due triangoli sono tali che CBD = _ . Indica con P il punto di intersezio1T
2
ne dei segmenti CD e AB, Sapendo che PCB = (5' determina la misura di AD in funzione di x e calcola
per quali valori di ]C è:
2\13
AD>--a.
('
c)2
I lati AB e AC del triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 24 cm e 20 cm; il coseno dell'angolo fra essi
compreso è -
con P punto di intersezione tra AC e BD e ACB = x. Indipendentemente dalle condizioni geometriche, determina il campo di esistenza di j(x). Calcola poi in quali intervalli di [O; 21Tl si ha j(x);:::: O.
- 2sen
1T
5
7
con O:::;x<(5; C.E.: x*(5+
O:::;x<(5 (5<x:::;6''1T 6-'1T<x:::;
S':l
cn1,
È dato il trapezio isoscele ABCD di cui conosci: la base maggiore AB = 18 cm, i lati obliqui AD = BC = 12 cm
,~
/\
/\
e la diagonale ED = 6 v 7 cm. Determina gli angoli e il perimetro del trapezio. [A = 60°; D
120°; 48
La corda AB di una circonferenza di centro O e raggio r è lunga quanto il lato di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza. Traccia da B la tangente alla circonferenza e prendi su di essa un punto P apparte~
nente al semipiano individuato da AB e contenente o. Poni PB = x. Esprimi:
j(x) = AP2 - AB2 ,
3
rappresenta la funzione nel piano cartesiano e determina per quale valore di x è j(x) =
Il TEOREMA DEl COSENO
+
Del triangolo ABC sono noti alcuni elementi. Determina ciò che è richiesto.
1T
a= 12,
b=6,
"1=-.
c?
b=4\12,
c=20,
1T
a=4'
a?
a=v56,
b= lO,
c=6.
cosa?
a= 12,
b=4V1O,
c=8.
tg f3?
a=8,
c=9,
f3 = arccos -
3
l
3
,
b?
x;::::
4l
o;
r 2,
(2 -
J
Sia ABCD un quadrato di lato 2r. Traccia la circonferenza di diametro AB e considera un punto P appartenente alla semicirconferenza interna al quadrato, ponendo PAB = x. Sia P' il simmetrico di P rispetto ad AB,
Determina la funzione:
j(x) = DP'z - PA2 ,
rappresentala graficamente ed evidenzia la parte del grafico relativa al problema. In tale tratto indica il
massimo e il minimo valore della funzione. Trova per quale valore di x la funzione assume valore massimo.
+ sen
x=
MODULO
