Funzioni lineari

Funzioni lineari
Trova l’espressione esplicita di una funzione lineare
f:R→R tale che f(0)=2 ed f(1)=0
Sol:f(x)=mx+q, q=2, m=-2
La funzione è strettamente decrescente?
Sol:Sì, è strettamente decrescente essendo m<0
Determina per quali valori di x si ha f(x)≥1
Sol: per x≤1/2
Calcola punti e valori minimi e massimi nell’intervallo
[-1, 10]
Sol:Il punto di max è x=-1, con f(-1)=4; il punto di min è
x=10 con f(10)=-18
Calcola il limite per x→-∞ e per x→+∞
Funzioni lineari
Esercizi:
Trova l’espressione esplicita di una funzione lineare
f:R→R tale che la sua inversa sia f-1(y)= 3y-4
Trova l’espressione esplicita di una funzione lineare
f:R→R tale che f(2)=0 e il coefficiente angolare della sua
inversa è -2
Trova l’espressione esplicita di una funzione lineare
f:R→R tale che il suo grafico passa per il punto (0,0) ed è
parallelo alla retta di equazione 2x+y=10
Funzioni lineari
Esercizio:
Per un dato esperimento devi comprare due reagenti A e
B. Un grammo di A costa 5 euro, un grammo di B costa 7
euro. Ti servono almeno 20 g di A e almeno 30 di B.
Nell’armadietto dei reagenti hai 100 cm3 di spazio.
Sapendo che 1 g di A occupa 1 cm3 di spazio e 1 g di B
occupa 2 cm3 di spazio, che ordine devi effettuare per
riempire totalmente i 100 cm3 a tua disposizione e
spendere il meno possibile? Quanto spendi?
Funzioni quadratiche
Scrivi l’espressione esplicita di una funzione quadratica
passante per i punti (-1,0), (1,0) e con lim per x→−∞
uguale a +∞
f(x) = a(x2 - 1) dove a > 0
Scrivi l’equazione di una parabola con la concavità verso
il basso e con vertice (0,10). In quali punti interseca l’asse
x?
b=0, c= 10, a<0, quindi f(x) =ax2 + 10
Intersezioni con asse delle ascisse: x1,2 =±√ ( -10/a)
Funzioni quadratiche
Sia f(x) = 6x - x2 , scrivi l’espressione della funzione g(x)
che ha per grafico il grafico di f(x) traslato di 1 unità a
sinistra e di due verso l’alto.
g(x) = 6(x+1) - (x+1)2 + 2 = - x2 +4x +7
Funzioni quadratiche
Esercizi:
Trova l’espressione esplicita di una funzione quadratica
f:R→R tale che f(1)=1, f(2)=4 e f è una funzione pari.
Trova l’espressione esplicita di una funzione quadratica
f:R→R tale che il suo grafico intersechi l’asse y in (0,2) e
l’asse x in (-2,0) e (1,0)
Trova l’espressione esplicita di una funzione quadratica
f:R→R tale che il vertice della parabola è nel punto (1,-1)
e il grafico di f passa per l’origine.
Funzioni….
Nel piano cartesiano,
evidenziare,
tratteggiando, la
regione di piano
compresa tra le curve
grafico di
f(x) = 4x2 - 7x e
g(x)=x
Funzioni…
Nel piano cartesiano,
evidenziare,
tratteggiando, la
regione di piano
compresa tra le curve
grafico di
f(x) = 2(1-x2 ) e
g(x)= 1 - 2x
Corpi in caduta…
La legge h(t)= -gt2 /2 + h0 descrive come varia la distanza
dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da
un’altezza h0 con una velocità iniziale nulla.
a) Qual è il dominio della funzione h(t)?
Risposta: poiché h(t) rappresenta una distanza, si deve
imporre h(t)≥0, dunque gt2 /2 ≤ h0 da cui t2 ≤ 2 h0 /g, e
quindi 0≤ t ≤ sqr(2 h0 /g)
b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra?
Risposta:il corpo tocca terra se h(t)=0, dunque per t =
sqr(2 h0 /g)
Corpi in caduta…
c) Il tempo che impiega il corpo per toccare terra è una
funzione dell’altezza da cui viene lasciato cadere?
Risposta: Sì, è in funzione di h0
d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere,
quale deve essere l’altezza iniziale?
Risposta: in tal caso h0 = gT2 /2
Corpi in caduta…
La legge h(t)= -gt2 /2 + v0t + h0 descrive come varia la
distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto
cade da un’altezza h0 con una velocità iniziale v0 .
(moto uniformemente accellerato)
(g=9.8 ms-2 accellerazione di gravità)
Se il corpo è lanciato verso l’alto con velocità iniziale di
20m/sec da una altezza di 30 m, determina:
• A che altezza si troverà il corpo dopo un secondo?
Risposta: h(t) = -9.8t2 /2 + 20t + 30 , dunque h(1)= -4.9
+50 = 45.1 m
Corpi in caduta…
• Quale sarà la massima altezza raggiunta dal corpo?
Risposta: Le coordinate del vertice della parabola grafico
di h(t) sono circa (2, 50.4); poiché la parabola ha la
concavità rivolta verso il basso, la quota 50.4 è la
massima altezza che il corpo raggiunge.
• Dopo quanto tempo il corpo toccherà terra?
Risposta:Si pone h(t) = -9.8t2 /2 + 20t + 30 =0 , risolvendo
questa equazione di II grado, si sceglie la radice
positiva, ottenendo t =(10 + sqrt(247))/4.9≈5.25 s
Corpi in caduta…
Siete affacciati alla finestra nell’istante in cui, da un piano
superiore, viene lanciato un vaso di gerani verso il
basso con velocità di 1m/s
Supponendo che il punto da cui comincia a cadere il vaso
sia 4 m al di sopra delle vostre spalle e che le vostre
braccia siano lunghe un metro, quanto tempo avete a
disposizione per afferrare il vaso, ipotizzando che
potete prenderlo solo nell’intervallo di tempo in cui si
trova tra un metro al di sopra e un metro al di sotto
delle spalle?
Corpi in caduta…
Risposta: La distanza tra le spalle e il vaso cambia con la
legge d(t)= -gt2 /2 + v0t + h0 che, in questo caso, è
d(t)= -4.9t2 - t + 4 , dove d è positiva se il vaso è più in
alto delle spalle, negativa se è più in basso. Gli istanti
di tempo in cui è possibile afferrare il vaso sono quelli
per cui sono soddisfatte le disequazioni
-1 ≤ d(t) ≤ 1
La prima disequazione -4.9t2 - t + 4 ≥ -1, è equivalente a
4.9t2 + t - 5 ≤ 0, che ha soluzioni
(-1-sqr(1 +98))/9.8 < t <(-1 + sqr(1+98))/9.8. Poiché t deve
essere positivo la soluzione è 0<t <(-1 +3sqr(11))/9.8
Corpi in caduta…
L’altra disequazione -4.9t2 - t + 4 ≤ 1 è equivalente a
4.9t2 + t -3 ≥ 0, che ha soluzioni t<-(1+sqr(1+58.8))/9.8 e
t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8. Poiché t deve essere positivo,
solo t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8 va bene.
Tenendo conto di entrambe le disequazioni, si ha che
l’intervallo di tempo in cui possiamo afferrare il vaso è
[(-1 + sqr(1+58.8))/9.8, (-1 +3sqr(11))/9.8 ]≈[0.69, 0.91]
Il tempo a disposizione è quindi circa 2.2 decimi di
secondo
Alberi che crescono
Misuri l'altezza di un albero in funzione del tempo.Quando
hai iniziato l'esperimento (t = 0), l'altezza dell'albero era di
1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l’ altezza dell’ albero
era di 1.04 m. Dopo due settimana (t = 2), di 1.10 m.
Supponendo che l'altezza dipenda in modo quadratico dal
tempo,trova la funzione che esprime la crescita dell’albero.
Risposta: Ponendo l’altezza dell’albero h(t) =at2 + bt +c, i
dati assegnati impongono le condizioni
c=1
a+b+1=1.04
4a + 2b +1=1.10, da cui a=0.01, b= 0.03
Alberi che crescono…
Dunque la funzione che esprime la crescita dell’albero è
h(t) =0.01t2 + 0.03t +1
La funzione che hai trovato può rappresentare la crescita
dell'albero anche per tempi precedenti all'inizio della tua
misurazione? A partire da quando? Perchè?
Risposta: Si osserva che 0.01t2 + 0.03t +1 ≥ 0 per ogni t; il
vertice della parabola, grafico di h(t), ha coordinate
(-1.5, 0.9775), la parabola ha la concavità rivolta verso
l’alto. Poiché il fenomeno descritto riguarda la crescita
dell’albero, la funzione h(t) deve essere crescente, quindi
la funzione ha senso anche per t negativi purchè t ≥ -1.5.
Elefanti…
Esercizio:
Vuoi studiare se c’è una relazione tra la lunghezza della
proboscide degli elefanti indiani e la superficie delle loro
orecchie. Hai misurato tre elefanti, ottenendo le seguenti
coppie di dati:
(1 m, 0.36 m2), (0.8 m, 0.25 m2), (1.8 m, 1 m2)
Supponendo che la superficie delle orecchie dipenda in
modo quadratico dalla lunghezza della proboscide, trova la
funzione che esprime questa relazione. Secondo te la
relazione ottenuta è realistica? Perché?