linee di trasmissione e guide d`onda

P11 - LINEE DI TRASMISSIONE E GUIDE D’ONDA
P11.1 – Una linea di trasmissione in coppia coassiale di lunghezza l = 2 km presenta
le seguenti costanti primarie:
R = 40,2 Ω/km; L = 0,26 mH/km; C = 46,2 nF/km; G = 10-5 S/km
La linea è chiusa su un carico ohmico RL = 75 Ω ed è alimentata da un generatore di
segnale sinusoidale a frequenza f = 1 MHz, avente f.e.m. di valore efficace E = 3 V e
resistenza interna puramente ohmica Rg = 75 Ω.
Determinare l’impedenza caratteristica della linea e i valori di tensione, corrente e
potenza all’ingresso della linea e sul carico, nonché i valori della lunghezza d’onda e
della velocità di propagazione del segnale in linea.
Soluzione
Conviene determinare dapprima l’impedenza longitudinale Z e l’ammettenza
trasversale Y per unità di lunghezza di linea:
Z = R + jω L = 40,2 + j 2π ⋅ 106 × 0,26 ⋅ 10 −3 = 40,2 + j 1633,6 (Ω / km)
Y = G + j ω C = 10 −5 + j 2π ⋅ 106 × 46,2 ⋅ 10 −9 = 10 −5 − j 0,29 ( S / km)
ovvero, in modulo e argomento:
Z = 40,2 + 1633,6 = 1634 Ω / km ;
2
2
θ z = arctg
1633,6
= 88,6 o
40,2
θ y = arctg
Y = 10 −10 + 0,29 2 ≅ 0,29 S / km ;
0,29
≅ 90 o
−5
10
Si ha allora, per l’impedenza caratteristica (20.3):
Z0 =
1634
Z
=
= 75 Ω
0,29
Y
;
θ o = arctg
θz − θy
2
≅ 0,7 o
cioè:
Z o = Ro + jX o = 75 cos 0,7 + j 75 senθ ≅ 75 Ω
e per la costante di propagazione:
γ = ZY = 1634 ⋅ 0,29 = 21,8 ;
θγ =
θz + θy
2
= 89,30 o
cioè:
γ = α + jβ = 21,8 cos 89,30 o + j21,8sen89,30 o ≅ 0,266 + j21,8
L’impedenza caratteristica della linea può ritenersi dunque puramente ohmica e di
valore uguale al carico RL ed alla resistenza interna del generatore di segnale. La linea
funziona pertanto in regime progressivo ed al suo ingresso si ha (generatore di resistenza
Ro interna chiuso su Ro):
E 3
= = 1,5V
2 2
V
1,5
Ii = i =
= 0,02A = 20mA
R 0 7,5
Vi =
Pi = Vi I i = 1,5 × 0,02 = 3 ⋅ 10 −2 W = 30 mW
Per determinare le grandezze all’uscita della linea, si applicano le equazioni dei
telefonisti (5.10) che,tenuto presente il valore calcolato per la costante di attenuazione
della linea:
α = 0,266 N / km
forniscono i seguenti valori di tensione della linea:
VL = Vi e − αl = 1,5e −0, 266⋅2 = 0,88V
I L = I i e −αl = 0,02 e −0, 266⋅ 2 = 1,17 ⋅ 10 −2 A = 11,7 mA
PL = VL I L = 0,88 × 1,17 ⋅ 10 −2 = 1,03 ⋅ 10 −2W = 10,3 mW
Il rendimento di trasmissione, inteso come rapporto tra la potenza assorbita dal carico
e la potenza uscente dalla linea ed incidente sul carico, è unitario, perché la linea
funziona in regime progressivo e quindi non vi è riflessione in corrispondenza del carico.
Il rendimento di propagazione, invece,è minore di 1 a causa della dissipazione di
potenza lungo la linea:
PL 10,3
=
= 0,34
Pi
30
Si può osservare che l’inverso di η p corrisponde al quadrato dell’attenuazione che
ηp =
l’onda di tensione e quella di corrente subiscono nel propagarsi lungo la linea. Si ha
infatti:
α l[ N ] = 0,266 × 2 = 0,532 N
αl = e 0,532 ≅ 1,7
1
1
= 2 ≅ 0,34
2
(αl) 1,7
Per quanto riguarda infine la lunghezza d’onda e la velocità di propagazione del
segnale in linea, dal valore calcolato della costante di fase:
β = 21,8 rad / km = 21,8 ⋅ 10−3 rad / m
si risale, in base alla (20.10), al valore della lunghezza d’onda:
λ=
2π
β
=
2π
≅ 288 m
21,8 ⋅ 10− 3
e da questo alla velocità di propagazione,in base alla (20.11):
u = λf = 288 ⋅ 10 6 = 2,88 ⋅ 10 8 m / s
Il fattore di velocità della linea risulta prossimo all’unità:
kv =
c
3 ⋅ 10 8
=
= 1,04
u 2,88 ⋅ 10 8
il che significa che nella coppia coassiale considerata l’isolante in cui si propaga l’onda
e. m. del segnale ha una costante dielettrica relativa pressoché unitaria,come accade ad
esempio per la coppia coassiale normalizzata D/d = 9,5/2,6 nella quale il conduttore
interno è centrato mediante dischetti anulari di polietilene, inseriti a clip ad opportuna
distanza fra loro, cosicché l’isolante della coppia è costituito prevalentemente da aria.
Si può verificare la correttezza dei calcoli eseguiti, controllando l’eguaglianza:
LC = µε
fra il prodotto delle costanti primarie L e C della linea ed il prodotto fra la permeabilità
magnetica µ e la costante dielettrica ε dell’isolante; le dimensioni di tali prodotti sono
quelle dell’inverso di una velocità al quadrato, e cioè s2/m2 se si esprimono L e µ in H/m,
e C ed ε in F/m.
Per il prodotto LC si ottiene:
LC = 0,26 ⋅ 10−6 ⋅ 46,2 ⋅ 10 −12 ≅ 1,2 ⋅ 10−17 s 2 / m 2 .
Per il prodotto µε assumendo µr=1 (assenza di materiale ferromagnetico
nell’isolante), dalle relazioni:
u=
c
kv ;
u=
c
εr
si trae:
e quindi:
ε r = k 2v = 1,04 2 = 1,08
εµ = ε o ε r µ o = 8,859 ⋅ 10 −12 ⋅ 1,08 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ≅ 1,2 ⋅ 10 −17 s2/m2
Risulta quindi verificata l’uguaglianza sopra indicata.
_______________________________________________________________
P11.2 – Una linea di trasmissione senza perdite, con impedenza caratteristica Ro = 75
Ω, è chiusa su un carico di impedenza Z L = 15 + j45 . Se λ è la lunghezza d’onda del
segnale trasmesso, determinare il coefficiente di riflessione sul carico, il rapporto
d’onda stazionaria e l’impedenza di ingresso all’origine della linea, nei due seguenti
casi in cui la lunghezza della linea è:
a) l = 10,55 λ
b) l = 10,75 λ
Soluzione
I valori del coefficiente di riflessione e del rapporto d’onda stazionaria dipendono
solo dall’impedenza di carico Z L , in rapporto al valore dell’impedenza caratteristica R0
della linea, e sono perciò gli stessi per entrambi i casi a) e b) considerati.
Precisamente, detta z L l’impedenza di carico “normalizzata” rispetto ad R0
zL =
Z L 15 + j45
=
= 0,2 + j0,6
R0
75
dalla relazione generale (20.19) si ottiene, per il coefficiente di riflessione della tensione
in corrispondenza del carico:
K LV =
ZL − Z0 z L − 1 0,2 + j0,6 − 1
=
=
= −0,334 + j0,667
ZL + Z0 z L + 1 0,2 + j0,6 + 1
ovvero, in modulo e fase:
K LV = 0,334 2 + 0,667 2 = 0,746
0,667
Ψ = arctg
(− 0,334) =-63,4o
Ciò significa che l’onda di tensione riflessa in corrispondenza del carico ha
un’ampiezza pari al 74,6% di quella dell’onda diretta, ed è sfasata rispetto a questa di
63,4 gradi in ritardo.
Spostandosi dal carico verso il generatore di segnale,le ampiezze dell’onda diretta e
dell’onda riflessa rimangono costanti,nell’ipotesi di linea senza perdite,ma la loro fase
relativa varia con continuità lungo la linea (perché le due onde si propagano in sensi
opposti), dando luogo ad un regime stazionario, con ventri di massima ampiezza del
segnale risultante nei punti in cui le due onde si trovano in fase,e nodi di minima
ampiezza del segnale risultante nei punti in cui queste si trovano in opposizione di fase.
Il rapporto tra ampiezza massima e minima definisce il ROS, dato in base alla (20.26)
da:
ROS =
1 + K LV 1 + 0,746
=
= 6,87
1 − K LV 1 − 0,746
Per quanto riguarda l’impedenza di ingresso della linea, vista dal generatore, si
applica la (20.25):
d
λ
Zd = R 0
d
R 0 + jZ L tg 2π
λ
Z L + jR 0 tg 2π
ponendo d uguale all’intera lunghezza l della linea:
a) per l = 10,5 λ si ha:
tg(2π ⋅ 10,5) = 0
e quindi si ottiene:
Z l = R0
ZL
= Z L = 15 + j 45
R0
La linea è “trasparente” rispetto al carico, perché contiene un numero intero di mezze
lunghezze d’onda.
b) per l = 10,75 λ si ha:
ctg(2π ⋅ 10,75) = 0
e quindi si ottiene:
l
+ jR 0
R2
75 2
λ
Zl = R 0
= 0 =
l
Z 15 + j45
R 0 ctg 2π + jZ L
λ
Z 0 ctg 2π
La linea è un “trasformatore in quarto d’onda”, perché contiene un numero intero
dispari di quarti di lunghezza d’onda. Nel nostro caso si ottiene:
75 2
75 2 (15 − j45)
Zl =
=
= 37,5 − j112,5
15 + j45
15 2 + 45 2
L’impedenza del carico Z L , di tipo induttivo e di valore:
Z L = 15 2 + 45 2 = 47,43
viene vista dal generatore come un’impedenza di tipo capacitivo, di valore:
corrispondente a :
Z l = 37,52 + 112,52 = 118,58 Ω
Zl =
R02
752
=
= 118,58 Ω
Z L 47,43
___________________________________________________________
P11.3 – Una linea di trasmissione senza perdite in coppia coassiale, avente impedenza
caratteristica R0 = 50Ω, è chiusa su un carico puramente ohmico RL = 25Ω. Il segnale
da trasmettere ha frequenza f = 200 MHz; la linea è lunga l = 2,25 m ed è caratterizzata
da un fattore di velocità (rapporto tra velocità di propagazione libera e velocità di
propagazione guidata) kv =1,52.
Determinare:
a) la costante dielettrica dell’isolante della coppia coassiale;
b) il rapporto d’onda stazionario del regime di propagazione;
c) la distanza dal carico del primo ventre di tensione, e il numero dei ventri di tensione
presenti lungo la linea in regime stazionario;
d) l’impedenza di ingresso misurabile a distanza d = 1 m dal carico, e quella vista dal
generatore di segnale;
e) il rendimento di trasmissione,inteso come rapporto tra la potenza assorbita dal carico
e la potenza associata all’onda incidente diretta sul carico stesso.
Soluzione
a) Costante dielettrica
Dalla relazione (20.23) che lega la velocità di propagazione del segnale lungo la linea
a quella nello spazio libero, in funzione delle caratteristiche elettriche in cui ha sede la
propagazione dell’onda elettromagnetica associata al segnale:
u=
c
µrεr
si può ricavare la costante dielettrica relativa (supponendo unitaria la permeabilità
magnetica relativa):
εr =
c2
= k 2v = 1,52 2 = 2,31
u2
valore tipico del polietilene, usato come isolante in molte coppie coassiali in alta
frequenza.
Il valore assoluto si ottiene moltiplicando εr per la costante dielettrica εo del vuoto:
ε = ε r ε o = 2,31 × 8,85 ⋅ 10 −12 ≅ 2 ⋅ 10 −11 F / m = 20 pF / m
b) Rapporto d’ onda stazionaria
Per calcolare il ROS occorre conoscere l’entità della riflessione che il segnale
subisce in corrispondenza del carico, a causa della diversità dei valori di RL e Ro.
Possiamo partire dalla relazione generale (20.19) che esprime il valore complesso del
coefficiente di riflessione della tensione sul carico:
Z L − Z o 25 − 50
1
= − − j0
=
3
Z L + Z o 25 + 50
Il segno negativo della parte reale di K LV e la mancanza della parte immaginaria,
K LV =
esprimono il fatto che in corrispondenza del carico l’onda di tensione riflessa è in
opposizione di fase rispetto all’onda diretta, per cui in tale punto si ha un nodo di
tensione.
In base alla (20.26), poiché il modulo del coefficiente di riflessione è pari a 1/3, il
rapporto d’onda stazionaria risulta:
ROS =
1 + K LV 1 + 1 / 3
=
=2
1 − K LV 1 − 1 / 3
Più direttamente, quando il carico di una linea senza perdite è puramente ohmico, il
valore del ROS si può determinare calcolando il rapporto RL/Ro, se RL/Ro, o il rapporto
Ro/RL, se, come nel nostro caso, RL<Ro (v. Probl. 20.2 del testo). Si ottiene infatti:
ROS =
c) Ventri di tensione
R o 50
=
=2
R L 25
La distanza del primo ventre di tensione dal carico si può calcolare mediante la
(20.32), in funzione dell’argomento Ψ del coefficiente di riflessione,che nel nostro caso è
pari a 180o (ovvero π radianti):
dv =
λΨ λπ λ
=
=
4π 4π 4
Movendosi verso il carico, i successivi punti di ventre si trovano distanziati di λ/2 fra
loro, con λ dato da:
Si ha dunque:
u
c
3 ⋅ 10 8
λ= =
=
= 1m
f k v f 1,52 ⋅ 200 ⋅ 10 6
dv =
λ 1
= = 0,25m
4 4
e il numero complessivo dei punti di ventre di tensione presenti lungo la linea in regime
stazionario può essere calcolato con la seguente relazione:
l − dv 

n = 1 +  INT ≤

λ/2 

in cui si è indicato con INT ≤ x il numero intero uguale a x o più prossimo ad esso per
difetto: Si ottiene:
n = 1 + INT ≤
2,25 − 0,25
=5
0,5
ventri
compreso il punto di ventre in cui viene a trovarsi il generatore, posto a distanza di due
intere lunghezze d’onda dal primo ventre.
d) Impedenza di ingresso
A distanza d = 1 m dal carico,essendo:
tg 2π
d
1
= tg 2π = 0
λ
1
l’impedenza di ingresso della linea risulta, in base alla (20.25):
Z d = Ro
RL + jRotg 2π
Ro + jRLtg 2π
d
λ = R RL = R = 25 Ω
o
L
d
λ
Ro
Allo stesso risultato si perviene osservando che nel punto a distanza di 1m dal
carico c’è un nodo di tensione, per cui la Zd è puramente ohmica ed assume il valore
minimo espresso dalla (20.34). Si ottiene infatti:
Z d = Rm =
Ro
50
=
= 25 Ω
ROS
2
Nel punto di origine della linea, dove è applicato il generatore di segnale, è
presente invece un ventre di tensione, per cui è valida la (20.37), che fornisce:
Z l = R M = R o ⋅ ROS = 50 ⋅ 2 = 100Ω
e) Rendimento di trasmissione
Il rendimento di trasmissione di una linea senza perdite dipende dal valore del
coefficiente di riflessione, variando tra 1, nel caso di linea in regime progressivo, a zero
nel caso di linea con carico che non assorbe potenza (linea in corto circuito o a circuito
aperto, o con carico puramente reattivo). Nel nostro caso, applicando la (5.45) si ottiene:
η = 1 − K 2LV = 1 −
1
= 0,89
32
In luogo del rendimento η, spesso si considera il suo inverso espresso in decibel ed
indicato come perdita per disadattamento (ML, Mismatch Loss):
ML(dB ) = 10 log
1
η
= −10 logη = −10 log 0,89 = 0,5 dB
_____________________________________________________________
P11.4
– Si vuole fare il bilancio energetico di un sistema costituito da una linea di
trasmissione alimentata da un segnale sinusoidale di valore efficace Vi = 4V e frequenza
f =130 Mz, e chiusa su un carico ohmico RL= 50 Ω. La linea, lunga l = 30λ (con λ
lunghezza d’onda del segnale in linea) ha impedenza caratteristica Ro = 75 Ω e
presenta un fattore di velocità (rapporto tra velocità di propagazione libera e guidata) kv
= 1,54 ed una costante di attenuazione α = 4,6·10-3 N/m.
Soluzione
All’atto dell’applicazione del segnale all’ingresso della linea, nasce un’onda di
+
tensione di ampiezza,in valore efficace, Vi = 4V , a cui si associa un’onda di corrente di
ampiezza:
I i+ =
Vi+
4
=
= 5,33 ⋅ 10 − 2 A
R o 75
in fase con l’onda di tensione, dato il carattere puramente ohmico dell’impedenza
caratteristica della linea.
La potenza immessa in linea vale pertanto:
Pi + = Vi + I i+ = 4 × 5,33 ⋅ 10 −2 = 0,21 W
Nella propagazione lungo l’intera linea il segnale subisce un’attenuazione, espressa in
neper da:
A[ N ] = αl = 4,6 ⋅ 10−3 ⋅ 30λ
con λ dato da:
λ=
c
kf f
=
3 ⋅ 108
= 1,5 m
1,54 × 130 ⋅ 106
Si ottiene:
A[ N ] = 4,6 ⋅ 10−3 × 30 × 1,5 = 0,207 N
ovvero in decibel, ricordando la (25.5):
A[ dB ] ≅ 8,69 A[ N ] = 8,69 × 0,207 ≅ 1,8 dB
corrispondente ad un rapporto di tensioni:
Vi+
= 101,8 / 20 = 1,23
+
VL
L’ampiezza dell’onda di tensione incidente sul carico vale quindi:
VL+ =
Vi +
4
=
= 3,25 V
1,23 1,23
e quella dell’onda di corrente:
I i+
5,33 ⋅ 10 −2
I =
=
4,33 ⋅ 10 − 2 A
1,23
1,23
+
L
Pertanto la potenza del segnale incidente sul carico vale:
PL+ = VL+ I L+ = 3,25 ⋅ 4,33 ⋅ 10−2 = 0,14 W
A causa del disadattamento di impedenze tra linea e carico ( R o = 75Ω ≠ R L = 50Ω ), in
corrispondenza del carico si produce riflessione delle onde di tensione e di corrente, in
misura dipendente dal coefficiente di riflessione sul carico, dato per l’onda di tensione
dalla (20.19):
K LV =
Z L − Z o 50 − 75
= −0,2
=
Z L + Z o 50 + 75
Il segno negativo nella parte reale di K LV e la mancanza della parte immaginaria,
indicano che l’onda riflessa di tensione in corrispondenza del carico è in opposizione di
fase con l’onda diretta. In tal modo il rapporto fra la tensione totale sul carico:
VL = VL+ − 0,2VL+ = 0,8 × 3,25 = 2,6 V
e la corrente totale:
I L = I L+ + 0,8I L+ = 1,2 × 4,33 ⋅ 10−2 = 5,2 ⋅ 10−2 A
fornisce:
VL
2,6
=
= 50Ω = R L
I L 5,2 ⋅ 10 −2
+
La potenza PL assorbita dal carico è la differenza fra la potenza incidente PL e quella
riflessa data da:
PL− = VL− I −L = K LV VL+ ⋅ K LV I +L = K 2LV PL+
Si ottiene pertanto:
(
)
(
)
2
PL = PL+ − PL− = PL+ 1 − K LV
= 0,14 1 − 0,2 2 = 0,13 W
+
Il rapporto fra la potenza PL uscente dalla linea ed incidente sul carico, e la potenza
Pi+ immessa all’ingresso della linea definisce il rendimento di propagazione della linea:
PL+ 0,14
ηp = + =
≅ 0,66
0,21
Pi
Tale rendimento dipende dalla dissipazione di potenza lungo la linea e corrisponde
all’inverso dell’attenuazione di potenza, pari al quadrato dell’attenuazione di tensione o
di corrente:
1
(αl)
2
=
1
≅ 0,66
1,23 2
+
Il rapporto fra la potenza PL assorbita dal carico e la potenza PL incidente sul carico
stesso, definisce invece il rendimento di trasmissione:
η=
PL 0,13
=
≅ 0,93
PL+ 0,14
mentre il suo inverso, espresso in unità logaritmiche, fornisce la perdita per
disadattamento, indicata con ML (Mismatch Loss):
ML(dB ) = 10 log
1
η
= −10 logη = −10 log 0,93 = 0,38 dB
Infine il prodotto dei due rendimenti η p e η fornisce il rendimento di trasferimento
complessivo del sistema linea-carico, che tiene conto sia delle perdite per dissipazione
lungo la linea che della riflessione per disadattamento delle impedenze fra linea e carico:
ηt = η pη = 0,66 × 0,93 = 0,61
ovvero:
η t % = 100
PL
0,13
= 100
= 61%
+
0,21
Pi
__________________________________________________________
P11.5
– Sia data una linea di trasmissione caratterizzata da una resistenza
caratteristica Ro = 300 Ω e da un fattore di velocità kv = 1,5. Si vuole realizzare
l’adattamento di impedenza tra la linea ed un carico RL, utilizzando un trasformatore in
quarto d’onda avente lunghezza lt = 25 cm e impedenza caratteristica Ro*= 150 Ω.
Determinare il valore della resistenza di carico e quello della frequenza a cui si ha
l’adattamento.
Soluzione
La resistenza caratteristica Ro* del trasformatore in quarto d’onda deve essere la
media geometrica fra la resistenza caratteristica Ro della linea e la resistenza RL:
R *o = R o R L
Da questa relazione è possibile ricavare il valore di RL, dato da:
RL =
R *o2 150 2
=
= 75Ω
Ro
300
Per quanto riguarda la frequenza del segnale a cui si verifica l’adattamento
d’impedenza, posto:
λ = 4lt = 4 × 0,25 = 1 m
dalla relazione che lega la lunghezza d’onda alla velocità di trasmissione ed alla
frequenza del segnale in linea:
λ=
u
c
=
f k vf
si ricava:
f =
c
kv λ
=
3 ⋅ 108
= 2 ⋅ 108 Hz = 200 MHz
1,5 ⋅ 1
Questo è in realtà il più piccolo dei valori di frequenza a cui si determina
l’adattamento d’impedenza fra la linea assegnata ed il carico RL = 75 Ω. Altri possibili
valori sono i multipli dispari di 200 MHz, in corrispondenza dei quali il tratto di linea
lungo lt = 25cm del trasformatore risulta sempre in quarto d’onda, a meno di un numero
intero di mezze lunghezze d’onda, che sono “trasparenti” al segnale.
_______________________________________________________________
P11.6 – Una linea in alta frequenza, priva di perdite, con impedenza caratteristica
Ro=75 Ω e con isolante avente costante dielettrica relativa εr=2,25, deve alimentare,alla
frequenza f = 400 MHz, un carico di impedenza ZL = (50 + j100 ) Ω .
Volendo ottenere l’adattamento di impedenza mediante uno stub in parallelo al
carico ed un trasformatore in quarto d’onda fra linea e carico, si calcoli la lunghezza ls
dello stub, realizzato con un tronco di linea in corto circuito avente le stesse
caratteristiche della linea assegnata, nonché l’impedenza caratteristica Ro* e la
lunghezza lt del trasformatore in quarto d’onda.
Soluzione
All’impedenza Z L de carico corrisponde l’ammettenza:
Y L = G L + jB L =
1
1
=
= 4 ⋅ 10 −3 − j8 ⋅ 10 −3
Z L 50 + j100
L’ammettenza di ingresso, puramente suscettiva, dello stub in corto circuito,
ricavabile dalla (20.27):
Yc = − j
l
1
ctg 2π s
Ro
λ
deve essere uguale ed opposta alla suscettanza del carico, affinché nel parallelo la loro
somma si annulli:
−j
l
1
ctg2π s = j8 ⋅ 10 −3
75
λ
con:
u
c
3 ⋅ 10 8
λ= =
=
= 0,5
f f ε r 400 ⋅ 10 6 2,25
avendo posto u = c / ε r in base alla (20.23)., nell’ipotesi di µr = 1.
Si ottiene l’equazione in ls:
ctg 2π
ls
= 75 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 = −0,6
0,5
o anche:
tg 2π
ls
1
=−
= −1,667
0,5
0,6
da cui si ricava (la funzione tangente è periodica con periodo di π radianti, e conviene
scegliere la soluzione più piccola non negativa):
ls =
0,5
[arctg (− 1,667 ) + π ] = 0,168 m = 16,8 cm
2π
Con l’introduzione dello stub il carico visto dalla linea diventa una resistenza pura di
valore pari a:
1
1
=
= 250 Ω
GL 4 ⋅ 10− 3
RL' =
e quindi, per realizzare il completo adattamento di impedenza tra linea e carico,è
necessario interporre un trasformatore in λ/4 realizzato con un tratto di linea senza
perdite di lunghezza:
lt =
λ
4
=
0,5
= 0,125 m = 12,5 cm
4
e con impedenza caratteristica Ro* pari alla media geometrica fra la nuova resistenza di
carico RL’ e l’impedenza caratteristica Ro della linea assegnata:
Ro* = RL' Ro = 250 × 75 ≅ 137 Ω
Si osservi che, una volta realizzato l’adattamento di impedenza, la linea funziona in
regime progressivo, poiché l’onda riflessa dal carico Z L viene “intrappolata” nei pressi
del carico, lungo i tratti di linea costituenti lo stub e il trasformatore in quarto d’onda. Di
questi ultimi,il tratto relativo allo stub funziona in regime stazionario puro (KLV = 1;
ROS = ∞), mentre quello del trasformatore in quarto d’onda è sede di un regime
stazionario con caratteristiche dipendenti dalle impedenze da adattare, perché da queste
'
*
dipendono i valori delle resistenze R L e R o che interessano il trasformatore. Nel nostro
caso ad esempio, si ha, per il trasformatore in λ/4:
K *LV =
R 'L − R *o 250 − 137
= 0,292
=
R 'L + R *o 250 + 137
ROS* =
1 + K *LV 1 + 0,292
= 1,8
=
1 − K *LV 1 − 0,292
_____________________________________________________________
P11.7 - La guida d’onda rettangolare normalizzata WR90 ha le dimensioni trasversali
interne a = 22,86 mm, b=10,16 mm, con dielettrico aria secca (εr = 1). Nell’ipotesi di
assenza di perdite sulle pareti, determinare: le frequenze di taglio dei primi cinque modi
di propagazione,, le lunghezze d’onda libera e in guida, la velocità di fase e di
gruppo per una frequenza f = 10,2 GHz.
Soluzione
Le lunghezze d’onda di taglio per un generico modo trasverso-elettrico TEmn o
trasverso-magnetico TMmn di una guida rettangolare sono tutte espresse dalla formula
(24.4):
λc =
2
2
m n
  + 
 a  b
2
nella quale gli indici m,n assumono tutti i possibili valori interi, con l’esclusione dei
valori m = 0, n = 0 per i modi TM.
Nella guida d’onda assegnata avente un rapporto fra le dimensioni interne:
b 10,16
=
= 0,44 < 0,5
a 22,86
la successione dei primi cinque modi di propagazione, ordinati per valori decrescenti
delle lunghezze d’onda di taglio, e quindi per valori crescenti delle frequenze di taglio, è
la seguente:
1)
TE10:
λc =
fc =
2)
2
2
1
  +0
a
= 2a = 2 × 22,86 = 45,72 mm
3 ⋅ 108
3 ⋅ 108
=
= 6,5617 ⋅ 109 Hz = 6,5617 GHz
λc
45,72 ⋅ 10− 3
TE20:
λc =
2
2
2
  +0
a
= a = 22,86 mm
La lunghezza d’onda di taglio è la metà di quella del modo TE10, e quindi la
frequenza di taglio è il doppio:
f c = 2 × 6,5617 = 13,1233 GHz
3)
TE01:
λc =
fc =
2
1
0+ 
b
2
= 2b = 2 × 10,16 = 20,32 mm
3 ⋅ 108
3 ⋅ 108
=
= 1,4764 ⋅ 1010 Hz = 14,7640 GHz
−3
λc
20,32 ⋅ 10
4), 5) TE11, TM11:
2
λc =
1
1
+ 2
2
a
b
fc =
3 ⋅ 108
λc
=
2ab
=
a +b
2
2
=
2 × 22,86 × 10,16
22,862 + 10,16 2
= 18,57 mm
3 ⋅ 108
= 1,6155 ⋅ 1010 Hz = 16,1550 GHz
18,57 ⋅ 10− 3
Alla frequenza f = 10,2 GHz si propaga soltanto il modo TE10, perché i successivi
modi di propagazione hanno frequenza di taglio superiore a 10,2 GHz, e quindi si ha,
esprimendo le lunghezze in centimetri:
a)
Lunghezza d’onda libera
E’ la lunghezza d’onda relativa alla propagazione nello spazio dell’onda e. m. alla
frequenza considerata.
λ=
b)
3 ⋅ 1010
c
=
= 2,9412 cm
f 10,2 ⋅ 109
Lunghezza d’onda in guida e velocità di gruppo
Si applica la (24.7) che fornisce:
λg =
λ
 λ
1 − 
 λc



2
=
2,9412
 2,9412 
1− 

 4,572 
2
= 3,8417
cm
Si ottiene λg > λ, perché la velocità di propagazione ug dell’energia associata all’onda
elettromagnetica lungo l’asse longitudinale z della guida (detta velocità di gruppo) è
minore della velocità libera, a causa delle successive riflessioni dell’onda lungo le pareti
laterali della guida:
ug = c
λ
2,9412
= 3 ⋅ 10 8
= 2,2968 ⋅ 10 8 m / s
λg
3,8417
c)
Velocità di fase
E’ data dal prodotto della frequenza dell’onda e. m. per la lunghezza d’onda in guida:
u f = f ⋅ λg = 10,2 ⋅ 109 × 3,8417 ⋅ 10−2 = 3,9185 ⋅ 108 m / s
Si ottiene un valore maggiore della velocità della luce (velocità di propagazione
dell’energia elettromagnetica nel vuoto), ma si tratta di una velocità di tipo “geometrico”,
non “energetico”.
Il prodotto della velocità di fase per la velocità di gruppo deve coincidere in ogni caso
con il quadrato della velocità della luce; si ha infatti:
(
u g u f = 2,968 ⋅ 108 ⋅ 3,9185 ⋅ 108 = 9 ⋅ 1016 = 3 ⋅ 10 8
)
2
= c2
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P11.8 - Una guida d’onda rettangolare ha le dimensioni trasversali esterne 25,4X127 mm
e spessore delle pareti 1,27 mm. Determinare:
a) la lunghezza d’onda e la frequenza del segnale a più bassa frequenza che può
propagarsi nella guida d’onda considerata;
b) la frequenza di taglio per i modi di propagazione TE11 e TM11;
c)i possibili modi di propagazione per un segnale a frequenza f = 16,5 GHz .
Inoltre, per un segnale a frequenza f = 10 GHz, nel caso di guida d’onda lunga l = 41
cm, chiusa su un carico resistivo RL = 600Ω, determinare:
d) l’impedenza caratteristica della guida d’onda;
e) l’impedenza di ingresso;
f) il rendimento di trasmissione.
Soluzione
Sottraendo alle dimensioni trasversali esterne il doppio dello spessore delle pareti
delle guide d’onda, si ottengono le dimensioni interne:
a = 25,4 − 2 × 1,27 = 22,86 mm ;
b = 12,7 − 2 × 1,27 = 10,16 mm
corrispondenti a quelle della guida WR90 considerata nel problema precedente.
a)
I valori di λ ed f richiesti sono quelli di taglio del modo di propagazione
fondamentale T10, e cioè:
λc10 = 2a = 2 × 22,86 = 45,72 mm
f c10 =
c
λc
=
3 ⋅ 10 8
= 6,562 GHz
45,72 ⋅ 10 −3
b) Per i modi di propagazione TE11 e TM11, ponendo m = 1, n = 1, nella (24.4) si
ottiene:
λc11 = 2ab a 2 + b 2 = 2 × 22,86 × 10,16 22,86 2 + 10,16 2 = 18,57 mm
e quindi:
f c11 =
c
λc
=
3 ⋅ 10 8
= 16,16 GHz
18,57 ⋅ 10 −3
c) Si ha:
f = 16,50 GH z > 16,16 GH z
e pertanto per il segnale considerato sono possibili tutti i modi di propagazione,
compatibili con le condizioni ai limiti, fino a TE11 e TM11, e cioè:
TE10, TE20, TE01, TE11, TM11
d) Alla frequenza di 10 GHz è possibile solo il modo di propagazione TE10, in
corrispondenza del quale l’impedenza caratteristica della guida assume il valore dato
dalla formula (24.8):
Rog =
377
λ
1 −  
 λc 
2
377
=
 3 ⋅ 10


1 − 
−3 
 45,72 ⋅ 10 
−2
2
≅ 500 Ω
essendo:
c 3 ⋅ 10 8
= 3 ⋅ 10 − 2 m
λ= =
9
f 8 ⋅ 10
la lunghezza d’onda libera corrispondente alla frequenza considerata.
e) L’impedenza d’ingresso della guida d’onda si calcola con la formula (20.25) già nota
dalla teoria delle linee di trasmissione:
d
λ
Zd = R o
d
R o + jZ L tg 2π
λ
Z L + jR o tg 2π
ponendo al posto di λ il valore della lunghezza d’onda in guida, dato dalla (24.7):
λg [cm] =
λ
λ
1 −  
 λc 
2
=
3
 3 
1− 

 4,572 
2
= 3,98 cm
Essendo:
Ro = 500 Ω; RL = 600 Ω; d = l = 41 cm;
tg 2π
d
41
= tg 2π
= −2,98
λg
3,98
si ottiene:
Z L = 500
600 − j 500 × 2,98
= 430 + j 47,56
500 − j 600 × 2,98
f) Il rendimento di trasmissione della guida d’onda dipende dall’entità della riflessione di
potenza che si determina in corrispondenza del carico a causa del disadattamento di
impedenza. Nel nostro caso il disadattamento è modesto e quindi il rendimento è
prossimo all’unità. Si ha infatti:
K LV =
R L − R o 600 − 500
=
= 0,091
R L + R o 600 + 500
η = 1 − K 2LV = 1 − 0,0912 ≅ 0,99
con una perdita per disadattamento (Mismatch Loss):
ML(dB ) = −10 logη = −10 log 0,99 = 0,044 dB
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