INTRODUZIONE AI BIPOLI
1.
Funzioni e operatori
Le funzioni sono leggi matematiche che associano ad ogni elemento di un insieme X
(dominio) un elemento di un insieme Y (codominio). Ad esempio
f : x → sin ( x + 2 )
è una funzione.
Gli operatori sono leggi matematiche che associano ad una funzione un’altra funzione; ad
esempio
∂ f ( x )
T : f ( x) →
∂x
è un operatore; osserviamo che, in generale, un operatore può anche associare ad una
funzione di una certa variabile una funzione di una differente variabile (le trasformate e le
antitrasformate di Laplace e Fourier sono esempi notevoli di tale tipo di operatori). Nel
caso più semplice la funzione di ingresso e la funzione di uscita dell’operatore sono
funzioni di una variabile e ad un valore; nel caso più generale entrambe sono funzioni di
più variabili e a più valori.
2.
Segnali, sistemi e operatori associati a sistemi
Un segnale è una qualsiasi grandezza fisica (chimica,…) che evolve nel tempo; i segnali
sono quindi funzioni che hanno come dominio il tempo e come codominio l’insieme di tutti
i valori che possono essere assunti dalla grandezza fisica (chimica,…) associata al segnale.
Esempi di segnali sono: la differenza di potenziale tra due nodi di un circuito, la velocità di
un autoveicolo, la temperatura di un oggetto, la posizione di una manopola,…
I sistemi trasformano uno o più segnali di ingresso in uno o più segnali di uscita; la
1
trasformazione operata da un sistema è descritta matematicamente da un operatore; ad
esempio un forno può essere schematizzato come un operatore
Z : x (t ) → y (t )
che associa alla posizione di una manopola (segnale x(t)) la temperatura interna (segnale
y(t)).
L’operatore associato ad un sistema fisico trasforma un segnale (cioè ad una funzione del
tempo) in un altro segnale (cioè un’altra funzione del tempo).
3.
Proprietà dei sistemi e degli operatori: linearità,
tempo invarianza e causalità
Un sistema descritto dall’operatore Z è lineare se e solo se per ogni coppia di numeri reali
c1 e c2 e per ogni coppia di funzioni x1(t) e x2(t) appartenenti al dominio dell’operatore Z si
ha
Z c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) = c1Z x1 ( t ) + c2 Z x2 ( t )
Le funzioni x1(t), x2(t), Z[x1(t)] e Z[x2(t)] sono, nel caso generale, funzioni a più valori, ma
sono comunque (per le definizioni di sistema e di segnale) funzioni di una sola variabile t
(tempo).
Un sistema descritto dall’operatore Z è tempo invariante se e solo se per ogni intervallo di
tempo t0 e per ogni funzione x(t) appartenente al dominio dell’operatore Z si ha
Z x ( t ) = y ( t ) ⇒ Z x ( t − t0 ) = y ( t − t0 )
Un sistema descritto dall’operatore Z è causale se e solo se per ogni coppia di funzioni x1(t)
e x2(t) appartenenti al dominio dell’operatore Z la condizione
x1 ( t ) = x2 ( t )
∀t ≤ t0
implica anche
Z x1 ( t ) = Z x2 ( t )
∀t ≤ t0
Equivalentemente un sistema è causale se e solo se i segnali di uscita negli istanti
2
precedenti l’istante t0 non dipendono in alcun modo dai valori assunti dai segnali di
ingresso in tempi successivi a t0.
I sistemi fisici sono sistemi causali poiché l’effetto non può precedere la causa.
I sistemi fisici sono generalmente tempo varianti e non lineari poiché le loro caratteristiche
cambiano al trascorrere del tempo (ad esempio i sistemi realizzati da uomini non
esistevano, e cioè erano molto diversi, miliardi di anni fa) e sono non lineari (si pensi alla
saturazione degli amplificatori o ai valori limite delle tensioni o correnti ammissibili
all’ingresso dei dispositivi). Nonostante ciò, considerando che l’analisi di sistemi lineari e
tempo invarianti è estremamente più semplice dell’analisi di sistemi non lineari e/o tempo
varianti e che l’approssimazione di sistema lineare e tempo invariante è accettabile in
molti casi pratici, nella maggior parte delle applicazioni i sistemi fisici sono schematizzati
come sistemi lineari, tempo invarianti e causali.
4.
Circuiti elettronici
Una rete elettronica o un circuito elettronico è un sistema costituito da componenti
(resistori, induttori, condensatori, generatori di tensione, generatori di corrente,
transistor…) connessi tra loro in modo arbitrario.
In termini sistemistici un circuito che ha N nodi e R rami e, come ingressi, L generatori
indipendenti di corrente e M generatori indipendenti di tensione, è un sistema che associa
alle M tensioni di ingresso vi1(t), vi2(t),… , viM(t) e alle L correnti di ingresso ii1(t), ii2(t),…,
iiL(t)
le tensioni di tutti gli N nodi del circuito vn1(t), vn2(t),…, vnN(t), e le correnti di tutti gli R
rami del circuito ir1(t), ir2(t),…, irR(t). In termini matematici il circuito può quindi essere
descritto dall’operatore
Z : ii1 ( t ) , ii 2 ( t ) ,..., iiL ( t ) , vi1 ( t ) , vi 2 ( t ) ,..., viM ( t ) , →
→ vn1 ( t ) , vn1 ( t ) ,..., vnN ( t ) , ir1 ( t ) , ir 2 ( t ) ,..., irR ( t )
Considerando che un circuito è un particolare tipo di sistema, le definizioni di linearità,
tempo invarianza e causalità relative ai sistemi definiscono anche la linearità, la tempo
invarianza e la causalità dei circuiti.
I diversi componenti circuitali possono essere classificati in base al numero di terminali di
cui sono dotati; i più semplici componenti circuitali hanno solo due terminali (esistono
anche componenti a tre, quattro o più terminali) e sono detti bipoli.
3
5.
Bipoli
5.1
I versi coordinati di tensione e corrente di un bipolo
Lo stato elettrico di un bipolo (vedi figura 1) è caratterizzato da due grandezze elettriche:
la tensione ai capi del bipolo, v(t), e la corrente attraverso il bipolo, i(t).
Per convenzione, dato un qualsiasi bipolo, i versi della tensione ai capi del bipolo e della
corrente attraverso il bipolo devono essere scelti in modo coordinato, cioè in modo che il
prodotto
v (t ) ∗ i (t )
sia pari alla potenza assorbita dal bipolo all’istante t, passorbita(t); da considerazioni fisiche si
deduce che la potenza assorbita da un bipolo è pari al prodotto della tensione e della
corrente del bipolo solo se tensione e corrente sono considerate con i versi coordinati
come mostrato in figura 1 (la corrente viene considerata positiva se entrante nel terminale
positivo).
La potenza erogata dal bipolo allo stesso istante t sarà invece
perogata ( t ) = − passorbita ( t ) = −v ( t ) ∗ i ( t )
Figura 1 Simbolo di un generico bipolo
In conclusione, dato un qualsiasi bipolo, si può scegliere il verso della corrente attraverso il
bipolo, ma questa scelta automaticamente fissa anche il verso della tensione ai capi del
bipolo (in modo duale: si può scegliere il verso della tensione ai capi del bipolo, ma questa
scelta automaticamente fissa anche il verso della corrente attraverso il bipolo). A titolo di
esempio la figura 2 mostra le due possibili scelte per un diodo; la figura 3 mostra invece le
due scelte non corrette per un diodo. Si tenga presente che, pur essendo la scelta dei versi
4
coordinati della corrente e della tensione solo una convenzione, è buona norma adottarla
sempre (in caso contrario, ad esempio, la resistenza di un resistore metallico e la capacità
di un condensatore piano possono essere negative, come spiegato nel seguito); come
eccezione (vedi nel seguito), per i generatori di tensione e di corrente si utilizza la
convenzione opposta, risultando in questo caso il prodotto v ( t ) ∗ i ( t ) pari alla potenza
erogata (cioè generata) dal generatore.
Figura 2
Scelte concordi con
convenzione sui versi coordinati
corrente e tensione
la Figura 3 Scelte non concordi con la
di convenzione sui versi coordinati di corrente
e tensione
5.2
Relazione tra la tensione e la corrente di un bipolo
Un bipolo impone una relazione tra la corrente e la tensione ai suoi capi; questa relazione è
detta relazione costitutiva del bipolo.
Supponiamo che per un dato bipolo la conoscenza della tensione, v(t), consenta di ricavare
in modo univoco la corrente, i(t); in questo caso possiamo scrivere
i ( t ) = Z v ( t )
dove Z è un operatore (Z associa una funzione ad un’altra funzione); in questo caso il
bipolo è quindi un sistema che associa ad un segnale di ingresso (tensione) un segnale di
uscita (corrente).
Nel caso duale in cui, per un dato bipolo, la conoscenza della corrente, i(t), consenta di
ricavare in modo univoco la tensione, v(t), possiamo invece scrivere
v ( t ) = W i ( t )
dove anche W è un operatore; in questo caso il bipolo è quindi un tipo particolare di
sistema che associa ad un segnale di ingresso (corrente) un segnale di uscita (tensione).
5
Nel seguito sarà evidente che per un tipo particolare di bipoli (generatori ideali di corrente)
può essere definito solo l’operatore Z ma non l’operatore W, mentre per un altro tipo di
bipoli (generatori ideali di tensione) può essere definito solo l’operatore W ma non
l’operatore Z; in molti altri casi (resistori, condensatori, induttori,…) è possibile definire
sia l’operatore Z sia l’operatore W; in tali casi sarà ovviamente
i ( t ) = Z v ( t ) = Z W i ( t ) ⇒ Z ≡ W −1
o equivalentemente
v ( t ) = W i ( t ) = W Z v ( t ) ⇒ W ≡ Z −1
Considerando che un bipolo è un particolare tipo di circuito, e quindi un particolare tipo di
sistema, le definizioni di linearità, tempo invarianza e causalità relative ai sistemi
definiscono anche la linearità, la tempo invarianza e la causalità dei bipoli.
Ad esempio il bipolo è tempo invariante se l’operatore associato al bipolo è tempo
invariante; un caso notevole in cui l’operatore associato al bipolo non è tempo invariante si
ha nelle applicazioni sensoristiche; nel caso di un resistore (definito nel seguito) la cui
resistenza dipende dalla temperatura, la misura della resistenza può essere sfruttata per
ricavare informazioni sulla temperatura, ma l’operatore associato a questo resistore non è
tempo invariante.
5.3
Bipoli istantanei e con memoria
Consideriamo un bipolo per cui, noto il valore della corrente in un qualsiasi istante, sia
possibile determinare univocamente il valore della tensione al medesimo istante; in questo
caso si può scrivere
v = z (i )
e si dice che il bipolo è istantaneo perché il valore della tensione ad un certo istante t0
dipende solo dal valore della corrente allo stesso istante e non dai valori precedentemente
assunti da corrente e tensione.
Nel caso duale in cui, dato un bipolo, noto il valore della tensione in un qualsiasi istante,
sia possibile determinare univocamente il valore della corrente al medesimo istante, si può
scrivere
i = w(v)
6
e anche in questo caso il bipolo è istantaneo.
In ogni caso, per i bipoli istantanei, l’operatore che descrive la relazione tensione-corrente
di un bipolo si riduce a una funzione. Le funzioni z e w possono essere rappresentate in un
piano (v,i) e sono anche note come caratteristiche di trasferimento del bipolo (ad esempio
si parla di caratteristica di trasferimento di un diodo).
Nel seguito sarà evidente che per un tipo particolare di bipoli (generatori ideali di corrente)
può essere definita solo la funzione z ma non la funzione w, mentre per un altro tipo di
bipoli (generatori ideali di tensione) può essere definita solo la funzione w ma non la
funzione z; in molti altri casi (resistori, diodi,…) è possibile definire sia la funzione z sia la
funzione w; in tali casi sarà ovviamente
i = z ( v ) = z ( w ( i ) ) ⇒ z ≡ w−1
o equivalentemente
v = w ( i ) = w ( z ( v ) ) ⇒ w ≡ z −1
I bipoli istantanei sono necessariamente causali e tempo invarianti; la definizione di
linearità di un bipolo istantaneo si semplifica nel modo seguente: un bipolo istantaneo
descritto dalla funzione z è lineare se e solo se per ogni coppia di numeri reali c1 e c2 e per
ogni coppia di valori dell’ingresso x1 e x2 appartenenti al dominio della funzione z si ha
z ( c1 x1 + c2 x2 ) = c1 z ( x1 ) + c2 z ( x2 )
Se un bipolo non è istantaneo si parla di bipolo con memoria perché per determinare lo
stato (cioè la corrente e la tensione) del bipolo ad un generico istante t0 è necessario
conoscere la “storia” delle grandezze elettriche del bipolo (cioè i valori della corrente e/o
della tensione negli istanti precedenti).
7
6.
Bipoli ideali
6.1
Il generatore indipendente di tensione
Il generatore indipendente di tensione è un bipolo caratterizzato dalla relazione costitutiva
v (t ) = f (t )
dove f(t) è una funzione arbitraria che non dipende da altre grandezze elettriche presenti
nel circuito. Per il generatore indipendente di tensione si può quindi considerare
v ( t ) = W i ( t ) = f ( t )
anche se W è, in questo caso, un operatore particolare poiché associa ad ogni possibile
funzione i(t) una funzione f(t) predefinita e non dipendente dalla corrente attraverso il
generatore né da altre grandezze elettriche presenti nel circuito (generatore indipendente).
Qualora la tensione di uscita di un generatore di tensione dipenda da altre grandezze
elettriche (tensioni e/o correnti) interne al circuito si parla di generatore di tensione
controllato; i generatori di tensione controllati non sono bipoli ma reti a più porte: ad
esempio un amplificatore ideale di tensione è un generatore di tensione controllato in
tensione ed è un elemento a due porte (e non un bipolo); analogamente un amplificatore
ideale di transresistenza è un generatore di tensione controllato in corrente ed è un
elemento a due porte (e non un bipolo).
Da un punto di vista sistemistico i generatori indipendenti di tensione servono a
schematizzare segnali di ingresso al sistema. In uno stesso circuito sono normalmente
presenti più generatori indipendenti di tensione (le batterie necessarie per alimentare il
sistema, uno o più generatori di segnali,…); in questi casi, se il circuito può essere
considerato lineare, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.
I simboli correntemente utilizzati per la rappresentazione dei generatori di tensione ideale
sono mostrati in figura 4; con la scelta dei versi delle tensioni e correnti riportata in figura
il prodotto v ( t ) ∗ i ( t ) è pari alla potenza generata (e non alla potenza assorbita) dal
generatore.
Figura 4 Simboli per i generatori di tensione ideali; il simbolo a sinistra viene utilizzato
solo per le tensioni costanti
8
La caratteristica di trasferimento di un generatore di tensione costante ideale è mostrata in
figura 5. La realizzazione fisica di un generatore indipendente di tensione è impossibile; si
immagini infatti di poter realizzare due generatori ideali di tensione con relazioni
costitutive
v1 ( t ) = V1
v2 ( t ) = V2 ≠ V1
Collegando i due generatori di tensione in parallelo si avrebbe
v2 ( t ) = v1 ( t ) ⇒ V2 = V1
in contraddizione con l’assunzione precedente V2 ≠ V1 .
Nel seguito si esaminerà un metodo più realistico per schematizzare i generatori di
tensione reali. A titolo di esempio la caratteristica di trasferimento v-i di un diodo Zener
sono mostrate in figura 6; è evidente che la tensione di uscita dipende dalla corrente,
eliminando l’assurdo fisico precedentemente discusso.
i
v(t ) = V0
v
Figura 5 Caratteristica di trasferimento di un generatore di tensione costante ideale
9
i
v
Figura 6 Caratteristiche di trasferimento di un diodo Zener
6.2
Il generatore indipendente di corrente
Il generatore indipendente di corrente è un bipolo caratterizzato dalla relazione costitutiva
i (t ) = f (t )
dove f(t) è una funzione arbitraria che non dipende da altre grandezze elettriche presenti
nel circuito. Per il generatore indipendente di corrente si può quindi considerare
i ( t ) = Z v ( t ) = f ( t )
anche se Z è, in questo caso, un operatore particolare poiché associa ad ogni possibile
funzione v(t) una funzione f(t) predefinita e non dipendente dalla tensione ai capi del
generatore né da altre grandezze elettriche presenti nel circuito (generatore indipendente).
Qualora la corrente di uscita di un generatore di corrente dipenda da altre grandezze
elettriche (tensioni e/o correnti) interne al circuito si parla di generatore di corrente
controllato; i generatori di corrente controllati non sono bipoli ma reti a più porte: ad
esempio un amplificatore ideale di corrente è un generatore di corrente controllato in
corrente ed è un elemento a due porte (e non un bipolo); analogamente un amplificatore
ideale di transconduttanza è un generatore di corrente controllato in tensione ed è un
elemento a due porte (e non un bipolo).
Da un punto di vista sistemistico i generatori indipendenti di corrente servono a
schematizzare segnali di ingresso al sistema.
I simboli correntemente utilizzati per la rappresentazione dei generatori di corrente ideale
10
sono mostrati in figura 7; con la scelta dei versi delle tensioni e correnti riportata in figura
il prodotto v ( t ) ∗ i ( t ) è pari alla potenza generata (e non alla potenza assorbita) dal
generatore. La caratteristica di trasferimento di un generatore di corrente ideale è mostrata
in figura 8.
La realizzazione fisica di un generatore indipendente di corrente è impossibile; si immagini
infatti di poter realizzare due generatori ideali di corrente con relazioni costitutive
i1 ( t ) = I1
i2 ( t ) = I 2 ≠ I1
Collegando i due generatori di corrente in serie si avrebbe
i2 ( t ) = i1 ( t ) ⇒ I 2 = I1
in contraddizione con l’assunzione precedente I 2 ≠ I1 .
Nel seguito si esaminerà un metodo più realistico per schematizzare i generatori di corrente
reali; a titolo di esempio le caratteristiche di trasferimento (per diversi valori delle correnti
di base) di uscita di un transistor bipolare connesso a emettitore comune sono mostrate in
figura 9; è evidente che la corrente di uscita dipende dalla tensione di uscita, eliminando
l’assurdo fisico precedentemente discusso.
Figura 7 Simboli per i generatori di corrente ideali
11
i
i (t ) = I0
v
Figura 8 Caratteristica di trasferimento di un generatore di corrente costante ideale
IC
-VEARLY
Figura 9
comune
VCE
Caratteristiche di uscita di un transistor bipolare connesso a emettitore
6.3
Resistore ideale
Un resistore ideale è un bipolo caratterizzato dalla relazione costitutiva
i ( t ) = Z v ( t ) =
1
v (t )
R
dove R è una costante reale e positiva detta resistenza (unità di misura: Ohm, Ω).
L’operatore Z è invertibile e si ha
v ( t ) = Z −1 i ( t ) = W i ( t ) = R ∗ i ( t )
12
Il simbolo correntemente utilizzato per la rappresentazione del resistore ideale è mostrato
in figura 10.
Dalle definizioni precedenti è semplice vedere che il resistore è un bipolo lineare, tempo
invariante e causale; inoltre l’equazione costitutiva del resistore può anche essere espressa
come segue
v = z (i ) = R ∗ i
i = w(v) =
v
R
cioè il resistore è anche un bipolo istantaneo.
La potenza assorbita da un resistore è completamente dissipata per effetto Joule; il resistore
non può né accumulare né cedere energia, ma solo dissiparla.
In un resistore si avrà
v ( t )
≥0
passorbita ( t ) = v ( t ) ∗ i ( t ) = R ∗ i ( t ) =
R
2
2
cioè, essendo la resistenza una costante reale e positiva, la potenza assorbita è sempre
maggiore o uguale di zero, coerentemente con quanto noto dalla fisica; si noti che, se i
versi della corrente e della tensione di un resistore fossero scelti in modo non coordinato e
se si considerasse comunque v = Ri , per schematizzare la natura dissipativa di un resistore
fisico sarebbe necessario considerare una resistenza negativa!
Osserviamo infine che in alcuni casi (ad esempio nelle applicazioni sensoristiche) la
resistenza può essere non costante ma dipendente da altre grandezze fisiche (temperatura,
umidità, pressione,…); in tal caso non si può parlare di resistore ideale (e, in particolare, il
resistore non sarebbe tempo invariante).
Figura 10 Simbolo per il resistore
13
6.4
Condensatore ideale
Un condensatore ideale è un bipolo per cui l’operatore lineare Z e il suo operatore inverso
Z-1 sono così definiti
i ( t ) = Z v ( t ) = C
dv ( t )
dt
v ( t ) = Z −1 i ( t ) , v ( t0 ) = v ( t0 ) +
1 t
i (τ ) dτ
C ∫t0
dove C è una costante reale e positiva detta capacità del condensatore (unità di misura:
Farad, F; è semplice ricavare dalle precedenti equazioni che 1F = 1s / 1Ω).
Il simbolo correntemente utilizzato per la rappresentazione del condensatore ideale è
mostrato in figura 11.
Figura 11 Simbolo per il condensatore
Dalla definizione dell’operatore Z-1 si nota che, se il condensatore è considerato come un
sistema che ha in uscita la tensione, è necessario considerare come segnali di ingresso sia
la corrente sia la tensione iniziale ai capi del condensatore (questa osservazione è
fondamentale per riconoscere che il condensatore è un bipolo lineare poiché solo in questo
modo, raddoppiando tutti i segnali di ingresso, viene raddoppiato anche il segnale di
uscita); se invece il condensatore è considerato come un sistema che ha in uscita la
corrente, l’unico segnale di ingresso è la tensione.
Dalle definizioni precedenti si può verificare che il condensatore è un bipolo lineare, tempo
invariante e non istantaneo (cioè con memoria).
Il condensatore è un “elemento inerziale” per la tensione ai suoi capi, cioè “si oppone” alle
variazioni della tensione ai suoi capi; si consideri ad esempio un condensatore chiuso su un
circuito in grado di erogare una corrente minore o uguale, in modulo, di Imax; è facile
osservare che
i (t ) = C
d v ( t )
i ( t ) ≤ I max
dt
⇒
d v ( t )
dt
=
i (t )
d v ( t ) I max
≤
C ⇒
dt
C
14
cioè la limitazione sulla massima corrente che il circuito riesce a fornire per “caricare” il
condensatore si riflette in una limitazione sulla massima variazione della tensione ai capi
del condensatore nell’unità di tempo (o equivalentemente in una limitazione sulla velocità
di “carica” del condensatore). Anche se il condensatore è un “elemento inerziale” per la
tensione ai suoi capi, si vedrà nel seguito (partitore compensato) che l’inserimento di un
opportuno condensatore in un circuito può rendere il circuito più veloce.
Dalle relazioni precedenti si osserva anche che se la tensione v(t) ai capi di un
condensatore è costante, la corrente i(t) attraverso il condensatore è nulla, cioè il
condensatore si comporta come un circuito aperto.
Dato un condensatore ideale si ha, scegliendo i versi coordinati di tensione e corrente,
passorbita ( t ) = v ( t ) ∗ i ( t )
In generale un condensatore può sia assorbire sia cedere corrente (cioè il segno di
passorbita(t) non è necessariamente positivo, come avviene per i resistori); un condensatore
ideale infatti non dissipa energia ma la può immagazzinare o cedere; l’energia
immagazzinata (sotto forma di energia elettrostatica) in un condensatore all’istante t è
2
1
1 Q ( t )
1
EC ( t ) = C v ( t ) =
= Q (t ) v (t )
C
2
2
2
2
Per ricavare questa relazione si consideri che l’energia assorbita dal condensatore non
viene dissipata, ma solo immagazzinata, cioè
t
EC ( t ) = EC ( t0 ) + ∫ passorbita (τ ) dτ =
t0
t
= EC ( t0 ) + ∫ v (τ ) i (τ ) dτ
t0
Considerando la relazione tensione-corrente stabilita dal condensatore possiamo quindi
ricavare
t
EC ( t ) = EC ( t0 ) + ∫ v (τ ) i (τ ) dτ =
t0
t
= EC ( t0 ) + ∫ v (τ ) C
t0
dv (τ )
dτ =
dτ
t
= EC ( t0 ) + C ∫ v (τ ) dv (τ ) =
t0
v ( t ) − v ( t0 )
= EC ( t0 ) + C ∫ v ∗ dv = EC ( t0 ) + C
v ( t0 )
2
v( t )
2
2
Considerando il condensatore scarico (v = 0) all’istante t0 ed essendo l’energia
15
immagazzinata in un condensatore scarico nulla, si deduce
v ( t )
EC ( t ) = C
2
2
La densità volumica di energia (cioè l’energia per unità di volume) nello spazio compreso
tra le armature di un condensatore è
∂EC 1 2
= εE
∂V 2
6.5
Induttore ideale
Un induttore ideale è un bipolo per cui l’operatore lineare Z e il suo operatore inverso Z-1
sono così definiti
i ( t ) = Z v ( t ) , i ( t0 ) = i ( t0 ) +
d i ( t )
v ( t ) = Z −1 i ( t ) = L
dt
1 t
v (τ ) dτ
L ∫t0
dove L è una costante reale e positiva detta induttanza dell’induttore (unità di misura:
Henry, H; è semplice ricavare dalle precedenti equazioni che 1H = 1Ω * 1s ).
Il simbolo correntemente utilizzato per la rappresentazione dell’induttore ideale è mostrato
in figura 12.
Figura 12 Simbolo per l’induttore
16
Dalla definizione dell’operatore Z si nota che, se l’induttore è considerato come un sistema
che ha in uscita la corrente, è necessario considerare come segnali di ingresso sia la
tensione sia la corrente iniziale attraverso l’induttore (questa osservazione è fondamentale
per riconoscere che l’induttore è un bipolo lineare poiché solo in questo modo,
raddoppiando tutti i segnali di ingresso, viene raddoppiato anche il segnale di uscita); se
invece l’induttore è considerato come un sistema che ha in uscita la tensione, l’unico
segnale di ingresso è la corrente.
Dalle definizioni precedenti si può verificare che l’induttore è un bipolo lineare, tempo
invariante e non istantaneo (cioè con memoria).
L’induttore è un “elemento inerziale” per la corrente che lo attraversa; si consideri infatti
un induttore chiuso su un circuito in grado di generare una tensione minore o uguale, in
modulo, di Vmax; è facile osservare che
d i ( t )
d i ( t ) v ( t )
d i ( t ) Vmax
v (t ) = L
⇒
=
≤
dt
dt
L ⇒
dt
L
v ( t ) ≤ Vmax
cioè la limitazione sulla massima tensione che il circuito riesce a fornire all’induttore si
riflette in una limitazione sulla massima variazione della corrente attraverso l’induttore
nell’unità di tempo.
Dalle relazioni precedenti si osserva anche che se la corrente i(t) attraverso l’induttore è
costante, la tensione v(t) ai capi dell’induttore è nulla, cioè l’induttore si comporta come un
corto-circuito.
Dato un induttore ideale si ha, scegliendo i versi coordinati di tensione e corrente,
passorbita ( t ) = v ( t ) ∗ i ( t )
In generale un induttore può sia assorbire sia cedere corrente (cioè il segno di passorbita(t)
non è necessariamente positivo, come avviene per i resistori); un induttore ideale infatti
non dissipa energia ma la può immagazzinare o cedere; l’energia immagazzinata (sotto
forma di energia elettrostatica) in un induttore all’istante t è
2
1
1 Φ ( t )
1
EL ( t ) = L i ( t ) =
= Φ (t ) i (t )
L
2
2
2
2
Per ricavare questa relazione si consideri che l’energia assorbita dall’induttore non viene
dissipata, ma solo immagazzinata, cioè
17
t
EL ( t ) = EL ( t0 ) + ∫ passorbita (τ ) dτ =
t0
t
= EL ( t0 ) + ∫ v (τ ) i (τ ) dτ
t0
Considerando la relazione tensione-corrente stabilita dall’induttore possiamo quindi
ricavare
t
EL ( t ) = EL ( t0 ) + ∫ v (τ ) i (τ ) dτ =
t0
t
= EL ( t0 ) + ∫ i (τ ) L
t0
di (τ )
dτ =
dτ
t
= EL ( t0 ) + L ∫ i (τ ) di (τ ) =
t0
i ( t ) − i ( t0 )
= EL ( t0 ) + L ∫ i ∗ di = EL ( t0 ) + L
v ( t0 )
2
2
v( t )
2
Considerando la corrente attraverso l’induttore nulla (i = 0) all’istante t0 ed essendo
l’energia immagazzinata in un induttore non attraversato da corrente nulla, si deduce
i ( t )
EL ( t ) = L
2
2
Per determinare la densità volumica di energia (cioè l’energia per unità di volume) nello
spazio compreso all’interno delle spire di un induttore si possono considerare i seguenti
passaggi (n è il numero totale di spire, l è la lunghezza dell’induttore, S è la sezione
dell’induttore, EL è la densità volumica di energia)
Φ = n⋅ B⋅S = n⋅µ ⋅H ⋅S
i⋅n
l
Φ n ⋅ µ ⋅ H ⋅ S n ⋅ µ ⋅ S i ⋅ n µ ⋅ S ⋅ n2
=
=
L= =
i
i
i
l
l
2
2 2
µ ⋅S ⋅n i
i
l⋅H
EL = L =
V = Sl ; i =
2
2
l
n
H=
EL =
∂ EL 1
n2 ⋅ µ ⋅V l 2 ⋅ H 2
⇒
= µ ⋅H2
2
2
2⋅n
∂V 2
l
18
7.
Linearizzazione di bipoli istantanei non lineari
Si consideri un qualsiasi bipolo istantaneo non lineare; nell’intorno di un punto di lavoro il
bipolo può essere approssimato con il polinomio di Taylor arrestato al primo ordine;
indicando con i e con v rispettivamente la corrente attraverso il bipolo e la tensione ai suoi
capi, si trova
∂v ( i0 )
∗ ( i − i0 ) =
∂i
∂v ( i0 ) ∂v ( i0 )
= v ( i0 ) −
∗ i0 +
∗i
∂i
∂i
v = v ( i ) ⇒ v v ( i0 ) +
La tensione ai capi del bipolo è quindi la somma di una tensione costante e di una tensione
proporzionale alla corrente; poiché la tensione ai capi di un bipolo costituito dalla serie di
due bipoli è la somma delle tensioni dei singoli bipoli, il polinomio di Taylor arrestato al
primo ordine può essere rappresentato dalla serie di un generatore di tensione V0 e di un
resistore di resistenza R (vedi figura 13) dove
∂v ( i0 )
V0 = v ( i0 ) −
∗ i0
∂i
∂v ( i0 )
R=
∂i
Figura 13 Linearizzazione di un bipolo istantaneo (Thevenin)
19
Analogamente, considerando per un bipolo istantaneo non lineare la dipendenza della
corrente dalla tensione si ottiene
∂i ( v0 )
∗ ( v − v0 ) =
∂v
∂i ( v0 )
∂i ( v0 )
= i ( v0 ) −
∗ v0 +
∗v
∂v
∂v
i = i ( v ) ⇒ i i ( v0 ) +
cioè la corrente attraverso il bipolo è la somma di una corrente costante e di una corrente
proporzionale alla tensione ai capi del bipolo; poiché la corrente attraverso un bipolo
costituito dal parallelo di due bipoli è la somma delle correnti attraverso i singoli bipoli, il
polinomio di Taylor arrestato al primo ordine può essere rappresentato dal parallelo di un
generatore di corrente I0 e di un resistore di resistenza R (vedi figura 14) dove
∂i ( v0 )
∗ v0
I 0 = i ( v0 ) −
∂v
1 ∂i ( v0 )
=
R
∂v
Si osservi inoltre che, per un dato bipolo, i circuiti di Norton e di Thevenin sono
esattamente equivalenti (salvo i casi in cui R sia nulla o infinita) se si considera la stessa R
e la relazione
V0 = RI 0
Figura 14 Linearizzazione di un bipolo istantaneo (Norton)
20
8.
Bipoli reali
8.1
Generatori di tensione reali
Per schematizzare i generatori di tensione reali si usa considerare il circuito equivalente di
Thevenin del generatore reale, cioè la serie di un generatore indipendente di tensione e di
un resistore (o, nel caso più generale, di un’impedenza); questa rappresentazione equivale,
in termini circuitali, alla “linearizzazione” (o sviluppo in serie di Taylor arrestata al primo
ordine) del generatore.
Considerando quindi un generatore reale di tensione (linearizzato) che alimenta un carico
RL (vedi figura 15), la tensione ai capi del carico non coincide con V0, valore nominale del
generatore di tensione, ma dipende anche dal carico; infatti
VL = V0
RL
1
= V0
RL + R
R
1 +
RL
da cui si vede che più il rapporto R /RL tende a zero, più la tensione ai capi del carico tende
a V0 (il caso di generatore di tensione ideale prevede infatti R nulla).
Figura 15 Linearizzazione di un generatore reale di tensione
Le pile costituiscono un esempio di generatori di tensione reali.
Le pile sono bipoli in grado, sulla base di reazioni chimiche diverse, di generare “buone”
tensioni continue.
Le pile sono generalmente caratterizzate dalla:
- differenza di potenziale ai capi della pila aperta (o equivalentemente chiusa su un
circuito aperto)
- resistenza interna (che aumenta con l’usura)
- reversibilità (o ricarica)
- capacità, cioè quantità di carica che può essere erogata (1 A * 1 ora = 3600 C)
21
8.2
Generatori di corrente reali
Per schematizzare i generatori di corrente reali si usa considerare il circuito equivalente di
Norton del generatore reale, cioè il parallelo di un generatore indipendente di corrente e di
un resistore (o, nel caso più generale, di un’impedenza); questa rappresentazione equivale,
in termini circuitali, alla “linearizzazione” (o sviluppo in serie di Taylor arrestata al primo
ordine) del generatore.
Considerando quindi un generatore reale di corrente (linearizzato) che alimenta un carico
RL (vedi figura 16), la corrente ai capi del carico non coincide con I0, valore nominale del
generatore di corrente, ma dipende anche dal carico; infatti
I L = I0
R
1
= I0
R + RL
RL
1 +
R
da cui si vede che più il rapporto RL /R tende a zero, più la corrente attraverso il carico
tende a I0 (il caso di generatore di corrente ideale prevede infatti R infinita).
Alcuni circuiti in grado di realizzare “buoni” generatori di corrente saranno studiati nel
seguito (vedi la parte sui current mirror).
Figura 16 Linearizzazione di un generatore reale di corrente
22
8.3
Resistore reale
Nel caso dei metalli la relazione
v = R ∗i
è vera con ottima approssimazione fino a valori di tensione e corrente molto elevati, fino a
quando cioè la potenza dissipata nel resistore per effetto Joule è tale da introdurre
deviazioni dalla linearità (verificabili sperimentalmente).
In pratica la tecnologia di costruzione dei resistori offre notevoli possibilità per formare
resistori di proprietà più o meno vicine a quelle ideali.
Resistori a filo metallico
Si avvolge su un supporto isolante un filo, di sezione S e lunghezza L, costituito da un
metallo o da una lega metallica di resistività nota, ρ.
In questo caso
L
R = ρ , [ Ω, Ohm ]
S
ρ , [ Ω ∗ cm]
Difetto: presenza di fenomeni induttivi
Resistori a film sottile
Viene depositato un sottile film metallico (per evaporazione termica o per sputtering) su un
supporto isolante (ceramica, vetro, silicio ossidato)
Vantaggio: assenza di fenomeni induttivi
Svantaggio: scarsa riproducibilità nei valori di R
Resistori sinterizzati
Si comprimono grani di sostanze non metalliche (grani di carbone per esempio) fino a
formare cilindretti di dimensioni volute.
Svantaggio: dispersione dei valori
Resistori integrati
Possono essere costruiti, in forma integrata tramite la tecnica di impiantazione su silicio,
resistori integrati sepolti, molto utilizzati nei circuiti integrati.
Svantaggio: sono realizzabili valori di R inferiori a qualche decina di kΩ a causa degli alti
costi del silicio.
23
Resistenza nominale e tolleranza dei resistori
Il valore nominale della resistenza e la tolleranza di un resistore possono essere decifrati
tramite un codice a colori stampato, a bande, sul corpo cilindrico del resistore.
L’ultima banda indica la tolleranza del resistore; il codice a colori utilizzato per le più
comuni tolleranze è indicato nella seguente tabella
Colore
Argento
Oro
Rosso
Marrone
Tolleranza
10%
5%
2%
1%
Per le resistenze con tolleranze peggiori di 1% si utilizza un codice a 4 bande; la quarta
banda identifica la tolleranza, mentre, indicando con nk il numero corrispondente alla
banda k-esima (la corrispondenza tra numeri e colori è indicata nella tabella sottostante) il
valore della resistenza nominale è dato da
R = ( n1 ∗10 + n2 ) ∗10n3
Per le cosiddette resistenze di precisione (un nome migliore sarebbe resistenze accurate) la
tolleranza può essere molto inferiore (1%, 0.1% e 0.01%) e sono quindi specificate più
cifre; ad esempio per resistenza con tolleranza 1% si ha
R = ( n1 ∗100 + n2 ∗10 + n3 ) ∗10n4
Il codice a colori è indicato nella seguente tabella:
Numero
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Colore
Grigio
Oro
Nero
Marrone
Rosso
Arancione
Giallo
Verde
Blu
Viola
Grigio
Bianco
24
Ad esempio il resistore
[rosso (2) - giallo (4) – arancione (3) – argento (10%)] ha una resistenza nominale da 24kΩ
e una tolleranza del 10%
I numeri negativi sono necessari per rappresentare valori bassi di resistenza; ad esempio il
resistore
[marrone(1) – nero (0) – oro (-1) – argento (10%)] ha una resistenza nominale da 1Ω e una
tolleranza del 10%
Il costruttore fornisce anche altre caratteristiche dei resistori.
-
la variazione di R con la temperatura
la massima potenza dissipabile per effetto Joule (da frazioni di W a qualche kW)
i valori disponibili per ciascun tipo di resistore (normalmente da frazioni di Ω a
centinaia di MΩ
Un circuito equivalente per un resistore reale è mostrato in figura 17. Gli elementi
induttore (di valore L) e condensatore (di valore C) intervengono in presenza di segnali
variabili nel tempo e comunque in presenza di transitori.
Figura 17 Circuito equivalente di un resistore reale
25
Reostato e potenziometro
Con l’aggiunta di un altro terminale (B) è possibile realizzare un dispositivo a resistenza
variabile (reostato, vedi figura 18) utilizzato per far variare la corrente o un dispositivo in
grado di cambiare la differenza di potenziale (potenziometro, vedi figura 19).
Figura 18 Reostato
Figura 19 Potenziometro
8.4
Condensatore reale
Uno dei possibili circuiti equivalenti di un condensatore reale è mostrato nella figura 18
Figura 20 Circuito equivalente di un condensatore reale
R1 e L rappresentano valori della resistenza dei contatti e delle induttanze delle
connessioni; R tiene conto del non perfetto isolamento (perdite) tra le armature del
condensatore.
Quasi sempre gli effetti di R1 e L sono trascurabili.
26
8.6
Induttore reale
Uno dei possibili circuiti equivalenti di un induttore reale è mostrato nella figura 21.
A titolo di esempio calcoliamo il coefficiente di autoinduzione di un solenoide (raggio
r = 1cm e lunghezza l = 5cm) costituito da 100 spire poste nel vuoto.
Il modulo del vettore induzione magnetica B in questo caso vale
B = µ 0in
dove n è il numero di spire per unità di lunghezza, i è la corrente e µ0 è la permeabilità
magnetica nel vuoto,
µ0 = 1.256 ∗10−6
H
m
Inoltre, ricordando che
φ ( B ) = Li
ed indicando con N il numero totale di spire dell’induttore (si ha quindi N = nl), si trova
L=
φ ( B)
i
=
B∗N ∗S
N 2π R 2
= µ0
= µ 0 n 2π R 2l
i
l
Questa relazione mostra che, fissato il numero di spire per unità di lunghezza, l’induttanza
di un induttore è direttamente proporzionale all’altezza dell’induttore o, equivalentemente,
è direttamente proporzionale al numero totale di spire (se infatti n è una costante, la
proporzionalità tra L e l equivale alla proporzionalità tra L e nl).
Considerando i valori indicati nell’esempio si ottiene
L = 7.89 ∗10−5 H
Figura 21 Circuito equivalente di un induttore reale
27
Per realizzare induttori si possono avvolgere dei fili di diametro variabile su un cilindro
costituita da materiale a bassa od alta permeabilità magnetica; alternativamente si possono
realizzare induttori a film sottile tramite la tecnologia della litografia e degli attacchi in
umido o a secco dei materiali impiegati per la loro realizzazione.
E’ anche possibile realizzare degli induttori in forma virtuale, impiegando circuiti
elettronici contenenti elementi attivi, condensatori e resistori. Di ciò verrà dato cenno nei
corsi superiori.
28
