geometria nello spazio

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GEOMETRIA NELLO SPAZIO
1. Sintesi geometria piana
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Il punto, ente privo di dimensioni
La retta, ente con una sola dimensione
Il piano, ente con due dimensioni
a)
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Punto e retta sul piano
Per un punto passano infinite rette
per due punti passa una ed una sola retta
per tre punti allineati passa una ed una sola retta
per tre punti non allineati passano tre rette
b)
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Rette sul piano
Due rette sul piano sono parallele se non hanno punti in comune
Due rette sul piano sono incidenti se hanno un punto in comune
Due rette sul piano sono sovrapposte se hanno almeno due punti in comune.
c) Parti di retta
◦ Semiretta: ciascuna delle due parti di una retta delimitata da un punto detto
origine
◦ Segmento: parte di retta delimitata da due punti detti estremi
d) Parte di piano
◦ Angolo: ciascuna delle due parti di piano delimitata da due semirette aventi
l'origine in comune.
▪ L'origine in comune è detto vertice, la dimensione è detta ampiezza.
▪ Angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso, angolo piatto, angolo giro,
angolo concavo, angolo convesso
◦ Poligono: parte di piano delimitata da una spezzata chiusa non intrecciata.
▪ Ciascun segmento della spezzata è detto lato.
▪ La parte di poligono delimitata da due lati consecutivi è un angolo interno.
▪ La parte di piano delimitata da un lato e dal prolungamento del suo
consecutivo è un angolo esterno.
▪ Poligono concavo se ha almeno un angolo concavo
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2. Rette e piani nello spazio
2.1. Il piano nello spazio
a) Per un punto nello spazio passano infiniti piani
b) Per una retta nello spazio passano infiniti piani, fascio di piani
c) Per individuare un piano nello spazio è necessario avere:
▪ tre punti non allineati
▪ una retta e un punto non appartenente ad essa
▪ due rette incidenti o due rette parallele
2.2. Relazione fra due rette nello spazio
a) Due rette nello spazio possono appartenere
▪ a piani diversi e si dicono sghembe
▪ allo stesso piano e si dicono complanari
b) Due rette complanari possono essere
▪ parallele se non hanno punti in comune
▪ incidenti se hanno un punto in comune
▪ coincidenti se hanno tutti i punti in comune
2.3. Relazione fra una retta e un piano
a) Una retta è parallela a un piano se con esso
non ha punti in comune
b) Una retta è incidente a un piano se con esso ha un punto in comune
c) Una retta (p) incidente è perpendicolare a un piano se è perpendicolare
ad almeno due rette (r, s) del
piano passanti per il punto di
incidenza (A): il punto di
intersezione è detto piede della
perpendicolare (A).
2.4. Relazione fra due piani nello
spazio
a) Due piani nello spazio possono
essere:
▪ incidenti se hanno una retta in
comune
▪ paralleli se non hanno alcun
punto in comune
▪ coincidenti se hanno tutti i
punti in comune
b) Semipiano: ciascuna delle due parti di un piano delimitata da una retta,
detta origine del semipiano.
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2.5. Angoli diedri
a) Diedro o angolo diedro: ciascuna delle due parti dello spazio delimitato da
due semipiani aventi l'origine in comune: i due semipiani si dicono facce,
la retta in comune si dice spigolo.
▪ Il driedro è convesso se non
contiene il prolungamento delle
facce, si dice concavo se
contiene il prolungamento delle
facce.
b) Sezione normale del diedro:
angolo
che
si
ottiene
intersencando un diedro con un
piano perpendicolare allo suo
spigolo.
c) Ampiezza del diedro: è la misura
della sua sezione normale
d) Diedro acuto, retto, ottuso: la sua
sezione normale è un angolo acuto, retto o ottuso
e) Diedri consecutivi: due diedri aventi una faccia e lo spigolo in comune
f) Diedri adiacenti: due diedri consecutivi che hanno le due facce non
comuni opposte.
g) Semipiano bisettore: semipiano che uscendo dallo spigolo del diedro lo
divide in due diedri congruenti
h) Piani perpendicolari: due piani che dividono lo spazio in quatro diedri
congruenti ciascuno avente la sezione normale di 90°.
Animazioni con Cabri
2.6. Angoloidi
a) L'angoloide la parte di spazio limitata da tre o più angoli piani aventi lo
stesso vertice, posti in piani differenti e
tali che ognuno dei lati sia comune a
due angoli.
▪ Vertice dell'angoloide: il vertice in
comune fra gli angoli
▪ Facce dell'angoloide: ciascuna angolo
▪ Spigoli dell'angoloide: ciascun lato in
comune fra due facce consecutive
▪ La somma degli angoli di vertice delle
facce è sempre minore di un angolo
giro.
▪ Angoloide convesso è quello che non
contiene il prolungamento degli spigoli,
concavo quello che contiene il
prolungamento degli spigoli.
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