Matematica per l’Economia M (6 CFU)
a.a. 2016-17, A. Uderzo
1-2 [09-05-’17] Presentazione del corso. Introduzione ai sistemi dinamici: alcuni esempi
motivazionali tratti dalla modellistica economica. Equazioni differenziali ordinarie: formulazione del problema, terminologia e concetto di soluzione. Condizioni iniziali e problemi di
Cauchy.
3-4 [11-05-’17] Sistemi di equazioni differenziali: funzioni di una variabile a valori nello
spazio Rd e loro derivate, formulazione di sistemi di equazioni differenziali e relativi problemi
di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Integrali singolari
ed integrazione per separazione delle variabili. Esempi. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine a coefficienti continui: formula risolutiva.
5-6 [12-05-’17] Esempi. Applicazione a qualche modello economico: evoluzione dinamica del
prezzo di un bene di mercato; modello macroeconomico di crescita di Solow. Un esempio di
risoluzione di un’equazione differenziale per sostituzione: il caso delle equazioni differenziali
di Bernoulli.
7-8 [15-05-’17] Teorema di esistenza ed unicità “in piccolo” per la soluzione di un problema
di Cauchy. Teorema di sola esistenza “in piccolo”. Fenomeno del pennello di Peano (non
unicità, nemmeno locale, di una soluzione). Teorema di esistenza ed unicità “in grande”
per la soluzione di un problema di Cauchy. Applicazione alle equazioni differenziali lineari
a coefficienti continui.
9-10 [16-05-’17] Un esempio. Equazioni differenziali autonome e soluzioni d’equilibrio.
Alcune proprietà di stabilità per soluzioni d’equilibrio di equazioni autonome (stabilità nel
senso di Lyapunov, stabilità asintotica locale e globale, instabilità) e relazioni reciproche.
Un esempio di analisi qualitativa delle soluzioni di un’equazione differenziale autonoma.
11-12 [18-05-’17] Teorema dell’asintoto e sue conseguenze sulle soluzioni d’equilibrio. Un’applicazione all’analisi del modello logistico (equazione di Verhulst): esempio di analisi qualitativa. Sistemi di equazioni differenziali lineari: sistemi completi ed omogenei associati. Matrice e determinante wronskiani e caratterizzazione della lineare indipendenza di soluzioni.
13-14 [19-05-’17] Sistemi fondamentali. Teorema di struttura dell’insieme delle soluzioni
dei sistemi omogenei. Principio di sovrapposizione. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie per la ricerca di soluzioni particolari. Determinazione esplicita di sistemi fondamentali
nel caso di sistemi omogenei a coefficienti costanti: caso diagonale, caso diagonalizzabile in
R, caso diagonalizzabile in C.
15-16 [22-05-’17] Il caso non diagonalizzabile (in R) e il metodo iterativo “a cascata” per
la ricerca di autovettori generalizzati. Applicazione della teoria nella risoluzione esplicita
di sistemi di equazioni lineari. Risoluzione esplicita di un problema di Cauchy definito da
un’equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo, mediante riduzione a sistema
di equazioni differenziali.
17-18 [23-05-’17] Introduzione alla teoria del controllo ottimo: problemi di ottimizzazione
infinito-dimensionale. Qualche esempio (un problema di investimento). Formulazione di
problemi di controllo ottimo: variabili di stato e variabili di controllo; equazione di transizione, stati iniziale e finale, classe dei controlli ammissibili; funzione obiettivo (forma
integrale e pay-off finali). Concetto di soluzione.
19-20 [25-05-’17] Una classe particolare di problemi: problemi a dinamica lineare. Formulazione del principio del massimo nel caso di dinamica lineare: funzione hamiltoniana
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associata al problema,sistema aggiunto e variabili di co-stato, condizione di trasversalità.
Un’applicazione: determinazione della strategia ottima in un modello di compravendita di
un bene. Controlli bang-bang ed istanti di commutazione.
21-22 [26-05-’17] Formulazione di problemi di controllo a dinamica non lineare, in presenza
di varie condizioni finali: hamiltoniana associata e sistema aggiunto. Il principio del massimo di Pontryagin come condizione necessaria di ottimalità per problemi non lineari. Un
esempio sul ruolo della prima componente p0 della variabile di co-stato.
23-24 [01-06-’17] Condizioni sufficienti di Mangasarian e di Arrow per l’ottimalità di un
controllo. Un risultato di esistenza per controlli ottimi misurabili: il teorema di Filippov.
Relazioni tra la teoria del controllo ottimo ed il calcolo delle variazioni: problema più
semplice del calcolo delle variazioni. Condizione di necessaria ottimalità: equazione di
Euler come conseguenza del principio del massimo.
25-26 [05-06-’17] Condizioni sufficienti di ottimalità per il problema più semplice del calcolo
delle variazioni basate sulla convessità/concavità della funzione integranda. Applicazione
della teoria del controllo ottimo all’analisi di un problema di massimizzazione della vendita.
27-28 [06-06-’17] Conclusioni sul problema di massimizzazione della vendita. Risoluzione
esplicita di alcuni problemi di controllo ottimo ad illustrazione della teoria.
29-30 [08-06-’17] Esempi di utilizzo del principio del massimo e delle condizioni sufficienti
di ottimalità in specifici problemi di controllo.
31-32 [09-06-’17] Applicazione della teoria sviluppata per il problema più semplice del
calcolo delle variazioni all’analisi di un modello di investimento/pianificazione del consumo
ottimo. Funzione valore associata ad un problema di controllo e relazione con le variabili
aggiunte.
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