Programma_def_del_corso_di_An_II_2006

Programma del corso di Analisi Matematica II
A.A. 2005-2006
( e previsto per il 2006-2007)
Ingegneria della sicurezza e protezione
Prof.ssa K. Cerqueti
Funzioni di due variabili:
Insiemi in R2. Definizioni generali. Funzioni di due variabili in forma cartesiana, insiemi di
definizione, rappresentazione grafica, linee di livello. Definizioni di limite. Definizione di funzione
continua. Derivate parziali e loro significato geometrico; teorema di Schwarz. Curve tracciate su
una superficie. Funzione composta due variabili. Derivata composta. Funzioni differenziabili.
Differenziale e suo significato geometrico. Gradiente. Derivata direzionale. Teorema per la
derivabilità direzionale, equazione del piano tangente. Cenni su minimi e massimi liberi per le
funzioni di due variabili. Determinante hessiano. Ricerca di punti di minimo e massimo relativi per
le funzioni di due variabili con determinante hessiano non nullo.
Misura e integrazione.
Cenni sulla misura di insiemi limitati in R². Definizione di dominio normale rispetto agli assi.
Definizione di integrale doppio secondo Riemann e integrabilità delle funzioni continue. Formule di
riduzione per gli integrali doppi. Cambiamenti di variabile. Cambiamento da coordinate cartesiane a
coordinate polari. Lunghezza di una curva regolare nel piano data in forma parametrica, ascissa
curvilinea e suo significato geometrico. Integrali curvilinei di funzioni. Curve semplici e chiuse,
orientamento. Formule di gauss Gauss-Green. Cenni sull’area come integrale curvilineo,
applicazioni per il calcolo delle aree del teorema di Gauss-Green.
Equazioni differenziali.
Generalità, nomenclatura essenziale. Esempi di equazioni differenziali come modelli nelle
applicazioni alla fisica e alla biologia, oscillatore armonico, modelli di crescita delle popolazioni.
Integrale generale, soluzione particolare e soluzione singolare, problema di Cauchy. Equazioni
differenziali del 1° ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali
lineari del primo ordine – metodo del fattore integrante. Problema di Cauchy per le equazioni
differenziali del 1° ordine; teorema di esistenza e unicità. Interpretazione geometrica. Equazione di
Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del 2° ordine; definizioni generali. Teorema della struttura
delle soluzioni. Teorema sulla struttura dell’integrale generale dell’equazione omogenea. Equazioni
differenziali lineari del 2° ordine a coefficienti costanti. Equazione omogenea associata: integrale
generale. Equazione completa: metodi per determinare un integrale particolare; metodo di
variazione delle costanti arbitrarie (metodo di Lagrange) e metodo dei coefficienti indeterminati.
Problema di Cauchy per le equazioni differenziali del 2° ordine; teorema di esistenza e unicità.
Modalità d’ Esame
L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Lo scritto viene valutato in trentesimi e
si è ammessi alla prova orale se si è superata la votazione di 16/30. L’orale consiste in una
discussione dello scritto.
Testo consigliato per la teoria
Testo 1) P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Analisi Matematica due (versione semplificata per i
nuovi corsi di laurea) – Liguori editore.
Testi consigliati per gli esercizi:
Testo 2) P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Vol. 2, prima parte – Liguori editore
Testo 3) P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Vol. 2, prima seconda – Liguori editore
Nota: In segreteria sono disponibili le prove d’esame degli anni precedenti