Esercitazione 3

Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Esercitazione 3
Proprietà della
media
aritmetica
Statistica
La media
ponderata
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Università degli studi di Cassino
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
1 / 31
Outline
Esercitazione
3
A. Iodice
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
1
la media aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
3
La media ponderata
A. Iodice
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
3
La media ponderata
4
Ancora sugli indici di posizione
A. Iodice
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
3
La media ponderata
4
Ancora sugli indici di posizione
5
La variabilità
A. Iodice
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
3
La media ponderata
4
Ancora sugli indici di posizione
5
La variabilità
6
variabilità per variabili qualitative
A. Iodice
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
Outline
Esercitazione
3
1
la media aritmetica
la media
aritmetica
2
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
3
La media ponderata
4
Ancora sugli indici di posizione
5
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
6
variabilità per variabili qualitative
Indici di
eterogeneità
7
Indici di eterogeneità
A. Iodice
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 31
La media aritmetica
Esercitazione
3
Si consideri la funzione f (.) additiva, vale a dire
A. Iodice
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
variabilità per
variabili
qualitative
xi
i=1
Ricordando il principio di rappresentatitività (equazione ??) si
ha che
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
n
X
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µ, µ, . . . , µ)
Poichè f (.) è di tipo additivo la precedente uguaglianza si può
riscrivere come
Indici di
eterogeneità
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
X
µ
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
3 / 31
La media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
quindi
n
X
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
i=1
xi =
n
X
i=1
µ ⇐⇒
n
X
n
xi = nµ ⇐⇒ µ =
i=1
1X
xi
n
i=1
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
4 / 31
La media aritmetica
Esercitazione
3
media semplice:
A. Iodice
n
µ=
la media
aritmetica
1X
xi
n
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
media per dati organizzati in frequenze:
La media
ponderata
n
1X
µ=
xi ni
n
Ancora sugli
indici di
posizione
i=1
La variabilità
media per frequenze relative:
variabilità per
variabili
qualitative
µ=
Indici di
eterogeneità
n
X
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
xi
ni
n
Statistica
5 / 31
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
6 / 31
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
6 / 31
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
µ=
La media
ponderata
1
×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+
20
+ 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+
Ancora sugli
indici di
posizione
+ 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+
La variabilità
+ 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+
+ 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) =
470.6
=
= 23.53
20
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
6 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
7 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
7 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
7 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
1
× (c1 × n1 + c2 × n2 +
20
+ c3 × n3 + c4 × n4 ) =
1
=
× (19.6 × 6 + 22.2 × 3+
20
+ (24.8 × 5 + 27.4 × 6) =
472.6
=
= 23.63
20
µ=
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
8 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
9 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
9 / 31
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
Proprietà della
media
aritmetica
µ = (c1 × f1 + c2 × f2 +
La media
ponderata
+ c3 × f3 + c4 × f4 ) =
Ancora sugli
indici di
posizione
= (19.6 × 0.3 + 22.2 × 0.15+
La variabilità
+ 24.8 × 0.25 + 27.4 × 0.3) =
variabilità per
variabili
qualitative
= (5.88 + 3.33 + 6.2 + 8.22) = 23.63
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
9 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
1 criterio di internalità la media aritmetica è sempre
compresa tra il minimo e massimo della distribuzione
osservata:
La media
ponderata
X
Ancora sugli
indici di
posizione
x1 ≤
⇔ x1 ≤
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
n
X
xi ≤
i=1
P
n
i=1 xi
n
X
xn ⇔ nx1 ≤
n
X
xi ≤ nxn ⇔
i=1
≤ xn ⇔ x1 ≤ µ ≤ xn
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
2 media come baricentro la somma degli scarti dalla media è
nulla:
n
X
La media
ponderata
(xi − µ) =
i=1
Ancora sugli
indici di
posizione
=
La variabilità
n
X
i=1
xi − n(
n
X
xi −
i=1
Pn
i=1 xi
n
nµ =
)=
n
X
i=1
xi −
n
X
xi = 0
i=1
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
3 linearità della media aritmetica Sia X è una variabile con
media µ, allora la variabile Y = α + βX avrà media
Proprietà della
media
aritmetica
M (Y ) =
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
n
n
n
i=1
i=1
i=1
1X
1X
1X
(α + βxi ) =
(α) +
(βxi ) =
n
n
n
n
1
1X
(xi )) =
= (nα) + β(
n
n
La variabilità
i=1
variabilità per
variabili
qualitative
= α + βµ
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Si consideri che α = −18/12 e β =
1
12
utilizzando α e β per normalizzare i voti degli studenti
1
18
+ X × 12
Y = α + X × β = − 12
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
4 proprietà associativa della media aritmetica
Sia X una variabile osservata su più gruppi: la media può
essere ottenuta come media delle medie calcolate in
ciascun gruppo - tenendo conto della differente numerosità
dei gruppi . Il collettivo è suddiviso in Kgruppi di
numerosità n1 , n2 , . . . , nK . La media del carattere X sul
collettivo è µ.
Per la proprietà associativa si avrà che
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
µ = µ1 ×
nK
n1
n2
+ µ2 ×
+ . . . + µK ×
n
n
n
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
Proprietà della media aritmetica
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
5 minimizzazione dei quadrati degli scarti La media
aritmetica µ rende minima la somma dei quadrati degli
scarti X:
n
X
(xi − µ)2 = min
i=1
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 31
La media minimizza la somma dei quadrati degli
scarti
Esercitazione
3
Tornando ai voti degli studenti...
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
11 / 31
La media aritmetica ponderata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 31
La media aritmetica ponderata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 31
La media aritmetica ponderata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω
sar data da
PK
x i ωi
µω = Pi=1
K
i=1 ωi
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 31
La media aritmetica ponderata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω
sar data da
PK
x i ωi
µω = Pi=1
K
i=1 ωi
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 31
Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 31
Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 31
Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
media aritmetica semplice
Ancora sugli
indici di
posizione
26 + 24 + 24 + . . . + 23 + 30
=
18
479
=
= 26.61
18
µ=
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 31
Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
media aritmetica ponderata studente A
Ancora sugli
indici di
posizione
(26 × 4) + (24 × 6) + (24 × 4) + . . .
4 + 6 + 4 + ...
. . . + (23 × 4) + (30 × 12)
3519
=
= 27.07
. . . + 4 + 12
130
µω =
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 31
Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
media aritmetica ponderata studente B
Ancora sugli
indici di
posizione
(26 × 4) + (24 × 12) + (24 × 4) + . . .
4 + 12 + 4 + . . .
. . . + (23 × 12) + (30 × 4)
3397
=
= 26.14
. . . + 12 + 4
130
µω =
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La media aritmetica risente della presenza di valori estremi. Per
limitare questo problema si calcola la media sui valori centrali
della distribuzione, eliminando il possibile effetto di valori
anomali.
Media troncata (α%)
Per calcolare la media troncata sugli 1 − α valori centrali di una
distribuzione si procede come segue:
1
ordinare i valori osservati in senso crescente;
2
individuare i valori corrispondenti ai percentili qa = α/2 e
qb = 1 − α/2;
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
3
4
A. Iodice ()
selezionare gli n∗ valori xi∗ tali che xi > qa e xi ≤ qb ;
P ∗
calcolare la media troncata µα = n1∗ ni=1 xi .
Esercitazione 3
Statistica
14 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Esempio media troncata α = 50%
Proprietà della
media
aritmetica
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
La media
ponderata
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
∗
n
1 X
14 + 15 + 18 + 18 + 22 + 23 + 24 + 25
µα = ∗
xi =
= 19.875
n i=1
8
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
15 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
16 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
17 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
18 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
19 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
20 / 31
Trimmed mean - La media troncata
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
21 / 31
Indici di posizione e tipo di caratteri
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
la moda si applica a tutte le tipologie di caratteri
Proprietà della
media
aritmetica
la mediana (quartili, quantili in generale) si applica a tutte
le tipologie di caratteri le cui modalità sono ordinabili
(mutabili rettilinee e variabili)
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
la media aritmetica si applica alle sole variabili quantitative
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
22 / 31
Il concetto di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad
assumere modalità differenti.
La variabilità può essere misurata in diversi modi:
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
23 / 31
Il concetto di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad
assumere modalità differenti.
La variabilità può essere misurata in diversi modi:
variabilità delle singole modalità x1 , x2 , . . . , xn rispetto ad
un indice di posizione
La media
ponderata
mutua variabilità
Ancora sugli
indici di
posizione
variabilità delle modalità x1 , x2 , . . . , xn ordinate in modo
crescente (usando la f. di ripartizione)
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
variabilità delle frequenze relative (applicabile anche a
mutabili)
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
23 / 31
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
24 / 31
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
24 / 31
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La media
ponderata
un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di
costanti ugulae a 0
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
24 / 31
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La media
ponderata
un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di
costanti ugulae a 0
Ancora sugli
indici di
posizione
aggiungendo una costante alla variabile osservata, il valore
dell’indice non deve cambiare
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
24 / 31
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 31
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la
stessa modalità del carattere qualitativo
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno
tutte la stessa frequenza assoluta (relativa)
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 31
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la
stessa modalità del carattere qualitativo
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno
tutte la stessa frequenza assoluta (relativa)
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Le situazioni intermedie sono caratterizzate da un diverso grado
di eterogeneità.
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 31
eterogeneità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative
(f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere.
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 31
eterogeneità
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative
(f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere.
minima eterogeneità: si manifesta una sola modalità j la
cui frequenza relativa fj = 1: un indice di eterogeneità
deve avere valore 0 in questo caso
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
massima eterogeneità: Le frequenze relative sono tutte
uguali: fi = k1 , con i = 1, . . . , k e k numero di modalità
del carattere
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 31
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
27 / 31
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
in caso di minima eterogeneità, G = 0
La media
ponderata
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
G = 1 − k1
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
27 / 31
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
in caso di minima eterogeneità, G = 0
La media
ponderata
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
G = 1 − k1
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Avendo definito il valore massimo dell’indice, possibile
ottenerne la versione normalizzata G∗
G∗ =
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
k×G
k−1
Statistica
27 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Una nuova azienda informatica immette sul mercato una
gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei
prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la
seguente distribuzione di frequenze:
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
28 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Una nuova azienda informatica immette sul mercato una
gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei
prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la
seguente distribuzione di frequenze:
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
La colonna promo riguarda le frequenze delle vendite per
categoria di prodotto dopo una politica di promozioni sui
diversi prodotti
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
28 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
29 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
G=1−
la media
aritmetica
k
X
fi2 = 1 − [(0.2094)2 +
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
+ (0.3535)2 + (0.1337)2 +
+ (0.1071)2 + (0.1964)2 ] =
La media
ponderata
= 1 − 0.2357 = 0.7633
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
29 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
G=1−
la media
aritmetica
+ (0.3535)2 + (0.1337)2 +
+ (0.1071)2 + (0.1964)2 ] =
La media
ponderata
La variabilità
fi2 = 1 − [(0.2094)2 +
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
= 1 − 0.2357 = 0.7633
l’indice in versione normalizzata G∗ dato da
variabilità per
variabili
qualitative
G∗ =
k×G
5 × 0.7633
=
= 3.8165/4 = 0.9541
k−1
5−1
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
29 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
30 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Gpromo = 1 −
la media
aritmetica
k
X
fi2 = 1 − [(0.3045)2 +
i=1
+ (0.1824)2 + (0.0074)2 +
Proprietà della
media
aritmetica
+ (0.3281)2 + (0.1777)2 ] =
La media
ponderata
= 1 − 0.2652 = 0.7348
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
30 / 31
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Gpromo = 1 −
la media
aritmetica
i=1
+ (0.3281)2 + (0.1777)2 ] =
La media
ponderata
= 1 − 0.2652 = 0.7348
l’indice in versione normalizzata G∗ dato da
La variabilità
G∗promo =
variabilità per
variabili
qualitative
Indici di
eterogeneità
fi2 = 1 − [(0.3045)2 +
+ (0.1824)2 + (0.0074)2 +
Proprietà della
media
aritmetica
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
k×G
5 × 0.7348
=
= 3.6738/4 = 0.9185
k−1
5−1
Risultando essere G > Gpromo si pu concludere che la politica
di promozioni ha fatto diminuire l’eterogeneità (aumentare
l’omogeneità) delle vendite nelle diverse categorie di prodotti
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
30 / 31
Indice di dispersione per variabili qualitative
ordinate ordinate
Esercitazione
3
A. Iodice
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
In caso di variabili qualitative con modalità ordinabili è possibile calcolare
l’eterogeneità attraverso l’indice di Gini. In questo modo tuttavia non si tiene
conto della relazione d’ordine che sussiste tra le modalità delle variabili.
L’indice D
L’indice D per il calcolo della dispersione in variabili qualitative ordinali si basa
sulle frequenze cumulate Fj e retrocumulate RFj , con j = 1, . . . , k, dove k è il
numero di modalità della variabile. Ricordando che la frequenza relativa cumulata
Fj della j-esima modalità è data da:
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
variabilità per
variabili
qualitative
Fj = f1 + f2 + . . . + fj
e che la frequenza relativa retrocumulata RFj della j-esima delle K modalità del
carattere è data da
RFj = fj + fj+1 + . . . + fK ;
L’indice D è il seguente:
Indici di
eterogeneità
D=
k
X
[Fj (1 − Fj ) + RFj (1 − RFj )]
j=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
31 / 31
Indice di dispersione per variabili qualitative
ordinate ordinate
Esercitazione
3
A. Iodice
Esempio di calcolo dell’indice D
t.studio
analf abeta
lic.elementare
lic.media
diploma
laurea
tot
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
ponderata
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
D=
k
X
absF reqs
5
5
3
3
4
20
relF reqs
0.25
0.25
0.15
0.15
0.2
1.00
Fj
0.25
0.50
0.65
0.80
1.00
RFj
1.00
0.75
0.50
0.35
0.20
[Fj (1 − Fj ) + RFj (1 − RFj )] =
j=1
variabilità per
variabili
qualitative
= [0.25(1 − 0.25) + 1(1 − 1)] + [0.5(1 − 0.5) + 0.75(1 − 0.75)] +
+ [0.65(1 − 0.65) + 0.5(1 − 0.5)] + [0.8(1 − 0.8) + 0.35(1 − 0.35)] +
Indici di
eterogeneità
+ [1(1 − 1) + 0.2(1 − 0.2)] = 1.65
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
32 / 31