Esercitazione 3
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Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Esercitazione 3 Proprietà della media aritmetica Statistica La media ponderata Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Università degli studi di Cassino Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 1 / 31 Outline Esercitazione 3 A. Iodice 1 la media aritmetica la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica 1 la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 1 la media aritmetica la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica 3 La media ponderata A. Iodice La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 1 la media aritmetica la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica 3 La media ponderata 4 Ancora sugli indici di posizione A. Iodice La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 1 la media aritmetica la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica 3 La media ponderata 4 Ancora sugli indici di posizione 5 La variabilità A. Iodice La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 1 la media aritmetica la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica 3 La media ponderata 4 Ancora sugli indici di posizione 5 La variabilità 6 variabilità per variabili qualitative A. Iodice La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 Outline Esercitazione 3 1 la media aritmetica la media aritmetica 2 Proprietà della media aritmetica Proprietà della media aritmetica 3 La media ponderata 4 Ancora sugli indici di posizione 5 La variabilità variabilità per variabili qualitative 6 variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità 7 Indici di eterogeneità A. Iodice La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 2 / 31 La media aritmetica Esercitazione 3 Si consideri la funzione f (.) additiva, vale a dire A. Iodice f (x1 , x2 , . . . , xn ) = la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata variabilità per variabili qualitative xi i=1 Ricordando il principio di rappresentatitività (equazione ??) si ha che Ancora sugli indici di posizione La variabilità n X f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µ, µ, . . . , µ) Poichè f (.) è di tipo additivo la precedente uguaglianza si può riscrivere come Indici di eterogeneità f (x1 , x2 , . . . , xn ) = n X µ i=1 A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 3 / 31 La media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica quindi n X La media ponderata Ancora sugli indici di posizione i=1 xi = n X i=1 µ ⇐⇒ n X n xi = nµ ⇐⇒ µ = i=1 1X xi n i=1 La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 4 / 31 La media aritmetica Esercitazione 3 media semplice: A. Iodice n µ= la media aritmetica 1X xi n i=1 Proprietà della media aritmetica media per dati organizzati in frequenze: La media ponderata n 1X µ= xi ni n Ancora sugli indici di posizione i=1 La variabilità media per frequenze relative: variabilità per variabili qualitative µ= Indici di eterogeneità n X i=1 A. Iodice () Esercitazione 3 xi ni n Statistica 5 / 31 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 6 / 31 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 6 / 31 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti la media aritmetica Proprietà della media aritmetica µ= La media ponderata 1 ×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+ 20 + 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+ Ancora sugli indici di posizione + 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+ La variabilità + 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+ + 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) = 470.6 = = 23.53 20 variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 6 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 7 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 7 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 7 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica 1 × (c1 × n1 + c2 × n2 + 20 + c3 × n3 + c4 × n4 ) = 1 = × (19.6 × 6 + 22.2 × 3+ 20 + (24.8 × 5 + 27.4 × 6) = 472.6 = = 23.63 20 µ= Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 8 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 9 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 9 / 31 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. Proprietà della media aritmetica µ = (c1 × f1 + c2 × f2 + La media ponderata + c3 × f3 + c4 × f4 ) = Ancora sugli indici di posizione = (19.6 × 0.3 + 22.2 × 0.15+ La variabilità + 24.8 × 0.25 + 27.4 × 0.3) = variabilità per variabili qualitative = (5.88 + 3.33 + 6.2 + 8.22) = 23.63 Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 9 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica 1 criterio di internalità la media aritmetica è sempre compresa tra il minimo e massimo della distribuzione osservata: La media ponderata X Ancora sugli indici di posizione x1 ≤ ⇔ x1 ≤ La variabilità variabilità per variabili qualitative n X xi ≤ i=1 P n i=1 xi n X xn ⇔ nx1 ≤ n X xi ≤ nxn ⇔ i=1 ≤ xn ⇔ x1 ≤ µ ≤ xn Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica 2 media come baricentro la somma degli scarti dalla media è nulla: n X La media ponderata (xi − µ) = i=1 Ancora sugli indici di posizione = La variabilità n X i=1 xi − n( n X xi − i=1 Pn i=1 xi n nµ = )= n X i=1 xi − n X xi = 0 i=1 variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica 3 linearità della media aritmetica Sia X è una variabile con media µ, allora la variabile Y = α + βX avrà media Proprietà della media aritmetica M (Y ) = La media ponderata Ancora sugli indici di posizione n n n i=1 i=1 i=1 1X 1X 1X (α + βxi ) = (α) + (βxi ) = n n n n 1 1X (xi )) = = (nα) + β( n n La variabilità i=1 variabilità per variabili qualitative = α + βµ Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Si consideri che α = −18/12 e β = 1 12 utilizzando α e β per normalizzare i voti degli studenti 1 18 + X × 12 Y = α + X × β = − 12 La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione 4 proprietà associativa della media aritmetica Sia X una variabile osservata su più gruppi: la media può essere ottenuta come media delle medie calcolate in ciascun gruppo - tenendo conto della differente numerosità dei gruppi . Il collettivo è suddiviso in Kgruppi di numerosità n1 , n2 , . . . , nK . La media del carattere X sul collettivo è µ. Per la proprietà associativa si avrà che La variabilità variabilità per variabili qualitative µ = µ1 × nK n1 n2 + µ2 × + . . . + µK × n n n Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 Proprietà della media aritmetica Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione 5 minimizzazione dei quadrati degli scarti La media aritmetica µ rende minima la somma dei quadrati degli scarti X: n X (xi − µ)2 = min i=1 La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 10 / 31 La media minimizza la somma dei quadrati degli scarti Esercitazione 3 Tornando ai voti degli studenti... A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 11 / 31 La media aritmetica ponderata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 12 / 31 La media aritmetica ponderata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 12 / 31 La media aritmetica ponderata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω sar data da PK x i ωi µω = Pi=1 K i=1 ωi A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 12 / 31 La media aritmetica ponderata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω sar data da PK x i ωi µω = Pi=1 K i=1 ωi A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 12 / 31 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 13 / 31 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 13 / 31 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. Proprietà della media aritmetica La media ponderata media aritmetica semplice Ancora sugli indici di posizione 26 + 24 + 24 + . . . + 23 + 30 = 18 479 = = 26.61 18 µ= La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 13 / 31 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. Proprietà della media aritmetica La media ponderata media aritmetica ponderata studente A Ancora sugli indici di posizione (26 × 4) + (24 × 6) + (24 × 4) + . . . 4 + 6 + 4 + ... . . . + (23 × 4) + (30 × 12) 3519 = = 27.07 . . . + 4 + 12 130 µω = La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 13 / 31 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. Proprietà della media aritmetica La media ponderata media aritmetica ponderata studente B Ancora sugli indici di posizione (26 × 4) + (24 × 12) + (24 × 4) + . . . 4 + 12 + 4 + . . . . . . + (23 × 12) + (30 × 4) 3397 = = 26.14 . . . + 12 + 4 130 µω = La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 13 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità La media aritmetica risente della presenza di valori estremi. Per limitare questo problema si calcola la media sui valori centrali della distribuzione, eliminando il possibile effetto di valori anomali. Media troncata (α%) Per calcolare la media troncata sugli 1 − α valori centrali di una distribuzione si procede come segue: 1 ordinare i valori osservati in senso crescente; 2 individuare i valori corrispondenti ai percentili qa = α/2 e qb = 1 − α/2; variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità 3 4 A. Iodice () selezionare gli n∗ valori xi∗ tali che xi > qa e xi ≤ qb ; P ∗ calcolare la media troncata µα = n1∗ ni=1 xi . Esercitazione 3 Statistica 14 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Esempio media troncata α = 50% Proprietà della media aritmetica {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} La media ponderata {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative ∗ n 1 X 14 + 15 + 18 + 18 + 22 + 23 + 24 + 25 µα = ∗ xi = = 19.875 n i=1 8 Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 15 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 16 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 17 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 18 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 19 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 20 / 31 Trimmed mean - La media troncata Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 21 / 31 Indici di posizione e tipo di caratteri Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica la moda si applica a tutte le tipologie di caratteri Proprietà della media aritmetica la mediana (quartili, quantili in generale) si applica a tutte le tipologie di caratteri le cui modalità sono ordinabili (mutabili rettilinee e variabili) La media ponderata Ancora sugli indici di posizione la media aritmetica si applica alle sole variabili quantitative La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 22 / 31 Il concetto di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad assumere modalità differenti. La variabilità può essere misurata in diversi modi: La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 23 / 31 Il concetto di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad assumere modalità differenti. La variabilità può essere misurata in diversi modi: variabilità delle singole modalità x1 , x2 , . . . , xn rispetto ad un indice di posizione La media ponderata mutua variabilità Ancora sugli indici di posizione variabilità delle modalità x1 , x2 , . . . , xn ordinate in modo crescente (usando la f. di ripartizione) La variabilità variabilità per variabili qualitative variabilità delle frequenze relative (applicabile anche a mutabili) Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 23 / 31 Requisiti per indici di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 24 / 31 Requisiti per indici di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 24 / 31 Requisiti per indici di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 La media ponderata un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di costanti ugulae a 0 Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 24 / 31 Requisiti per indici di variabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 La media ponderata un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di costanti ugulae a 0 Ancora sugli indici di posizione aggiungendo una costante alla variabile osservata, il valore dell’indice non deve cambiare La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 24 / 31 Il concetto di mutabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 25 / 31 Il concetto di mutabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la stessa modalità del carattere qualitativo La media ponderata Ancora sugli indici di posizione massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno tutte la stessa frequenza assoluta (relativa) La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 25 / 31 Il concetto di mutabilità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la stessa modalità del carattere qualitativo La media ponderata Ancora sugli indici di posizione massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno tutte la stessa frequenza assoluta (relativa) La variabilità variabilità per variabili qualitative Le situazioni intermedie sono caratterizzate da un diverso grado di eterogeneità. Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 25 / 31 eterogeneità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative (f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere. La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 26 / 31 eterogeneità Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative (f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere. minima eterogeneità: si manifesta una sola modalità j la cui frequenza relativa fj = 1: un indice di eterogeneità deve avere valore 0 in questo caso La media ponderata Ancora sugli indici di posizione massima eterogeneità: Le frequenze relative sono tutte uguali: fi = k1 , con i = 1, . . . , k e k numero di modalità del carattere La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 26 / 31 Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k X G=1− fi2 i=1 Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 27 / 31 Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k X G=1− fi2 i=1 Proprietà della media aritmetica in caso di minima eterogeneità, G = 0 La media ponderata in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore G = 1 − k1 Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 27 / 31 Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k X G=1− fi2 i=1 Proprietà della media aritmetica in caso di minima eterogeneità, G = 0 La media ponderata in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore G = 1 − k1 Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Avendo definito il valore massimo dell’indice, possibile ottenerne la versione normalizzata G∗ G∗ = Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 k×G k−1 Statistica 27 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Una nuova azienda informatica immette sul mercato una gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la seguente distribuzione di frequenze: Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 28 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Una nuova azienda informatica immette sul mercato una gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la seguente distribuzione di frequenze: Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità La colonna promo riguarda le frequenze delle vendite per categoria di prodotto dopo una politica di promozioni sui diversi prodotti A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 28 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 29 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice G=1− la media aritmetica k X fi2 = 1 − [(0.2094)2 + i=1 Proprietà della media aritmetica + (0.3535)2 + (0.1337)2 + + (0.1071)2 + (0.1964)2 ] = La media ponderata = 1 − 0.2357 = 0.7633 Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 29 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice G=1− la media aritmetica + (0.3535)2 + (0.1337)2 + + (0.1071)2 + (0.1964)2 ] = La media ponderata La variabilità fi2 = 1 − [(0.2094)2 + i=1 Proprietà della media aritmetica Ancora sugli indici di posizione k X = 1 − 0.2357 = 0.7633 l’indice in versione normalizzata G∗ dato da variabilità per variabili qualitative G∗ = k×G 5 × 0.7633 = = 3.8165/4 = 0.9541 k−1 5−1 Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 29 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 30 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice Gpromo = 1 − la media aritmetica k X fi2 = 1 − [(0.3045)2 + i=1 + (0.1824)2 + (0.0074)2 + Proprietà della media aritmetica + (0.3281)2 + (0.1777)2 ] = La media ponderata = 1 − 0.2652 = 0.7348 Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 30 / 31 Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G) Esercitazione 3 A. Iodice Gpromo = 1 − la media aritmetica i=1 + (0.3281)2 + (0.1777)2 ] = La media ponderata = 1 − 0.2652 = 0.7348 l’indice in versione normalizzata G∗ dato da La variabilità G∗promo = variabilità per variabili qualitative Indici di eterogeneità fi2 = 1 − [(0.3045)2 + + (0.1824)2 + (0.0074)2 + Proprietà della media aritmetica Ancora sugli indici di posizione k X k×G 5 × 0.7348 = = 3.6738/4 = 0.9185 k−1 5−1 Risultando essere G > Gpromo si pu concludere che la politica di promozioni ha fatto diminuire l’eterogeneità (aumentare l’omogeneità) delle vendite nelle diverse categorie di prodotti A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 30 / 31 Indice di dispersione per variabili qualitative ordinate ordinate Esercitazione 3 A. Iodice la media aritmetica Proprietà della media aritmetica In caso di variabili qualitative con modalità ordinabili è possibile calcolare l’eterogeneità attraverso l’indice di Gini. In questo modo tuttavia non si tiene conto della relazione d’ordine che sussiste tra le modalità delle variabili. L’indice D L’indice D per il calcolo della dispersione in variabili qualitative ordinali si basa sulle frequenze cumulate Fj e retrocumulate RFj , con j = 1, . . . , k, dove k è il numero di modalità della variabile. Ricordando che la frequenza relativa cumulata Fj della j-esima modalità è data da: La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità variabilità per variabili qualitative Fj = f1 + f2 + . . . + fj e che la frequenza relativa retrocumulata RFj della j-esima delle K modalità del carattere è data da RFj = fj + fj+1 + . . . + fK ; L’indice D è il seguente: Indici di eterogeneità D= k X [Fj (1 − Fj ) + RFj (1 − RFj )] j=1 A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 31 / 31 Indice di dispersione per variabili qualitative ordinate ordinate Esercitazione 3 A. Iodice Esempio di calcolo dell’indice D t.studio analf abeta lic.elementare lic.media diploma laurea tot la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media ponderata Ancora sugli indici di posizione La variabilità D= k X absF reqs 5 5 3 3 4 20 relF reqs 0.25 0.25 0.15 0.15 0.2 1.00 Fj 0.25 0.50 0.65 0.80 1.00 RFj 1.00 0.75 0.50 0.35 0.20 [Fj (1 − Fj ) + RFj (1 − RFj )] = j=1 variabilità per variabili qualitative = [0.25(1 − 0.25) + 1(1 − 1)] + [0.5(1 − 0.5) + 0.75(1 − 0.75)] + + [0.65(1 − 0.65) + 0.5(1 − 0.5)] + [0.8(1 − 0.8) + 0.35(1 − 0.35)] + Indici di eterogeneità + [1(1 − 1) + 0.2(1 − 0.2)] = 1.65 A. Iodice () Esercitazione 3 Statistica 32 / 31
