Sistema di punti materiali
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Sistema di punti materiali r r1 = ( x1 , y1 , z1 ) y p4 p2 r ri = ( xi , yi , zi ) p1 r1 r4 p5 p3 x z Sistema di punti ymateriali r r1 = ( x1 , y1 , z1 ) p2 p1 r1 Centro di Massa p4 r4 p3 p5 x z Primo caso: m 1= m2= m3= …. = 1 Kg r rCM r r r r r1 + r2 + r3 + ....... + rn = n xCM x1 + x2 + x3 + ....... + xn = n yCM y1 + y2 + y3 + ....... + yn = n zCM z1 + z 2 + z3 + ....... + z n = n Sistema di punti ymateriali r r1 = ( x1 , y1 , z1 ) p2 p1 r1 Centro di Massa p4 r4 p3 p5 x z Caso generale r r r r r m1r1 + m2 r2 + m3 r3 + ....... + mn rn rCM = m1 + m2 + m3 + ....mn (1) r rCM = xCM m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ....... + mn xn = m1 + m2 + m3 + ....mn yCM m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + ....... + mn yn = m1 + m2 + m3 + ....mn zCM m1 z1 + m2 z 2 + m3 z3 + ....... + mn z n = m1 + m2 + m3 + ....mn r m r ∑ ii ∑m i (in forma compatta) Sistema di punti materiali CENTRO DI MASSA y p4 p2 r4 p1 r1 r rCM CM p5 p3 x z (1) r rCM = r ∑ mi ri ∑m i = r ∑ mi ri mtot Sistema di punti materiali Quantità di moto y p2 p1 r1 p4 r4 p3 p5 x z (2) La quantità di moto di un sistema di punti materiali è definita come la somma delle quantità di moto dei singoli punti: r r r r r ptot = p1 + p2 + ....... + pn = ∑ pi dove la quantità di moto di ciascun punto è r r p i = mi vi Sistema di punti materiali: Velocità del CENTRO DI MASSA y p4 p2 p1 r r4 CM p5 r1 r p3 x CM z Per il punto “centro di massa” possiamo definire una velocità ed una accelerazione come fatto (per un qualisiasi punto) in cinematica: r fin r iniz r rCM − rCM = (se dtÆ0, abbiamo la velocità istantanea) vCM = dt r fin r fin r fin r iniz r iniz r iniz ⎤ 1 ⎡ 1 (m1r1 + m2 r2 .... + mn rn − m1r1 − m2 r2 .... − mn rn )⎥ = ⎢ dt ⎣ mtot ⎦ r fin r iniz r fin r iniz r fin r iniz mn rn − mn rn ⎤ 1 ⎡ m1r1 − m1r1 m2 r2 − m2 r2 + + ..... + ⎢ ⎥ mtot ⎣ dt dt dt ⎦ Sistema di punti materiali: Velocità del CENTRO DI MASSA …. da cui: r r r r 1 (3) vCM = [m1v1 + m2v2 + ..... + mn vn ] = mtot r ∑ mi vi mtot relazione formalmente identica a quella della definizione di centro di massa, ottenibile da (1) sostituendo r (posizione) con v (velocità) r r r r r Riscriviamo la (3) come: mtot vCM = m1v1 + m2 v2 + ..... + mn vn = ptot r r r Ossia: (4) ptot = mtot vCM ≡ pCM La quantità di moto di un sistema di punti materiali è pari a quella che spetterebbe al Centro di Massa del sistema se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema Sistema di punti materiali: accelerazione del CENTRO DI MASSA In maniera del tutto analoga si ottiene l’espressione dell’accelerazione del centro di massa, a partire dalla definizione: r fin r iniz r vCM − vCM = aCM = dt r fin r fin r fin r iniz r iniz r iniz ⎤ 1 ⎡ 1 (m1v1 + m2 v2 .... + mn vn − m1v1 − m2 v2 .... − mn vn )⎥ = ⎢ dt ⎣ mtot ⎦ r fin r iniz r fin r iniz r fin r iniz mn vn − mn vn ⎤ 1 ⎡ m1v1 − m1v1 m2 v2 − m2 v2 + + ..... + ⎢ ⎥ mtot ⎣ dt dt dt ⎦ r r fin r iniz mi ai r r r r vCM − vCM 1 ∑ [m1a1 + m2 a2 + .... + mn an ] = = (5) aCM = dt mtot mtot Teorema del moto del centro di massa Dividiamo le forze applicate ai punti materiali del sistema in due classi: 1) Forze interne al sistema (Fij) e 2) Forze esterne (Festi) Consideriamo prima le forze interne: F21 y p2 p1 F12 F24 p4 F42 p5 p3 x z Per il Terzo Principio della dinamica: F12= - F21 F13= - F31 F14= - F41 F32= - F23 F34= - F43 F35= - F53 ………………………… Le forze interne sono a due a due uguali ed opposte ! Teorema del moto del centro di massa Scriviamo la 2° legge della dinamica per ciascun punto materiale costituente il sistema r r ⎧ F1tot = m a 1 ⎪ r tot r ⎪ F2 = m a 2 ⎨ ⎪ ... ⎪ Fr tot = m ar n ⎩ n r ⎧ r est ⎪ F1 + F12 + ⎪ r ⎪⎪ F est + Fr + 2 21 ⎨ ⎪ ... ⎪ ⎪ Fr est + Fr + n1 ⎪⎩ n r r r r d p1 F13 + .... + F1 n = m a 1 = dt r r r r dp2 F 23 + .... + F 2 n = m a 2 = dt r r r r dpn F n 2 + .... + F n n − 1 = m a n = dt sommando membro a membro le n equazioni del sistema, ricordando che le forze interne sono a due a due uguali ed opposte,rsi ottiene: r est r r r r dpi Ftot = m1a1 + m2 a2 + ..... + mn an = ∑ mi ai = ∑ dt r est r est r est r est r est dove Ftot = F1 + F2 + ..... + Fn = ∑ Fi Teorema del moto del centro di massa r r fin r iniz r fin r iniz r fin r iniz r est dpi p1 − p1 + p2 − p2 + ..... + pn − pn Ftot = ∑ = = dt dt r fin r iniz r ptot − ptot dptot = = dt dt r est dpr tot Pertanto: (6) Ftot = dt r est dpr CM od in maniera equivalente: (6’) Ftot = dt r est oppure ancora: (6’’) F = mar tot CM attribuendo al centro di massa tutta la massa del sistema Teorema del moto del centro di massa Le equazioni (6’) o (6’’) ci dicono che, se attribuiamo al centro di massa tutta la massa del sistema, la dinamica di questo punto è governata dalla 2° legge di Newton, scritta considerando solo le forze esterne (tutte) ed ignorando le forze interne. r est dpr CM Ftot = dt r est r Ftot = maCM Ad esempio, il moto del centro di massa di una palla di cannone che esplode a metà della sua traiettoria è sempre parabolico, anche dopo l’esplosione. Teorema di conservazione della quantità di moto L’equazione (6) è particolarmente utile quando la risultante delle forze esterne è nulla. Ad esempio, per un sistema isolato, ciascuna delle Forze esterne è nulla (Fest1= Fest2=… =Festn=0). r dptot =0 dt r ptot = costante In un sistema isolato, od un sistema tale che la risultante delle forze esterne sia nulla, la quantità di moto si conserva. Per le applicazioni e gli esercizi, fare riferimento al libro di testo ed agli appunti delle lezioni.
